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課堂達標(三十二) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題
[A基礎(chǔ)鞏固練]
1．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
[解析] 當x>0時，x2＋≥2x＝x，所以lg≥lg x(x>0)，
故選項A不正確；
運用基本不等式時需保證“一正”“二定”“三相等”，
而當x≠kπ，k∈Z時，sin x的正負不定，故選項B不正確；
由基本不等式可知，選項C正確；
當x＝0時，有＝1，故選項D不正確．
[答案] C
2．(高考湖南卷)若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為( )
A. B．2
C．2 D．4
[解析] 由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2 ，即ab≥2，當且僅當即a＝，b＝2 時取“＝”，所以ab的最小值為2.
[答案] C
3．(2017山東)若a>b>0，且ab＝1，則下列不等式成立的是( )
A．a(chǎn)＋<
b>0，且ab＝1，所以a>1,0log22＝1,2a＋>a＋>a＋b?a＋>log2(a＋b)，所以選B.
[答案] B
4．(2018湖北七市(州)協(xié)作體聯(lián)考)已知直線ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為2，則ab的最大值是( )
A．9 B.
C．4 D.
[解析] 將圓的一般方程化為標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓心坐標為(1,2)，半徑r＝，故直線過圓心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2，可得ab≤，當且僅當a＝2b＝3時等號成立，即ab的最大值是，故選B.
[答案] B
5．正數(shù)a，b滿足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18＝m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，6] D．[6，＋∞)
[解析] 因為a>0，b>0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由題意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m對任意實數(shù)x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值為－6，
所以－6≥－m，即m≥6.
[答案] D
6．(2018吉林九校第二次聯(lián)考)若正數(shù)a，b滿足＋＝1，則＋的最小值是( )
A．1 B．6
C．9 D．16
[解析] ∵正數(shù)a，b滿足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，所以＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，當且僅當＝9(a－1)，即a＝時等號成立，所以最小值為6.故選B.
[答案] B
7．(2018山東省實驗中學(xué)一模試卷)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是______．
[解] 考察基本不等式x＋2y＝8－x(2y)≥8－2(當且僅當x＝2y時取等號)
整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0
即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，
所以x＋2y≥4(當且僅當x＝2y時取等號)
則x＋2y的最小值是4.
[答案] 4
8．(2018鹽城三模)若a，b均為非負實數(shù)，且a＋b＝1，則＋的最小值為______．
[解析] 由題意可知：3a＋3b＝3，故：＋
＝[(a＋2b)＋(2a＋b)]
＝
≥＝9＝3.
當且僅當a＝1，b＝0時等號成立．
[答案] 3
9．(高考重慶卷)設(shè)a，b>0，a＋b＝5，則＋的最大值為______．
[解析] 令t＝＋，則t2＝a＋1＋b＋3＋2 ＝9＋2 ≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，當且僅當a＋1＝b＋3時取等號，此時a＝，b＝.所以tmax＝＝3 .
[答案] 3
10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
[解] (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，當且僅當2x＝5y時，等號成立．因此有解得
此時xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg x＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴當x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝＝≥＝，當且僅當＝時，等號成立．
由解得
∴＋的最小值為.
[B能力提升練]
1．(2018河北五校聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件若目標函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則＋的最小值為( )
A. B.
C. D．4
[解析] 不等式組在直角坐標系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，當z變化時，它表示經(jīng)過可行域的一組平行直線，其斜率為－，在y軸上的截距為，由圖可知當直線經(jīng)過點A(4,6)時，在y軸上的截距最大，從而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝＝≥4，當且僅當a＝，b＝1時等號成立．
[答案] D
2．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，若存在兩項am，an使得＝4a1，則＋的最小值為( )
A. B.
C. D.
[解析] 由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)．
因為＝4a1，所以qm＋n－2＝16，
所以2m＋2－2＝24，所以m＋n＝6.
所以＋＝(m＋n)
＝≥＝.
當且僅當＝時，等號成立，
又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合題意．
故＋的最小值等于.
[答案] A
3．(2018濰坊模擬)已知a，b為正實數(shù)，直線x＋y＋a＝0與圓(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，則的取值范圍是______．
[解析] ∵x＋y＋a＝0與圓(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，
∴d＝＝，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，
∴＝＝
＝(b＋1)＋－4≥2－4＝0.
又∵a，b為正實數(shù)，∴的取值范圍是(0，＋∞)．
[答案] (0，＋∞)
4．(2018南昌二模)網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2017年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式．根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足x＝3－函數(shù)關(guān)系式．已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是______萬元．
[解析] 利潤等于收入減成本，
所以y＝x－32x－t－3＝16x－－3
＝16x＋－3＝16(x－3)＋＋48－2.5
因為x＝3－<3，所以原式x－3<0，
可化簡為y＝－＋45.5，
而16(3－x)＋≥2＝8，
那么－＋45.5≤－8＋45.5＝37.5，等號成立的條件是16(3－x)＝?x＝2.5，
所以該公司的最大利潤是37.5，
故填：37.5.
[答案] 37.5
5．(2018常州期末調(diào)研)某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900 m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1 m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3 m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x(單位：m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(單位：m2)．
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求S的最大值．
[解] (1)由題設(shè)，得S＝(x－8)
＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因為8x1≥35，
則f(x1)－f(x2)＝－
＝.∵x2>x1≥35，
∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0，
故f(x1)－f(x2)<0，f(x1)
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第六章
不等式
課堂達標32
二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題
新人教版
2019
高考
數(shù)學(xué)
一輪
復(fù)習
第六
課堂
達標
32
二元
一次
簡單
線性規(guī)劃
問題
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