2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc

1.3.1　函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．(易混點)2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．(重點)3.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點、難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系 定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)： f′(x)的正負(fù) f(x)的單調(diào)性 f′(x)＞0 單調(diào)遞增 f′(x)＜0 單調(diào)遞減 思考：如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？ [提示]f(x)是常數(shù)函數(shù)． 2．函數(shù)圖象的變化趨勢與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上： 導(dǎo)數(shù)的絕對值 函數(shù)值變化 函數(shù)的圖象 越大 快 比較“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比較“平緩”(向上或向下) [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增．(　　) (2)函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”．(　　) (3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對值越大．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．函數(shù)f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函數(shù)　　 B．減函數(shù) C．先增后減 D．不確定 A　[∵f(x)＝2x－sin x， ∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．] 3．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖131所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是(　　) 圖131 D　[∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是減函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時，f′(x)＜0，當(dāng)x＜0時，f′(x)＜0.] 4．函數(shù)f(x)＝ex－x的單調(diào)遞增區(qū)間為________. 【導(dǎo)學(xué)號：31062036】 [解析]　∵f(x)＝ex－x， ∴f′(x)＝ex－1. 由f′(x)＞0得，ex－1＞0， 即x＞0. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)． [答案]　(0，＋∞) [合 作 探 究攻 重 難] 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系 　(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖132所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為(　　) 圖132 (2)已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f′(x)的圖象如圖133所示，則f(x)的圖象只可能是(　　) 圖133 (1)D　(2)D　[(1)由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)始終為正；當(dāng)x＞0時，函數(shù)先增后減再增，即導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正，對照選項，應(yīng)選D. (2)從f′(x)的圖象可以看出，在區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)，導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞減．即函數(shù)f(x)的圖象在內(nèi)越來越陡，在內(nèi)越來越平緩，由此可知，只有選項D符合．] [規(guī)律方法]　研究函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法 研究一個函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知y＝xf′(x)的圖象如圖134所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是(　　) 圖134 C　[當(dāng)0＜x＜1時，xf′(x)＜0， ∴f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)； 當(dāng)x＞1時，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， 故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)．故選C.] 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 角度1　不含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間 　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2e－x； (3)f(x)＝x＋. 【導(dǎo)學(xué)號：31062037】 [解]　(1)函數(shù)的定義域為D＝(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定義域D，得下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. (2)函數(shù)的定義域為D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定義域D，得下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f′(x) ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(2，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)． (3)函數(shù)的定義域為D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定義域D，得下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)和(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(1，＋∞)． 角度2　含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 　討論函數(shù)f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的單調(diào)性． [思路探究]　―→―→ [解]　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－ ＝. (1)當(dāng)a＝0時，f′(x)＝， 由f′(x)＞0，得x＞1， 由f′(x)＜0，得0＜x＜1. ∴f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)． (2)當(dāng)a＞0時， f′(x)＝， ∵a＞0，∴－＜0. 由f′(x)＞0，得x＞1， 由f′(x)＜0，得0＜x＜1. ∴f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)． 綜上所述，當(dāng)a≥0時，f(x)在(0,1)內(nèi)為減函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù). [規(guī)律方法]　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域． (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)． (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相應(yīng)的x的范圍．當(dāng)f′(x)>0時，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f′(x)<0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)． (4)結(jié)合定義域?qū)懗鰡握{(diào)區(qū)間． [跟蹤訓(xùn)練] 2．設(shè)f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【導(dǎo)學(xué)號：31062038】 [解]　f(x)的定義域為 (－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，則f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞， ＋∞)上單調(diào)遞增． 若a＞0，則當(dāng)x∈(－∞，ln a)時，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增． 綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a＞0時，f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增. 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 [探究問題] 1．在區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)＞0，則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，反之也成立嗎？ 提示：不一定成立．比如y＝x3在R上為增函數(shù)，但其在x＝0處的導(dǎo)數(shù)等于零．也就是說f′(x)＞0是y＝f(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件． 2．若函數(shù)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，則f′(x)滿足什么條件？ 提示：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)． 　已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． [思路探究]　―→―→ [解]　由已知得f′(x)＝3x2－a， 因為f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2對x∈R恒成立，因為3x2≥0，所以只需a≤0. 又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0. 母題探究：1.(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1的單調(diào)減區(qū)間為(－1,1)，求a的取值范圍． [解]　由f′(x)＝3x2－a， ①當(dāng)a≤0時，f′(x)≥0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)． ②當(dāng)a＞0時，令3x2－a＝0，得x＝， 當(dāng)－＜x＜時，f′(x)＜0. ∴f(x)在上為減函數(shù)， ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為， ∴＝1，即a＝3. 2．(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上單調(diào)遞減，求a的范圍． [解]　由題意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， ∴，即，∴a≥3. 即a的取值范圍是[3，＋∞)． 3．(變條件)若函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不單調(diào)，求a的范圍． [解]　∵f(x)＝x3－ax－1， ∴f′(x)＝3x2－a， 由f′(x)＝0， 得x＝(a≥0)， ∵f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)， ∴0＜＜1，即0＜a＜3. 故a的取值范圍為(0,3)． [規(guī)律方法]　1.解答本題注意：可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0. 2．已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法 (1)利用集合的包含關(guān)系處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問題，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集； (2)利用不等式的恒成立處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問題，則f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)內(nèi)恒成立，注意驗證等號是否成立． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象如圖135所示，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可能為(　　) 圖135 C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是減函數(shù)，在(1,4)上為增函數(shù)， ∴當(dāng)x＜1或x＞4時，f′(x)＜0； 當(dāng)1＜x＜4時，f′(x)＞0.故選C.] 2．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：31062039】 A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) D　[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， 由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)．] 3．函數(shù)y＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) B　[函數(shù)y＝x2－ln x的定義域為(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，則可得0＜x≤1.] 4．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是 (　　) 【導(dǎo)學(xué)號：31062040】 A．[1，＋∞)　　 B．a(chǎn)＝1 C．(－∞，1] D．(0,1) A　[∵f′(x)＝3x2－2ax－1， 且f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減， ∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)內(nèi)恒成立， ∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.] 5．試求函數(shù)f(x)＝kx－ln x的單調(diào)區(qū)間． [解]　函數(shù)f(x)＝kx－ln x的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝. 當(dāng)k≤0時，kx－1＜0， ∴f′(x)＜0， 則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 當(dāng)k＞0時，由f′(x)＜0，即＜0， 解得0＜x＜； 由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞. ∴當(dāng)k＞0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. 綜上所述，當(dāng)k≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)； 當(dāng)k＞0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.