2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.4 正態(tài)分布學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

2.4　正態(tài)分布 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.會用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題． 知識點(diǎn)一　正態(tài)曲線 思考　函數(shù)f(x)＝，x∈R的圖象如圖所示．試確定函數(shù)f(x)的解析式． 答案　由圖可知，該曲線關(guān)于直線x＝72對稱，最大值為，由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)圖象的對稱軸為x＝μ， ∴μ＝72，且＝，∴σ＝10. ∴f(x)＝(x∈R)． 梳理　(1)正態(tài)曲線 函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ，σ(σ>0)為參數(shù)，我們稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線． (2)正態(tài)曲線的性質(zhì) ①曲線位于x軸上方，與x軸不相交； ②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱； ③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值； ④曲線與x軸之間的面積為1； ⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示； ⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，總體的分布越集中，如圖乙所示： 知識點(diǎn)二　正態(tài)分布 一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)，如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)． 知識點(diǎn)三　3σ原則 1．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 2．通常服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值． 1．函數(shù)φμ，σ(x)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．(　　) 2．正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的．(　　) 3．正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．(　√　) 類型一　正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用 例1　如圖所示是一個正態(tài)分布的圖象，試根據(jù)該圖象寫出正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量總體的均值和方差． 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　求正態(tài)分布的均值或方差 解　從給出的正態(tài)曲線可知該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值是，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，隨機(jī)變量總體的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 反思與感悟　利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的兩個實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對稱軸為x＝μ，二是最大值為.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入f(x)中便可求出相應(yīng)的解析式． 跟蹤訓(xùn)練1　某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，則由如圖曲線可得下列說法中正確的一項是(　　) A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小 B．丙科總體的平均數(shù)最小 C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中 D．甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同 考點(diǎn)　正態(tài)分布密度函數(shù)的概念 題點(diǎn)　正態(tài)曲線 答案　A 解析　由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙．故選A. 類型二　利用正態(tài)分布的對稱性求概率 例2　設(shè)X～N(1,22)，試求： (1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X>5)． 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　正態(tài)分布下的概率計算 解　因?yàn)閄～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因?yàn)镻(3<X≤5)＝P(－3≤X<－1)， 所以P(3<X≤5)＝[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)P(X>5)＝P(X≤－3) ＝[1－P(－3<X≤5)]＝[1－P(1－4<X≤1＋4)]＝0.022 8. 引申探究　 本例條件不變，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值． 解　因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(1,22)，所以對應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱．又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，因此＝1，即c＝1. 反思與感悟　利用正態(tài)分布求概率的兩個方法 (1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)． ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解． 跟蹤訓(xùn)練2　已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　正態(tài)分布下的概率計算 答案　C 解析　∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，對稱軸是x＝2. ∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2， ∴P(0<ξ<4)＝0.6， ∴P(0<ξ<2)＝0.3.故選C. 類型三　正態(tài)分布的應(yīng)用 例3　有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20,4)．若這批零件共有5 000個，試求： (1)這批零件中尺寸在18～22 mm間的零件所占的百分比； (2)若規(guī)定尺寸在24～26 mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個？ 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 解　(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18， μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm間的零件所占的百分比大約是68.26%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在24～26 mm間的零件所占的百分比大約是＝2.15%. 因此尺寸在24～26 mm間的零件大約有5 0002.15%≈108(個)． 反思與感悟　解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率，在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想． 跟蹤訓(xùn)練3　在某次考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)成績在80～85分的有17人，該班同學(xué)成績在90分以上的有多少人？ 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 解　∵成績服從正態(tài)分布N(80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85， ∴成績在(75,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%，成績在(80,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.13%，設(shè)該班有x人，則x34.13%＝17，解得x≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成績在(70,90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%，成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.28%，即有502.28%≈1(人)，即成績在90分以上的僅有1人． 1．設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 考點(diǎn)　正態(tài)分布密度函數(shù)的概念 題點(diǎn)　正態(tài)曲線 答案　A 解析　根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)曲線：當(dāng)μ一定時，σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平穩(wěn)，反過來，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭．故選A. 2．正態(tài)分布N(0,1)在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則二者大小關(guān)系為(　　) A．P1＝P2 B．P1＜P2 C．P1＞P2 D．不確定 考點(diǎn)　正態(tài)分布密度函數(shù)的概念 題點(diǎn)　正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用 答案　A 解析　根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，圖象關(guān)于x＝0對稱，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等． 3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無實(shí)數(shù)根的概率為，則μ等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．不能確定 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　求正態(tài)分布的均值或方差 答案　C 解析　因?yàn)榉匠蘹2＋4x＋ξ＝0無實(shí)數(shù)根的概率為，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4. 4．已知服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)取值的概率分別為68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年級1 000名學(xué)生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N(90,152)，則此次考試成績在區(qū)間(60,120]內(nèi)的學(xué)生大約有(　　) A．997人 B．972人 C．954人 D．683人 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 答案　C 解析　依題意可知μ＝90，σ＝15，故P(60<X≤120)＝P(90－215<X≤90＋215)＝0.954 4,1 0000.954 4≈954，故大約有學(xué)生954人． 5．設(shè)隨機(jī)變量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)． (1)求c的值；(2)求P(－4<X<8)． 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　正態(tài)分布下的概率計算 解　(1)由X～N(2,9)可知，密度函數(shù)關(guān)于直線x＝2對稱(如圖所示)， 又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， 故有2－(c－1)＝(c＋1)－2， ∴c＝2. (2)P(－4<X≤8)＝P(2－23<X≤2＋23)＝0.954 4. 1．理解正態(tài)分布的概念和正態(tài)曲線的性質(zhì)． 2．正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這兩個特點(diǎn)． ①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等． ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)， 若b<μ，則P(X<μ－b)＝. 一、選擇題 1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝，則這個正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(　　) A．10與8 B．10與2 C．8與10 D．2與10 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　求正態(tài)分布的均值或方差 答案　B 解析　由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤0)等于(　　) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　正態(tài)分布下的概率計算 答案　A 解析　∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2， ∵P(ξ≤4)＝0.84， ∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16， ∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16. 3．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6]內(nèi)的概率為(　　)(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　正態(tài)分布下的概率計算 答案　B 解析　由正態(tài)分布的概率公式，知P(－3<ξ≤3)＝0.682 6，P(－6<ξ≤6)＝0.954 4， 故P(3<ξ≤6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故選B. 4.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個數(shù)的估計值為(　　)(附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4) A．2 386 B．2 718 C．4 772 D．3 413 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 答案　D 解析　由X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6， ∴P(0≤X≤1)＝0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3. ∴落在陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)x的估計值為＝，∴x＝10 0000.341 3＝3 413，故選D. 5．設(shè)X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t) D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)>P(Y≥t) 考點(diǎn)　正態(tài)分布密度函數(shù)的概念 題點(diǎn)　正態(tài)曲線 答案　C 解析　由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A錯； P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B錯； 當(dāng)t為任意正數(shù)時，由題圖可知P(X≤t)>P(Y≤t)， 而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)， ∴P(X≥t)<P(Y≥t)，故C正確，D錯． 6．如果正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在(－3，－1)內(nèi)的概率和落在(3,5)內(nèi)的概率相等，那么這個正態(tài)總體的均值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　求正態(tài)分布的均值或方差 答案　B 解析　正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在這兩個區(qū)間里的概率相等，說明在這兩個區(qū)間上位于正態(tài)曲線下方的面積相等，區(qū)間(－3，－1)和(3,5)的長度相等，說明正態(tài)曲線在這兩個區(qū)間上是對稱的．因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，μ的概率意義就是均值，而區(qū)間(－3，－1)和(3,5)關(guān)于x＝1對稱，所以正態(tài)總體的均值是1. 7．已知一次考試共有60名學(xué)生參加，考生的成績X～N(110,52)，據(jù)此估計，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在區(qū)間(　　) A．(90,110] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115] 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 答案　C 解析　∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5. 因此考試成績在區(qū)間(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分別是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人參加考試，故可估計成績位于上述三個區(qū)間的人數(shù)分別是600.682 6≈41,600.954 4≈57,600.997 4≈60. 8．在某市2018年1月份的高三質(zhì)量檢測考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市理科學(xué)生約有9 450人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第(　　) A．1 500名 B．1 700名 C．4 500名 D．8 000名 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 答案　A 解析　因?yàn)槔砜粕臄?shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(98,100)，所以P(X≥108)＝[1－P(88<X≤108)]＝[1－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝(1－0.682 6)＝0.158 7，所以0.158 79 450≈1 500，故該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第1 500名． 二、填空題 9．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，則實(shí)數(shù)a的值為 ． 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　求正態(tài)分布的均值或方差 答案　1 解析　∵X服從正態(tài)分布N(a,4)，∴正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝a對稱，又P(X≤1)＝0.5，故a＝1. 10．設(shè)隨機(jī)變量X～N(4，σ2)，且P(4<X<8)＝0.3，則P(X<0)＝ . 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　正態(tài)分布下的概率計算 答案　0.2 解析　概率密度曲線關(guān)于直線x＝4對稱，在4右邊的概率為0.5，在0左邊的概率等于8右邊的概率，即0.5－0.3＝0.2. 11．某正態(tài)分布密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，則總體落入?yún)^(qū)間(0,2]內(nèi)的概率為 ． 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　正態(tài)分布下的概率計算 答案　0.477 2 解析　正態(tài)分布密度函數(shù)是f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，若它是偶函數(shù)，則μ＝0， ∵f(x)的最大值為f(μ)＝＝，∴σ＝1， ∴P(0<X≤2)＝P(－2<X≤2)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4＝0.477 2. 三、解答題 12．已知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且其正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上為減函數(shù)，且P(72<X≤88)＝0.682 6. (1)求參數(shù)μ，σ的值； (2)求P(64＜X≤72)． 考點(diǎn)　正態(tài)分布的概念及性質(zhì) 題點(diǎn)　求正態(tài)分布的均值或方差 解　(1)由于正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)， 在(80，＋∞)上是減函數(shù)， 所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對稱，即參數(shù)μ＝80. 又P(72<X≤88)＝0.682 6. 結(jié)合P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8. (2)因?yàn)镻(μ－2σ<X≤μ＋2σ) ＝P(64<X≤96) ＝0.954 4. 又因?yàn)镻(X≤64)＝P(X>96)， 所以P(X≤64)＝(1－0.954 4) ＝0.045 6＝0.022 8. 所以P(X>64)＝0.977 2. 又P(X≤72)＝[1－P(72<X≤88)] ＝(1－0.682 6)＝0.158 7， 所以P(X>72)＝0.841 3， P(64<X≤72) ＝P(X>64)－P(X>72) ＝0.135 9. 13．某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)；第二條路線較長不擁擠，X服從正態(tài)分布N(6,0.16)．若有一天他出發(fā)時離點(diǎn)名時間還有7分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？若離點(diǎn)名時間還有6.5分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？ 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 解　還有7分鐘時： 若選第一條路線，即X～N(5,1)，能及時到達(dá)的概率 P1＝P(X≤7) ＝P(X≤5)＋P(5<X≤7) ＝＋P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)． 若選第二條路線，即X～N(6,0.16)，能及時到達(dá)的概率 P2＝P(X≤7) ＝P(X≤6)＋P(6<X≤7) ＝＋P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)． 因?yàn)镻1<P2，所以應(yīng)選第二條路線． 同理，還有6.5分鐘時，應(yīng)選第一條路線． 四、探究與拓展 14．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1 000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(μ，22)， 且正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若體重大于58.5 kg小于等于62.5 kg屬于正常情況，則這1 000名男生中屬于正常情況的人數(shù)約為 ． 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 答案　683 解析　依題意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，從而屬于正常情況的人數(shù)為1 0000.682 6≈683. 15．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖． (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2. ①利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z≤212.2)； ②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2]的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)． (附：≈12.2) 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的綜合應(yīng)用 解　(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為 ＝1700.02＋1800.09＋1900.22＋2000.33＋2100.24＋2200.08＋2300.02＝200， s2＝(－30)20.02＋(－20)20.09＋(－10)20.22＋00.33＋1020.24＋2020.08＋3020.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200,150)， 從而P(187.8<Z≤212.2)＝P(200－12.2<Z≤200＋12.2)＝0.682 6. ②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2]的概率為0.682 6，依題意知X～B(100,0.682 6)， 所以E(X)＝1000.682 6＝68.26.