2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修1 -1.doc

3.3.2　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 函數(shù)極值的定義 1 函數(shù)極值(點(diǎn))的判斷與求解 2,3,7 由函數(shù)極值求參數(shù)(或范圍) 4,5 函數(shù)極值的應(yīng)用 10 綜合問(wèn)題 6,8,9,11 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列關(guān)于函數(shù)的極值的說(shuō)法正確的是(　D　) (A)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn) (B)函數(shù)的極小值一定小于它的極大值 (C)函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值 (D)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù) 解析:由極值的概念可知只有D正確. 2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(　A　) (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè) 解析:極小值點(diǎn)應(yīng)有先減后增的特點(diǎn),即f′(x)<0→f′(x)=0→f′(x)>0.由圖象可知只有1個(gè)極小值點(diǎn).故選A. 3.函數(shù)y=1+3x-x3有(　D　) (A)極小值-1,極大值1 (B)極小值-2,極大值3 (C)極小值-2,極大值2 (D)極小值-1,極大值3 解析:f′(x)=-3x2+3,由f′(x)=0可得x1=1,x2=-1. 由極值的判定方法知f(x)的極大值為f(1)=3, 極小值為f(-1)=1-3+1=-1.故選D. 4.(2018太原高二檢測(cè))若函數(shù)f(x)=ax-ln x在x=處取得極值,則實(shí)數(shù)a的值為(　A　) (A) (B) (C)2 (D) 解析:f′(x)=a-,令f′()=0,即a-=0, 解得a=.故選A. 5.(2017河南高二月考)已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1<x2,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　C　) (A)a>e (B)x1+x2>2 (C)x1x2>1 (D)有極小值點(diǎn)x0,且x1+x2<2x0 解析:因?yàn)閒(x)=ex-ax,所以f′(x)=ex-a, 令f′(x)=ex-a>0, ①當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)=ex-a>0在x∈R上恒成立, 所以f(x)在R上單調(diào)遞增. ②當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閒′(x)=ex-a>0,所以ex-a>0, 解得x>ln a, 所以f(x)在(-∞,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)單調(diào)遞增. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1<x2, 所以f(ln a)<0,a>0, 所以eln a-aln a<0,所以a>e,A正確; x1+x2=ln(a2x1x2)=2ln a+ln(x1x2)>2+ln(x1x2), 取a=,f(2)=e2-2a=0, 所以x2=2,f(0)=1>0,所以0<x1<1, 所以x1+x2>2,B正確; f(0)=1>0,所以0<x1<1,x1x2>1不一定,C不正確; f(x)在(-∞,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)單調(diào)遞增,所以有極小值點(diǎn)x0=ln a,且x1+x2<2x0=2ln a,D正確.故選C. 6.(2015陜西卷)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為　　　　. 解析:由y=xex可得y′=ex+xex=ex(x+1), 從而可得y=xex在(-∞,-1)上遞減,在(-1,+∞)上遞增, 所以當(dāng)x=-1時(shí),y=xex取得極小值-e-1, 因?yàn)閥′|x=-1=0,切點(diǎn)為(-1,-), 故切線方程為y=-e-1, 即y=-. 答案:y=- 7.(2018寶雞高二月考)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示,則下列說(shuō)法中正確的是　　 　　(把所有正確的說(shuō)法序號(hào)都填上). ①當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取得極小值; ②f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn); ③當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值; ④當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值. 解析:從題中圖象上可以看到:當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f′(x)>0; 當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0, 所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)1和2,且當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值,當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值.只有①不正確. 答案:②③④ 8.(2017咸陽(yáng)高二期末)已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+3.求: (1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)f(x)的極值. 解:(1)f′(x)=3x2+6x-9, 解f′(x)≥0,得x≥1或x≤-3; 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-3],[1,+∞). (2)x<-3時(shí),f′(x)>0,-3<x<1時(shí),f′(x)<0,x>1時(shí),f′(x)>0; 所以x=-3時(shí)f(x)取極大值30, x=1時(shí),f(x)取極小值-2. 【能力提升】 9.(2018沈陽(yáng)高二質(zhì)檢)若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,若t=ab,則t的最大值為(　D　) (A)2 (B)3 (C)6 (D)9 解析:f′(x)=12x2-2ax-2b, 則f′(1)=12-2a-2b=0,則a+b=6, 又a>0,b>0,則t=ab≤()2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào).故選D. 10.(2018成都高二診斷)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a>0)的極大值為6,極小值為2,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是　　　　. 解析:令f′(x)=3x2-3a=0,得x=, 則f(x),f′(x)隨x的變化情況如表: x (-∞,-) - (-,) (,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 從而 解得 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1). 答案:(-1,1) 11.(2018呼倫貝爾高二檢測(cè))設(shè)函數(shù)y=x3+ax2+bx+c的圖象如圖所示,且與y=0在原點(diǎn)相切,若函數(shù)的極小值為-4. (1)求a,b,c的值; (2)求函數(shù)的遞減區(qū)間. 解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),易得c=0.又圖象與x軸相切于點(diǎn)(0,0),且y′=3x2+2ax+b, 故0=302+2a0+b,解得b=0. 所以y=x3+ax2,則y′=3x2+2ax. 令y′=0,解得x=0或x=-a, 即x=0和x=-a是極值點(diǎn). 由圖象知函數(shù)在x=0處取極大值,故在x=-a時(shí)取極小值. 當(dāng)x=-a時(shí),函數(shù)有極小值-4, 所以(-a)3+a(-)2=-4, 整理得a3=-27,解得a=-3. 故a=-3,b=0,c=0. (2)由(1)得y=x3-3x2,則y′=3x2-6x, 令y′<0,即y′=3x2-6x<0, 解得0<x<2, 所以函數(shù)的遞減區(qū)間是(0,2). 【探究創(chuàng)新】 12.(2017南陽(yáng)高二期末)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2bx+c,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取極大值,在區(qū)間(1,2)內(nèi)取極小值,則u=的取值范圍是　　　　. 名師點(diǎn)撥:由函數(shù)在(0,1)內(nèi)取極大值,在(1,2)內(nèi)取極小值,列出a,b所滿足的約束條件,利用線性規(guī)劃求解. 解析:f′(x)=x2+ax+2b, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,1)內(nèi)取極大值,在(1,2)內(nèi)取極小值. 所以即 作出點(diǎn)(a,b)所滿足的可行域如圖: 而u=可看作是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)C(1,2)連線的斜率, 由可得A(-3,1),又B(-1,0) 所以kAC==,kBC==1,所以<u<1. 答案:(,1)