2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)優(yōu)化練習 新人教A版選修2-2.doc

1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) [課時作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．函數(shù)f(x)＝的遞減區(qū)間為(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，2) C．(－∞，2)和(2,3) D．(2,3)和(3，＋∞) 解析：函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝＝. 因為x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)<0得x<3. 又定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，2)和(2,3)． 答案：C 2．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)＝3 C．a(chǎn)≤3 D．0<a<3 解析：f′(x)＝3x2－2ax， ∵f′(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減， ∴，∴， ∴a≥3. 答案：A 3．y＝xln x在(0,5)上是(　　) A．單調(diào)遞增函數(shù) B．單調(diào)遞減函數(shù) C．在(0，)上單調(diào)遞減，在(，5)上單調(diào)遞增 D．在(0，)上單調(diào)遞增，在(，5)上單調(diào)遞減 解析：∵y′＝x＋ln x＝1＋ln x， 令y′>0，得x>， 令y′<0，得0<x<，故選C. 答案：C 4．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　) A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1) 解析：由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，1]上單調(diào)遞減或f(x)恒為常數(shù)，故f(0)＋f(2)≥2f(1)． 答案：C 5.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是(　　) 解析：由已知圖象可知，當x∈(－∞，0)時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上遞增；當x∈(0,2)時，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(0,2)上遞減；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上遞增． 答案：C 6．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)在R上是增函數(shù)，則a，b，c的關(guān)系式為________． 解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立， 則，得a＞0，且b2≤3ac. 答案：a＞0且b2≤3ac 7．函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為________． 解析：函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的定義域為(2，＋∞)∪(－∞，－1)， 令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜， ∴函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) 8．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________． 解析：f′(x)＝－x＋， ∵f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∴b≤x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立． 又x∈(－1，＋∞)時，x(x＋2)>－1， ∴b≤－1. 答案：(－∞，－1] 9．已知函數(shù)f(x)＝的圖象在點M(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0. (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間． 解析：(1)由函數(shù)f(x)的圖象在點M(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0，知f′(－1)＝－， 且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，＝－2，① 又f′(x)＝， 所以＝－.② 由①②得a＝2，b＝3. (∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去) 所以所求函數(shù)的解析式是f(x)＝. (2)f′(x)＝， 令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋ 2，則當x<3－2或x>3＋2時，f′(x)<0；當3－2<x<3＋2時，f′(x)>0. ∴f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間是(3－2，3＋2)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)． 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋(2a－1)x2－6x(a∈R)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－3)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：f′(x)＝3ax2＋3(2a－1)x－6＝3(ax－1)(x＋2)． (1)若a＝0，則f′(x)＝－3(x＋2)>0?x<－2，此函數(shù)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，從而在(－∞，－3)上單調(diào)遞增，滿足條件． (2)若a≠0，則令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝， 因為f(x)在(－∞，－3)上是增函數(shù)，即x<－3時 f′(x)>0恒成立，a>0時，則－2>－3恒成立，即a>0. a<0時，不合題意． 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[0，＋∞)． [B組　能力提升] 1．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋在上是增函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞) 解析：∵f(x)＝x2＋ax＋在上是增函數(shù)． ∴f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立， 即a≥－2x. ∵函數(shù)y＝x－2與函數(shù)y＝－2x在上為減函數(shù)， ∴a≥4－2＝3. 答案：D 2．函數(shù)f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：設(shè)m(x)＝f(x)－(2x＋4)， 則m′(x)＝f′(x)－2＞0， ∴m(x)在R上是增函數(shù)． ∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0， ∴m(x)＞0的解集為， 即f(x)＞2x＋4的解集為(－1，＋∞)． 答案：B 3．如果函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：顯然函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝4x－＝. 由f′(x)>0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，＋∞)；由f′(x)<0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)． 由于函數(shù)在區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)， 所以，解得1≤k<. 答案：1≤k< 4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，那么b＋c的最大值為________． 解析：由題意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0在[－1,2]上恒成立，得 ?? 以下有兩種方法． 解法一：設(shè)b＋c＝x(2b－c)＋y(4b＋c)， 即b＋c＝(2x＋4y)b＋(－x＋y)c， 令解得 所以b＋c＝－(2b－c)＋(4b＋c) ≤－3＋(－12) ＝－， 當且僅當2b－c＝3,4b＋c＝－12，即b＝－，c＝－6時，等號成立， 所以b＋c的最大值為－. 解法二：建立平面直角坐標系bOc，作出可行域，如圖，解 得兩直線l1：2b－c＝3與l2：4b＋c＝ －12的交點坐標A， 令b＋c＝m，則c＝－b＋m為平行線組， 易知平行線組c＝－b＋m經(jīng)過點A時， mmax＝b＋c＝－. 答案：－ 5．已知函數(shù)y＝a x與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y＝ax3＋bx2＋5的單調(diào)區(qū)間． 解析：因為函數(shù)y＝ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)， 所以a<0，b<0. 由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx. 令y′>0，得3ax2＋2bx>0， 所以－<x<0. 所以當x∈(－，0)時，函數(shù)為增函數(shù)．令y′<0，即3ax2＋2bx<0， 所以x<－，或x>0. 所以在(－∞，－)，(0，＋∞)上函數(shù)為減函數(shù)． 6．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)e－x(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)) (1)若函數(shù)f(x)在(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍． (2)函數(shù)f(x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值范圍，若不是，請說明理由． 解析：(1)因為f(x)＝(－x2＋ax)e－x，所以f′(x)＝[x2－(a＋2)x＋a]e－x， 要使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0對一切x∈(－1,1)都成立， 即x2－(a＋2)x＋a≤0對x∈(－1,1)都成立， 令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，則?解得a≤－. 所以a的取值范圍是. (2)①若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0對 x∈R都成立， 即[x2－(a＋2)x＋a]e－x≤0對x∈R都成立，從而x2－(a＋2)x＋a≤0對x∈R都成立， 令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，拋物線y＝g(x)開口向上，不可能對x∈R，g(x)≤0都成立． ②若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增， 則f′(x)≥0對x∈R都成立， 從而x2－(a＋2)x＋a≥0對x∈R都成立， 由于Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0， 故f′(x)≥0不能對一切x∈R都成立， 綜上可知，函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù).