專訓1　巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問題

專訓1　巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問題 名師點金：位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)．位似圖形必須具備三個條件：(1)兩個圖形相似；(2)對應點的連線相交于一點；(3)對應邊互相平行或在同一直線上． 三角形的內(nèi)接正三角形問題 1．如圖，用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應問題． 畫法：①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE，使點C在OA上，點D在OB上；②連接OE并延長，交AB于點E′，過點E′作E′C′∥EC，交OA于點C′，作E′D′∥ED，交OB于點D′；③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接等邊三角形． 求證：△C′D′E′是等邊三角形． (第1題) 三角形的內(nèi)接矩形問題 2．如圖，求作：內(nèi)接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點D，G分別在AB，AC上，并且有DEEF＝12. (第2題) 三角形的內(nèi)接正方形問題(方程思想) 3．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上，則這個正方形零件的邊長是多少？ (第3題) 4．(1)如圖①，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P.求證：＝. (2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF，分別交DE于M，N兩點． ①如圖②，若AB＝AC＝1，直接寫出MN的長； ②如圖③，求證：MN2＝DM·EN. (第4題) 答案 1．證明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO. 又∵∠COE＝∠C′OE′， ∴△OCE∽△OC′E′. ∴＝. 又∵E′D′∥ED， ∴∠D′E′O＝∠DEO. 又∵∠DOE＝∠D′OE′， ∴△DOE∽△D′OE′， ∴＝. ∴∠CED＝∠C′E′D′，＝. ∴△CED∽△C′E′D′. 又∵△CDE是等邊三角形， ∴△C′D′E′是等邊三角形． (第2題) 2．解：如圖，在AB邊上任取一點D′，過點D′作D′E′⊥BC于點E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，過點F′作F′G′⊥BC，過點D′作D′G′∥BC交F′G′于點G′，作射線BG′交AC于點G，過點G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于點F，DG交AB于點D，過點D作DE∥D′E′交BC于點E，則四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，且DEEF＝12. 3．解：設符合要求的正方形PQMN的邊PN與△ABC的高AD相交于點E.易知AE為△APN的邊PN上的高， 設正方形PQMN的邊長為x mm， ∵PN∥BC，∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴△APN∽△ABC. ∴＝. 即＝.解得x＝48. 即這個正方形零件的邊長是48 mm. 4．(1)證明：在△ABQ和△ADP中， ∵DP∥BQ， ∴∠ADP＝∠B，∠APD＝∠AQB. ∴△ADP∽△ABQ. ∴＝. 同理△ACQ∽△AEP， ∴＝.∴＝. (2)①解：MN＝. ②證明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴∠B＝∠CEF. 又∵∠BGD＝∠EFC＝90°， ∴△BGD∽△EFC.∴＝. ∴DG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.由(1)得＝＝.∴＝·.即＝.∴MN2＝DM·EN. 5 學習是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改