2017-2018學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)優(yōu)化練習 新人教A版選修1 -1.doc

3.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù) [課時作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．當函數(shù)y＝x2x取極小值時，x＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2 解析：y′＝2x＋x2xln 2＝0，∴x＝－. 答案：B 2．函數(shù)f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的極大值是(　　) A.＋ B．－＋ C.＋ D．1＋ 解析：f　′(x)＝cos x＋，x∈(0，π)， 由f　′(x)＝0得cos x＝－，x＝. 且x∈時f　′(x)>0；x∈時f　′(x)<0， ∴x＝時， f(x)有極大值f＝＋. 答案：C 3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于(　　) A．11或18 B．11 C．18 D．17或18 解析：∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10， ∴f(1)＝10，且f　′(1)＝0， 即 解得或 而當時，函數(shù)在x＝1處無極值， 故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， ∴f(2)＝18.故選C. 答案：C 4.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，其導函數(shù)f　′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極大值點有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 解析：依題意，記函數(shù)y＝f　′(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標自左向右依次為x1，x2，x3，x4，當a<x<x1時，f　′(x)>0；當x1<x<x2時，f　′(x)<0；當x2<x<x4時，f　′(x)≥0；當x4<x<b時，f　′(x)<0.因此，函數(shù)f(x)分別在x＝x1，x＝x4處取得極大值，選B. 答案：B 5．已知f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)，則f(x)的極值情況是 (　　) A．極大值為f()，極小值為f(1) B．極大值為f(1)，極小值為f() C．極大值為f()，沒有極小值 D．極小值為f(1)，沒有極大值 解析：把(1,0)代入f(x)＝x3－px2－qx得1－p－q＝0.① ∵f′(x)＝3x2－2px－q， 由題意知f′(1)＝3－2p－q＝0.② 由①②解得∴f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0得x1＝1或x2＝. 由f′(x)的圖象知當x∈(－∞，)和x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0 當x∈(，1)時，f′(x)＜0，故極大值為f()，極小值為f(1)． 答案：A 6.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋c，其導數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值是________． 解析：依題意f′(x)＝3ax2＋2bx. 由圖象可知，當x<0時，f′(x)<0， 當0<x<2時，f′(x)>0， 故x＝0時函數(shù)f(x)取極小值f(0)＝c. 答案：c 7．若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是________． 解析：f　′(x)＝3x2－6b. 當b≤0時，f　′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)無極值． 當b>0時，令3x2－6b＝0得x＝. 由函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，可得0<<1， ∴0<b<. 答案： 8．(2015高考陜西卷)函數(shù)y＝xex在其極值點處的切線方程為________． 解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入y＝xex得極值點的坐標為(－1，－)，又極值點處的切線垂直y軸，即其斜率為0，故所求切線方程為y＝－. 答案：y＝－ 9．若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y＝f(x)的極值點．已知a，b是實數(shù)，1和－1是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點． (1)求a和b的值； (2)設(shè)函數(shù)g(x)的導函數(shù)g　′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點． 解析：(1)由題設(shè)知f　′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f　′(－1)＝3－2a＋b＝0， f　′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因為f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g　′(x)＝0的根為x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函數(shù)g(x)的極值點只可能是1或－2. 當x<－2時，g　′(x)<0；當－2<x<1時，g　′(x)>0，故－2是g(x)的極值點． 當－2<x<1或x>1時，g　′(x)>0，故1不是g(x)的極值點． 所以g(x)的極值點為－2. 10．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值． 解析：(1)f　′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f　′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8. 從而a＝4，b＝4. (2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f　′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2). 令f　′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2. 從而當x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時，f　′(x)>0；當x∈(－2，－ln 2)時，f　′(x)<0. 故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln 2)上單調(diào)遞減． 當x＝－2時，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)． [B組　能力提升] 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，則下列圖象不可能為y＝f(x)圖象的是(　　) 解析：因為[f(x)ex]′＝f　′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f　′(x)]ex，且x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點，所以f(－1)＋f　′(－1)＝0；選項D中，f(－1)>0，f　′(－1)>0，不滿足f　′(－1)＋f(－1)＝0. 答案：D 2．三次函數(shù)當x＝1時有極大值4，當x＝3時有極小值0，且函數(shù)過原點，則此函數(shù)是(　　) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 解析：三次函數(shù)過原點，可設(shè)f(x)＝x3＋bx2＋cx，則f　′(x)＝3x2＋2bx＋c.由題設(shè)有 解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f　′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．當x＝1時，函數(shù)f(x)取得極大值4，當x＝3時，函數(shù)取得極小值0，滿足條件． 答案：B 3．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值，則a＝________. 解析：f′(x)＝＝.因為f(x)在x＝1處取得極值，所以1是f′(x)＝0的根，將x＝1代入得a＝3. 答案：3 4．設(shè)f(x)＝，則f(x)的極大值點和極小值點分別是________． 解析：對f(x)求導得f′(x)＝.?、? 若f′(x)＝0， 則4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝. 結(jié)合①，可知 x (－∞，) (＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  所以x1＝是極小值點，x2＝是極大值點． 答案：， 5．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍． 解析：(1)f　′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)． 當a<0時，對x∈R，有f　′(x)>0， ∴當a<0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)； 當a>0時，由f　′(x)>0，解得x<－或x>， 由f　′(x)<0，解得－<x<， ∴當a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)． (2)∵f(x)在x＝－1處取得極值， ∴f　′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，解得a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f　′(x)＝3x2－3. 由f　′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1. 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3. ∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，結(jié)合圖象可知m的取值范圍是(－3,1)． 6．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a. (1)求函數(shù)f(x)的極值． (2)設(shè)函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)，若函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：(1)f(x)的定義域是(0，＋∞)． 令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1. 當x∈(0,1)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增； 所以f(x)在x＝1處取得極小值，又f(1)＝1， 所以f(x)的極小值為1，無極大值． (2)k(x)＝f(x)－h(huán)(x) ＝x－2ln x－a(x＞0)， 所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0， 得x＞2，令k′(x)＜0，得0＜x＜2， 所以k(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增． 要使函數(shù)k(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點， 則需 所以2－2ln 2＜a≤3－2ln3。