2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.3 函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修1 -1.doc

3.3.3　函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能夠區(qū)分極值與最值兩個(gè)不同的概念．(易混點(diǎn))2.掌握在閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)的求法．(重點(diǎn))3.能根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值 如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，則該函數(shù)在[a，b]上一定能夠取得最大值和最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得． 思考：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個(gè)極大值點(diǎn)x0，則f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值嗎？ [提示]　根據(jù)極大值和最大值的定義知，f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值． 2．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最值的步驟 (1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值． (2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值． (　　) (2)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值． (　　) (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個(gè)端點(diǎn)處取得． (　　) (4)函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－1,1]上有最值． (　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)　(4) 2．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是(　　) A．－2　　　B．0　　　C．2　　　D．4 C　[f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. 由f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0得f(x)max＝f(0)＝2.] 3．函數(shù)y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792160】 A．π－1　　　B.－1　　　C．π　　　D．π＋1 C　[y′＝1－cos x>0，故函數(shù)y＝x－sin x，x∈是增函數(shù)，因此當(dāng)x＝π時(shí)，函數(shù)有最大值，且ymax＝π－sin π＝π.] [合 作 探 究攻 重 難] 求函數(shù)的最值 　求下列各函數(shù)的最值． (1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,1]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]． [解]　(1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝2， 又x∈[－2,1]，故x＝－1，且f(－1)＝12. 又因?yàn)閒(－2)＝1，f(1)＝－8， 所以，當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取最大值12. 當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取最小值－8. (2)∵f(x)＝3ex－exx2， ∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx) ＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)． ∵在區(qū)間[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0， 即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上單調(diào)遞減， ∴x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值f(2)＝－e2； x＝5時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(5)＝－22e5. [規(guī)律方法]　求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的步驟 第一步　求f′(x)，解方程f′(x)＝0 第二步　確定在閉區(qū)間上方程f′(x)＝0的根 第三步　求極值、端點(diǎn)值，確定最值． [跟蹤訓(xùn)練] 1．求下列各函數(shù)的最值． (1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]； (2)f(x)＝x2－(x＜0)． [解]　(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)． 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1， 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x － (－， －1) －1 (－1， 1) 1 (1,3) 3 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 0 ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ －18 所以x＝1和x＝－1是函數(shù)在[－，3]上的兩個(gè)極值點(diǎn)，且f(1)＝2，f(－1)＝－2. 又因?yàn)閒(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的取值為f(－)＝0，f(3)＝－18， 所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18. (2)f′(x)＝2x＋. 令f′(x)＝0，得x＝－3. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,0) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值 ↗ 所以x＝－3時(shí)，f(x)取得極小值，也就是最小值， 故f(x)的最小值為f(－3)＝27，無(wú)最大值. 含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題 　已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792161】 [思路探究]　求導(dǎo)→討論a的正負(fù)→判斷[0,2]上的單調(diào)性→得最值． [解]　f′(x)＝3x2－2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. 當(dāng)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增， 從而f(x)max＝f(2)＝8－4a. 當(dāng)≥2，即a≥3時(shí)，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減， 從而f(x)max＝f(0)＝0. 當(dāng)0＜＜2，即0＜a＜3時(shí)， f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 從而f(x)max＝ 綜上所述，f(x)max＝ [規(guī)律方法]　1.含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題的兩類(lèi)情況 (1)能根據(jù)條件確定出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題． (2)對(duì)于不能求出參數(shù)值的問(wèn)題，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況．若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值． 2．已知函數(shù)最值求參數(shù)值(范圍)的思路 已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，用參數(shù)表示出最值后求參數(shù)的值或范圍． [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值． [解]　由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾．求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)當(dāng)a>0時(shí)，且x變化時(shí)f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. (2)當(dāng)a<0時(shí)，同理可得，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 與最值有關(guān)的恒成立問(wèn)題 [探究問(wèn)題] 1．比較兩個(gè)函數(shù)式的大小，常用什么方法？ 提示：常用差比較法． 2．函數(shù)最值和“恒成立”問(wèn)題有什么聯(lián)系？ 提示：解決“恒成立”問(wèn)題，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．如f(x)＞0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．對(duì)含參不等式的恒成立問(wèn)題，求參數(shù)范圍時(shí)，可先分離參數(shù)． 　設(shè)f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值； (2)討論g(x)與g的大小關(guān)系； (3)求a的取值范圍，使g(a)－g(x)<對(duì)任意x>0成立． [思路探究]　(1)求出g(x)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵；(2)構(gòu)造輔助函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求解；(3)顯然g(x)的最值決定了參數(shù)a的取值范圍。 [解]　(1)由題設(shè)知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝， 所以g(x)＝ln x＋ 所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1， 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0， 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0， 故g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．因此，x＝1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)， 所以g(x)的最小值為g(1)＝1. (2)g＝－ln x＋x， 設(shè)h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋， 則h′(x)＝－. 當(dāng)x＝1時(shí)，h(1)＝0，即g(x)＝g； 當(dāng)x∈(0,1)∪(1，＋∞)時(shí)，h′(x)<0，h′(1)＝0， 因此，h(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減． 當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g； 當(dāng)x>1時(shí)，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g. (3)因?yàn)間(a)－g(x)<對(duì)任意x>0成立， 即ln a<g(x)對(duì)任意x>0成立． 由(1)知，g(x)的最小值為1， 所以ln a<1，解得0<a<e. [規(guī)律方法]　分離參數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題 [跟蹤訓(xùn)練] 3．已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792162】 [解]　f′(x)＝＋ln x－1 ＝ln x＋，xf′(x)＝xln x＋1， 而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等價(jià)于ln x－x≤a. 令g(x)＝ln x－x，則g′(x)＝－1. 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＞0；當(dāng)x≥1時(shí)，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值點(diǎn)，所以g(x)≤g(1)＝－1. 綜上可知，a的取值范圍是[－1，＋∞)． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．函數(shù)y＝的最大值為(　　) A．e－1　　B．e　　　C．e2　　D. A　[函數(shù)y＝的定義域?yàn)?0，＋∞)． y′＝，由＝0得x＝e， 當(dāng)0<x<e時(shí)，y′>0， 當(dāng)x>e時(shí)，y′<0. 因此當(dāng)x＝e時(shí)，函數(shù)y＝有最大值，且ymax＝＝e－1.] 2．若函數(shù)f(x)＝x3－3x－a在區(qū)間[0,3]上的最大值、最小值分別為M，N，則M－N的值為(　　) A．2　　　　B．4　　　　C．18　　　　D．20 D　[f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0得x＝1. 當(dāng)0≤x<1時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)1<x≤3時(shí)，f′(x)>0. 則f(1)最小，又f(0)＝－a，f(3)＝18－a， f(3)>f(0)，所以最大值為f(3)，即M＝f(3)， N＝f(1)?M－N＝f(3)－f(1) ＝(18－a)－(－2－a)＝20.] 3．函數(shù)y＝x＋2cos x在區(qū)間上的最大值是__________． ＋　[y′＝1－2sin x＝0，解得x＝，比較0，，處的函數(shù)值，得ymax＝＋.] 4．函數(shù)f(x)＝x3－x2－2x＋5，對(duì)任意x∈[1,2]都有f(x)>m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________． 　[由題意知只要f(x)min>m即可， 由f′(x)＝3x2－x－2＝0， 得x＝－(舍去)或x＝1， 易知f(x)min＝f(1)＝，所以m<.] 5．已知函數(shù)f(x)＝＋ln x，求f(x)在上的最大值和最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792163】 [解]　f′(x)＝＋＝. 由f′(x)＝0，得x＝1. ∴在上，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x 1 (1,2) 2 f′(x) － 0 ＋ f(x) 1－ln 2 ↘ 極小值0 ↗ －＋ln 2 ∵f－f(2)＝－2ln 2＝(ln e3－ln 16)， 而e3＞16，∴f＞f(2)＞0. ∴f(x)在上的最大值為f＝1－ln 2，最小值為0.