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2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文 (II)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分. 滿分150分，考試時間120分鐘.
一．選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知是虛數(shù)單位，且（），則的虛部等于 （ ）
A． B． C． D．
2．用分析法證明：欲使①A>B，只需②C
0)，l：ρcos＝，C與l有且僅有一個公共點(diǎn)．
（1）求a； （2）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．
18．（12分）已知函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）已知，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．（12分）某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組，為了考查高中學(xué)生的作文水平與愛看課外書的關(guān)系，在本校高三年級隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生．調(diào)查結(jié)果表明：在愛看課外書的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不愛看課外書的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般．
（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下22列聯(lián)表，并運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，指出是否有99.9%的把握認(rèn)為中學(xué)生的作文水平與愛看課外書有關(guān)系？
高中學(xué)生的作文水平與愛看課外書的22列聯(lián)表
愛看課外書
不愛看課外書
總計
作文水平好
作文水平一般
總計
（2）將其中某5名愛看課外書且作文水平好的學(xué)生分別編號為1、2、3、4、5，某5名愛看課外書且作文水平一般的學(xué)生也分別編號為1、2、3、4、5，從這兩組學(xué)生中各任選1人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，求被選取的兩名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（12分） (1)設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且＋＝2 ,求證：a2＋b2≥ 1
(2)對于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求證：|x－2y＋1| ≤5.
21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），.
（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線；
（2）設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)為，，當(dāng)時，求的值.
22．（12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若對任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
參考答案
一．1—6 D B A B D A 7—12 B B B C D A
二．13. 13 14. 15. ρ＝5cosθ 16. π.
三．17． 解：（1）曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓；l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－3＝0. 由直線l與圓C相切可得＝a，解得a＝1 .……5分
（2）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ＋，則|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos
＝3cosθ－sinθ＝2cos，當(dāng)θ＝－時，|OA|＋|OB|取得最大值2. .……10分
18． 【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）不等式可化為：①．
當(dāng)時，①式為，解得；……2分
當(dāng)，①式為，解得；……4分
當(dāng)時，①式為，無解
綜上所述，不等式的解集為．．……6分
（2）解：，．……8分
令，．……10分
時，，要使不等式恒成立，只需，
即，實(shí)數(shù)取值范圍是．．……12分
19． [解析]?。?）22列聯(lián)表如下：
愛看課外書
不愛看課外書
總計
作文水平好
18
6
24
作文水平一般
7
19
26
總計
25
25
50
……3分
因?yàn)镵2＝＝≈11.538>10.828.由表知，
P(K2≥10.828)≈0.001.
故有99.9%的把握認(rèn)為中學(xué)生的作文水平與愛看課外書有關(guān)系．．……6分
（2）設(shè)“被選取的兩名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)”為事件A，“被選取的兩名學(xué)生的編號之和為4的倍數(shù)”為事件B.
因?yàn)槭录嗀所包含的基本事件為：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9個，基本事件總數(shù)為55＝25.所以P(A)＝.．……8分
因?yàn)槭录﨎所包含的基本事件為：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6個．
．……10分
所以P(B)＝. 因?yàn)槭录嗀、B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
．……12分
20．解：（1）由2＝＋≥2得ab≥。當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號。
故a2＋b2≥2ab≥1，當(dāng)a＝b＝時取等號。．……6分
|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5. ．……12分
21.【答案】（1）曲線為橢圓；（2）.
試題分析：（1）運(yùn)用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的互化關(guān)系求解；（2）依據(jù)題設(shè)借助直線參數(shù)方程的幾何意義分析求解：
(1)由得，該曲線為橢圓. ．……4分
（2）將代入得．……6分
，由直線參數(shù)方程的幾何意義，設(shè)，，，，．……8分
所以，從而，由于，所以.．……12分
22．解：（1）當(dāng)時，，
所以所求切線方程為．．……4分
（2）,令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，，．……6分
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，恒成立．……9分
；當(dāng)時，存在當(dāng)，使，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，不合題意，綜上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．．……12分
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