2019-2020年滬教版高中數(shù)學(xué)高三理科《曲線的參數(shù)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)附說(shuō)明.doc
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2019-2020年滬教版高中數(shù)學(xué)高三理科《曲線的參數(shù)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)附說(shuō)明.doc
2019-2020年滬教版高中數(shù)學(xué)高三理科《曲線的參數(shù)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)附說(shuō)明
教學(xué)目標(biāo)
1、理解曲線參數(shù)方程的概念,能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程;
2、通過(guò)對(duì)圓和直線的參數(shù)方程的研究,了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義;
3、初步了解如何應(yīng)用參數(shù)方程來(lái)解決某些具體問(wèn)題,在問(wèn)題解決的過(guò)程中,形成數(shù)學(xué)抽象思維能力,初步體驗(yàn)參數(shù)的基本思想。
教學(xué)重點(diǎn)
曲線參數(shù)方程的概念。
教學(xué)難點(diǎn)
曲線參數(shù)方程的探求。
教學(xué)過(guò)程
(一)曲線的參數(shù)方程概念的引入
引例:
2002年5月1日,中國(guó)第一座身高108米的摩天輪,在上海錦江樂園正式對(duì)外運(yùn)營(yíng)。并以此高度躋身世界三大摩天輪之列,居亞洲第一。
已知該摩天輪半徑為51.5米,逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周需時(shí)20分鐘。如圖所示,某游客現(xiàn)在點(diǎn)(其中點(diǎn)和轉(zhuǎn)軸的連線與水平面平行)。問(wèn):經(jīng)過(guò)秒,該游客的位置在何處?
引導(dǎo)學(xué)生建立平面直角坐標(biāo)系,把實(shí)際問(wèn)題抽象到數(shù)學(xué)問(wèn)題,并加以解決
(1、通過(guò)生活中的實(shí)例,引發(fā)學(xué)生研究的興趣;2、通過(guò)引例明確學(xué)習(xí)參數(shù)方程的現(xiàn)實(shí)意義;3、通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決,使學(xué)生體會(huì)到僅僅運(yùn)用一種方程來(lái)研究往往難以獲得滿意的結(jié)果,從而了解學(xué)習(xí)曲線的參數(shù)方程的必要性;4、通過(guò)具體的問(wèn)題,讓學(xué)生找到解決問(wèn)題的途徑,為研究圓的參數(shù)方程作準(zhǔn)備。)
(二)曲線的參數(shù)方程
1、圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)
(1)一般的,設(shè)⊙的圓心為原點(diǎn),半徑為,所在直線為軸,如圖,以為始邊繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)以勻角速度作圓周運(yùn)動(dòng),則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與時(shí)刻的關(guān)系該如何建立呢?(其中與為常數(shù),為變數(shù))
結(jié)合圖形,由任意角三角函數(shù)的定義可知:
為參數(shù) ①
(2)點(diǎn)的角速度為,運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間為,則角位移,那么方程組①可以改寫為何種形式?
結(jié)合勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理意義可得: 為參數(shù) ②
(在引例的基礎(chǔ)上,把原先具體的數(shù)據(jù)一般化,為圓的參數(shù)方程概念的形成作準(zhǔn)備,同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力)
(3)方程①、②是否是圓心在原點(diǎn),半徑為的圓方程?為什么?
由上述推導(dǎo)過(guò)程可知:對(duì)于⊙上的每一個(gè)點(diǎn)都存在變數(shù)(或)的值,使,(或,)都成立。
對(duì)于變數(shù)(或)的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)都在圓上;
(1、對(duì)曲線的方程以及方程的曲線的定義進(jìn)行必要的復(fù)習(xí);2、學(xué)生從曲線的方程以及方程的曲線的定義出發(fā),可以說(shuō)明以上由變數(shù)(或)建立起來(lái)的方程是圓的方程;)
(4)若要表示一個(gè)完整的圓,則與的最小的取值范圍是什么呢?
,
(5)圓的參數(shù)方程及參數(shù)的定義
我們把方程①(或②)叫做⊙的參數(shù)方程,變數(shù)(或)叫做參數(shù)。
(6)圓的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí)
(?。﹨?shù)方程與是否表示同一曲線?為什么?
(ⅱ)根據(jù)下列要求,分別寫出圓心在原點(diǎn)、半徑為的圓的部分圓弧的參數(shù)方程:
①在軸左側(cè)的半圓(不包括軸上的點(diǎn));
②在第四象限的圓弧。
(通過(guò)具體問(wèn)題的解決,加深對(duì)圓的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí),體會(huì)到參數(shù)的取值范圍也是圓的參數(shù)方程的重要組成部分;并為曲線的參數(shù)方程的定義及其理解與認(rèn)識(shí)作鋪墊。)
(7)曲線的參數(shù)方程的定義
(?。┮话愕?,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)、都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù) ③,并且對(duì)于的每一個(gè)允許值,由方程組③所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么方程組③就叫做這條曲線的參數(shù)方程。變數(shù)叫做參變量或參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù)。
(ⅱ)相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō),直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)、間關(guān)系的方程叫做曲線的普通方程。
(8)曲線的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí)
(?。﹨?shù)方程的形式;
(橫、縱坐標(biāo)、都是變量的函數(shù),給出一個(gè)能唯一的求出對(duì)應(yīng)的、 的值,因而得出唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn);但橫、縱坐標(biāo)、之間的關(guān)系并不一定是函數(shù)關(guān)系。)
(ⅱ)參數(shù)的取值范圍;
(在表述曲線的參數(shù)方程時(shí),必須指明參數(shù)的取值范圍;取值范圍的不同,所表示的曲線也可能會(huì)有所不同。)
(ⅲ)參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性;
(普通方程是相對(duì)參數(shù)方程而言的,普通方程反映了坐標(biāo)變量與之間的直接聯(lián)系,而參數(shù)方程是通過(guò)變數(shù)反映坐標(biāo)變量與之間的間接聯(lián)系;普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達(dá)形式;參數(shù)方程可以與普通方程進(jìn)行互化。)
(ⅳ)參數(shù)的作用;
(參數(shù)作為間接地建立橫、縱坐標(biāo)、之間的關(guān)系的中間變量,起到了橋梁的作用。)
(ⅴ)參數(shù)的意義。
(如果參數(shù)選擇適當(dāng),參數(shù)在參數(shù)方程中可以有明確的幾何意義,也可以有明確的物理意義,可以給問(wèn)題的解決帶來(lái)方便。即使是同一條曲線,也可以用不同的變數(shù)作為參數(shù)。)
(三)鞏固曲線的參數(shù)方程的概念
例題1:
(1)質(zhì)點(diǎn)開始位于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)處,沿某一方向作勻速直線運(yùn)
動(dòng)。水平分速度厘米/秒,鉛錘分速度厘米/秒,
(?。┣蟠速|(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與時(shí)刻(秒)的關(guān)系;
(ⅱ)問(wèn)5秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所處的位置。
(2)寫出經(jīng)過(guò)定點(diǎn),且傾斜角為的直線的參數(shù)方程。
問(wèn)題:作出例題1中兩小題的直線圖像,判斷它們的位置關(guān)系;從中你能得到什么啟示呢?
(第一小題通過(guò)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)間有關(guān)建立表現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)位置的參數(shù)方程;第二小題通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立直線的參數(shù)方程;從而使學(xué)生了解參數(shù)的選取有多種方法,同一曲線可以由不同的參數(shù)方程來(lái)表示。)
例題2:已知點(diǎn)在圓:上運(yùn)動(dòng),求的最大值。
(通過(guò)普通方程化為參數(shù)方程求得函數(shù)的最值,使學(xué)生初步體驗(yàn)參數(shù)方程的作用與意義。)
(四)課堂小結(jié)
1、知識(shí)內(nèi)容:知道圓的參數(shù)方程以及曲線參數(shù)方程的概念;能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程;通過(guò)對(duì)圓和直線的參數(shù)方程的研究,理解其中參數(shù)的意義。
2、思想與方法:參數(shù)思想。
(引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程,小結(jié)與交流學(xué)習(xí)體會(huì),包括數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得,數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。)
(五)作業(yè)
課本,練習(xí)17.1(1),第2、3題。
(六)思考
(1)若圓的一般方程為,你能寫出它的一個(gè)參數(shù)方程嗎?
(2)針對(duì)引例中的實(shí)際情況,游客總是從摩天輪的最低點(diǎn)登上轉(zhuǎn)盤。若某游客登上轉(zhuǎn)盤的時(shí)刻記為,則經(jīng)過(guò)時(shí)間該游客的位置在何處?在引例所建立的坐標(biāo)系下,你能否通過(guò)建立相對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程,并得到游客的具體位置呢?
教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
一、教材分析
本節(jié)課所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三年級(jí)(理科)數(shù)學(xué)課本,內(nèi)容為第十七章第一節(jié),第一課時(shí)。
“參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程”這一章節(jié)內(nèi)容是在“圓錐曲線”這一章的基礎(chǔ)上進(jìn)一步展開研究曲線的方程。學(xué)習(xí)曲線的參數(shù)方程是為了進(jìn)一步探討直線、圓錐曲線的性質(zhì),也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ),它在生產(chǎn)實(shí)踐中有很多實(shí)際的應(yīng)用。本章主要學(xué)習(xí)參數(shù)方程的基本概念、基本原理、基本方法,因此在教學(xué)中要求應(yīng)適當(dāng),難度要控制,基本應(yīng)以課本例題與習(xí)題為主。
通過(guò)本章節(jié)的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生感悟到現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題是多種多樣的,僅用一種坐標(biāo)系,一種方程來(lái)研究各種不同的問(wèn)題是不適合的,有時(shí)難以獲得滿意的效果。參數(shù)方程有其自身的優(yōu)越性,學(xué)習(xí)參數(shù)方程有其必要性。通過(guò)學(xué)習(xí)參數(shù)方程的有關(guān)概念,以及方程之間、坐標(biāo)之間的互化,使學(xué)生感悟到坐標(biāo)系及各種方程的表示方法是可以視實(shí)際需要,主觀能動(dòng)的加以選擇的。
“曲線的參數(shù)方程”為本章節(jié)的第一部分。主要讓學(xué)生了解參數(shù)方程的有關(guān)概念,通過(guò)探索圓錐曲線的參數(shù)方程初步掌握求曲線的參數(shù)方程的方法,并且在此基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的互化及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)
根據(jù)以上分析,本節(jié)課設(shè)置的教學(xué)目標(biāo)為:
1、理解曲線參數(shù)方程的概念,能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程。
2、通過(guò)對(duì)圓和直線的參數(shù)方程的研究,了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義。
3、初步了解如何應(yīng)用參數(shù)方程來(lái)解決某些具體問(wèn)題,在問(wèn)題解決的過(guò)程中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力,初步體驗(yàn)參數(shù)的基本思想。
三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
我校是上海市示范型高中,我校的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良好,思維活躍,具備一定的分析問(wèn)題和自主探究能力。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探究,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與運(yùn)用,希望加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。
本課設(shè)置如下教學(xué)環(huán)節(jié)以體現(xiàn)重點(diǎn),突破難點(diǎn),實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。
1、作為曲線的參數(shù)方程的概念課,一味的灌輸是不可取的。而是要讓學(xué)生體會(huì)到為什么要建立曲線的參數(shù)方程,感受其產(chǎn)生的必要性、合理性以及可行性。因此,由“摩天輪”這一生活中的實(shí)例引入,一方面使學(xué)生了解參數(shù)方程是基于生產(chǎn)、生活發(fā)展的實(shí)際需要而產(chǎn)生的,在引發(fā)學(xué)生研究的興趣時(shí),通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決,使學(xué)生體會(huì)到僅僅運(yùn)用一種方程來(lái)研究不同的問(wèn)題不一定方便,往往難以獲得滿意的結(jié)果,從而了解研究曲線的參數(shù)方程的必要性;另一方面通過(guò)具體問(wèn)題的解決,找到解決問(wèn)題的途徑,也為圓的參數(shù)方程的研究作必要的準(zhǔn)備。
2、由特殊到一般,從具體到抽象。以“引導(dǎo)設(shè)問(wèn)”為主線,學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考和解答,體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程,自主探索和獲取知識(shí),從而得到圓的參數(shù)方程。同時(shí)在探索的過(guò)程中也提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力。
3、作為一堂概念課,學(xué)生對(duì)于概念的理解必須精確,深入,為后續(xù)課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ),教師必須在這一環(huán)節(jié)進(jìn)行深入的分析。
因此,在圓以及曲線的參數(shù)方程的概念引入之后,針對(duì)參數(shù)方程的形式、參數(shù)的取值范圍、參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性、參數(shù)的作用以及參數(shù)的意義進(jìn)行深入的理解與探討。通過(guò)這一環(huán)節(jié),學(xué)生活躍的思維逐步從感性上升到理性;同時(shí),對(duì)于概念的理解得到鞏固與深化。
通過(guò)加強(qiáng)師生交流、關(guān)注學(xué)生思維,把握課堂教學(xué)重點(diǎn),讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的原因,發(fā)展的過(guò)程及其應(yīng)用的價(jià)值。
4、在本節(jié)課中,設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)木毩?xí)與例題。一方面可以鞏固學(xué)生對(duì)曲線的參數(shù)方程概念的理解認(rèn)識(shí);另一方面通過(guò)簡(jiǎn)單的應(yīng)用,使學(xué)生體會(huì)曲線的參數(shù)方程的作用及意義。
教學(xué)中通過(guò)教師的適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā),同時(shí)大膽地放手由學(xué)生自主探究、及時(shí)激勵(lì)學(xué)生以體驗(yàn)問(wèn)題解決的成功喜悅。
5、 本節(jié)課的小結(jié)并不是由教師代為整理歸納,而是引導(dǎo)學(xué)生自主回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程,交流學(xué)習(xí)體會(huì),包括數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得,數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟,對(duì)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考的感想等。一方面可以在學(xué)生交流的過(guò)程中及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并加以糾正;另一方面也鍛煉了學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理和概括能力。
6、作為課堂教學(xué)的延續(xù),兩道思考題可讓學(xué)生在課后進(jìn)行自主探究,同時(shí)也為后續(xù)的參數(shù)方程與普通方程的互化以及參數(shù)方程的應(yīng)用作準(zhǔn)備。