2018-2019年高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 2-3-1 離散型隨機變量的均值隨堂達標驗收 新人教A版選修2-3.doc

2-3-1 離散型隨機變量的均值 1．若隨機變量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值是(　　) A．20.44 B．20.45 C．30.44 D．30.64 [解析]　因為ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5，P(ξ＝1)＝C0.60.44＝30.44. [答案]　C 2．設ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 P 又設η＝2ξ＋5，則E(η)等于(　　) A. B. C. D. [解析]　E(ξ)＝1＋2＋3＋4＝，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2＋5＝. [答案]　D 3．同時拋擲5枚均勻的硬幣80次，設5枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，3枚反面向上的次數(shù)為X，則X的均值是(　　) A．20 B．25 C．30 D．40 [解析]　拋擲一次正好出現(xiàn)3枚反面向上，2枚正面向上的概率為＝，所以X～，故E(X)＝80＝25. [答案]　B 4．馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 請小牛同學計算ξ的數(shù)學期望．盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________. [解析]　令“？”為a，“！”為b，則2a＋b＝1，∴E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. [答案]　2 課內拓展　課外探究 1．常用分布的均值 (1)兩點分布 由數(shù)學期望的定義可以知道，若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則 E(X)＝1p＋0(1－p)＝p， 這表明在一次兩點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為p. 已知隨機變量ξ滿足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝0)＝0.7，則E(ξ)＝(　　) A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．1 [解析]　根據(jù)題意知隨機變量ξ服從兩點分布，所以E(ξ)＝0.3 [答案]　A [點評]　兩點分布的隨機變量的取值為0,1，均值E(ξ)＝p1＋(1－p)0＝p. 　(2)二項分布 設離散型隨機變量X服從參數(shù)為n和p的二項分布，由X的分布列P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n和數(shù)學期望的定義式得到E(X)＝0Cp0qn＋1Cp1qn－1＋2Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1q(n－1)－(k－1)＋…＋Cpn－1q0)＝np(p＋q)n－1＝np，所以E(X)＝np. 注意：在上述證明中運用了公式kC＝nC. 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示． 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立． (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)． [解]　(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)50＝0.6. P(A2)＝0.00350＝0.15， P(B)＝0.60.60.152＝0.108. (2)X可能取的值為0,1,2,3，相應的概率為 P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝C0.6(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C0.62(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝C0.63＝0.216. 分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因為X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝30.6＝1.8. (3)超幾何分布 若離散型隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝. 注意：超幾何分布的期望公式證明如下： 由公式kC＝nC立刻可以得到 C＝C. 下面我們來求超幾何分布的期望，設隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則X的分布列為 P(X＝m)＝(m＝0,1，…，l，l為n和M中較小的一個)．同二項分布類比，我們猜想它的期望可能是n.由數(shù)學期望的定義式得 E(X)＝P(X＝m)＝＝＝C＝n＝n(令m－1＝i)＝n. 上式中C可以看作N－1件產品中有n－1件次品，從中任取M－1件(M≤N)，其中恰有i件次品的概率，所以對于i＝0,1，…，l－1求和得1. 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，(1)求X的均值；(2)求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率． [解]　解法一：(1)依題意知，X的可能取值為0、1、2，且P(X＝k)＝，k＝0,1,2，故X的分布列如下表所示. X 0 1 2 P 從而E(X)＝0＋1＋2＝1. (2)P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 解法二：(1)依其數(shù)學模型知，X服從超幾何分布，且n＝2，M＝3，N＝6，則E(X)＝＝＝1. (2)P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－＝1－＝. [點評]　解法二直接應用超幾何分布的均值公式，使計算更為簡單．