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綜合能力訓練
第Ⅰ卷(選擇題,共40分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.已知集合A=xx-12≤32,B={x|y=lg(4x-x2)},則A∩B等于( )
A.(0,2] B.[-1,0) C.[2,4) D.[1,4)
2.設直線x+y=1與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,若OA⊥OB,則△OAB的面積為( )
A.1 B.52 C.5 D.2
3.已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關系為( )
A.a
0,b>0)被斜率為1的直線截得的弦的中點為(4,1),則該雙曲線離心率的值是( )
A.52 B.62
C.103 D.2
7.已知函數(shù)f(x)=sin(πx2),-1b>0)的左、右焦點F1,F2與橢圓短軸的一個端點構成邊長為4的正三角形.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過橢圓C上任意一點P作橢圓C的切線與直線F1P的垂線F1M相交于點M,求點M的軌跡方程;
(3)若切線MP與直線x=-2交于點N,求證:|NF1||MF1|為定值.
20.(14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+a2x2-x(a≥0).
(1)若f(x)>0對x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范圍;
(2)已知e為自然對數(shù)的底數(shù),證明:?n∈N*,e<1+1n21+2n2…1+nn20時,f(x)>0,f(x)>0.
∴當x>0時,g(x)=f(x)+xf(x)>0恒成立,
∴g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).
∵2100,故選項A不成立;
選項B中,令a=10,b=-100,c=0,則|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.
而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故選項B不成立;
選項C中,令a=100,b=-100,c=0,則|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.
而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故選項C不成立;故選D.
9.2 解析 (1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,則1+b=a,1-b=0,所以a=2,b=1,即ab=2.故答案為2.
10.-40 解析 (2x-1)5的展開式的通項為Tr+1=C5r(2x)5-r(-1)r=(-1)rC5r25-rx5-r.
根據(jù)題意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2項的系數(shù)為(-1)3C5325-3=-22C52=-40.
11.3(2-3)π 解析 ∵AO1=3R1,C1O2=3R2,O1O2=R1+R2,
∴(3+1)(R1+R2)=3,R1+R2=33+1,球O1和O2的表面積之和為4π(R12+R22)≥4π2R1+R222=2π(R1+R2)2=3(2-3)π.
12.2 解析 ∵4ρcosθ-π6+1=0,展開得23ρcos θ+2ρsin θ+1=0,∴直線的直角坐標方程為23x+2y+1=0.
∵ρ=2sin θ兩邊同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,
∴圓的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,圓心為(0,1),半徑r=1.
∴圓心到直線的距離d=|230+21+1|(23)2+22=340,
當x∈0,1-aa時,f(x)<0,則f(x)在區(qū)間0,1-aa內(nèi)單調(diào)遞減,
此時,f(x)0,
則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,此時,f(x)>f(0)=0,符合題意.
④當a>1時,令f(x)=0,得x1=0,x2=1-aa<0,當x∈(0,+∞)時,f(x)>0,
則f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,此時,f(x)>f(0)=0,符合題意.
綜上所述,a的取值范圍為[1,+∞).
(2)證明 由(1)可知,當a=0時,f(x)<0對x∈(0,+∞)都成立,
即ln(1+x)0對x∈(0,+∞)都成立,
即x-12x2
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