（浙江專用）2020版高考數學新增分大一輪復習 第三章 函數概念與基本初等函數Ⅰ3.1 函數及其表示講義（含解析）.docx

3.1　函數及其表示 最新考綱 考情考向分析 1.了解函數、映射的概念． 2.了解函數的定義域、值域及三種表示法(解析法、圖象法和列表法)． 3.了解簡單的分段函數，會用分段函數解決簡單的問題. 以基本初等函數為載體，考查函數的表示法、定義域；分段函數以及函數與其他知識的綜合是高考熱點，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度. 1．函數與映射 函數 映射 兩個集合A，B 設A，B是兩個非空數集 設A，B是兩個非空集合 對應關系 f：A→B 如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應 如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 函數記法 函數y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數的有關概念 (1)函數的定義域、值域 在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域． (2)函數的三要素：定義域、對應關系和值域． (3)函數的表示法 表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 3．分段函數 若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數． 分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數． 概念方法微思考 請你概括一下求函數定義域的類型？ 提示　(1)f(x)為分式型函數時，定義域為使分母不為零的實數集合； (2)f(x)為偶次根式型函數時，定義域為使被開方式非負的實數的集合； (3)f(x)為對數式時，函數的定義域是真數為正數、底數為正且不為1的實數集合； (4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}； (5)指數函數的底數大于0且不等于1； (6)正切函數y＝tanx的定義域為. 題組一　思考辨析 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)對于函數f：A→B，其值域就是集合B.(　　) (2)函數f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一函數．(　√　) (3)若兩個函數的定義域與值域相同，則這兩個函數相等．(　　) (4)函數f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個交點．(　√　) (5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的映射．(　　) (6)分段函數是由兩個或幾個函數組成的．(　　) 題組二　教材改編 2．[P74T7(2)]函數f(x)＝＋log2(6－x)的定義域是________． 答案　[－3,6) 3．[P25B組T1]函數y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是________． 答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5] 題組三　易錯自糾 4．已知f(x)＝若f(a)＝2，則a的值為(　　) A．2 B．－1或2 C．1或2 D．1或2 答案　B 解析　當a≥0時，2a－2＝2，解得a＝2；當a<0時，－a2＋3＝2，解得a＝－1.綜上，a的值為－1或2.故選B. 5．已知函數f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，則x0的值為______． 答案　2 解析　當x≥0時，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即x＝4，解得x0＝2.當x<0時，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－x＝4，無解，所以x0＝2. 6．若有意義，則函數y＝x2－6x＋7的值域是____________． 答案　[－1，＋∞) 解析　因為有意義，所以x－4≥0，即x≥4. 又因為y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2， 所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. 所以其值域為[－1，＋∞)． 題型一　函數的概念 1．若函數y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數y＝f(x)的圖象可能是(　　) 答案　B 解析　A中函數的定義域不是[－2,2]，C中圖象不表示函數，D中函數值域不是[0,2]，故選B. 2．有以下判斷： ①f(x)＝與g(x)＝表示同一函數； ②f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數； ③若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0. 其中正確判斷的序號是________． 答案　② 解析　對于①，由于函數f(x)＝的定義域為{x|x∈R且x≠0}，而函數g(x)＝的定義域是R，所以二者不是同一函數，故①不正確；對于②，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應關系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數，故②正確； 對于③，由于f＝－＝0， 所以f＝f(0)＝1，故③不正確． 綜上可知，正確的判斷是②. 思維升華函數的值域可由定義域和對應關系唯一確定；當且僅當定義域和對應關系都相同的函數才是同一函數．值得注意的是，函數的對應關系是就結果而言的(判斷兩個函數的對應關系是否相同，只要看對于函數定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應關系算出的函數值是否相同)． 題型二　函數的定義域問題 命題點1　求函數的定義域 例1 (1)(2018浙江名校協作體聯考)函數f(x)＝lg (1－)的定義域為(　　) A．(2,3) B．(2,3] C．[2,3) D．[2,3] 答案　C 解析　由得2≤x＜3，所以函數f(x)＝lg(1－)的定義域為[2,3)，故選C. (2)若函數y＝f(x)的定義域是[0,2 018]，則函數g(x)＝的定義域是(　　) A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017] C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018] 答案　B 解析　使函數f(x＋1)有意義，則0≤x＋1≤2018，解得－1≤x≤2017，故函數f(x＋1)的定義域為[－1，2 017]．所以函數g(x)有意義的條件是解得－1≤x＜1或1＜x≤2017.故函數g(x)的定義域為[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究 本例(2)中，若將“函數y＝f(x)的定義域為[0,2 018]”，改為“函數f(x－1)的定義域為[0,2 018]，”則函數g(x)＝的定義域為________________． 答案　[－2,1)∪(1,2 016] 解析　由函數f(x－1)的定義域為[0,2 018]． 得函數y＝f(x)的定義域為[－1,2 017]， 令則－2≤x≤2016且x≠1. 所以函數g(x)的定義域為[－2,1)∪(1,2 016]． 命題點2　已知函數的定義域求參數范圍 例2 (1)若函數y＝的定義域為R，則實數m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　要使函數的定義域為R，則mx2＋4mx＋3≠0恒成立， ①當m＝0時，顯然滿足條件； ②當m≠0時，由Δ＝(4m)2－4m3＜0，得0＜m＜， 由①②得0≤m＜. (2)若函數f(x)＝的定義域為{x|1≤x≤2}，則a＋b的值為________． 答案　－ 解析　函數f(x)的定義域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集為{x|1≤x≤2}， 所以解得 所以a＋b＝－－3＝－. 思維升華(1)求給定函數的定義域往往轉化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時可借助于數軸，要特別注意端點值的取舍． (2)求抽象函數的定義域 ①若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定義域； ②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域． (3)已知函數定義域求參數范圍，可將問題轉化成含參數的不等式，然后求解． 跟蹤訓練1 (1)函數f(x)＝(a＞0且a≠1)的定義域為________． 答案　(0,2] 解析　由??0＜x≤2， 故所求函數的定義域為(0,2]． (2)已知函數y＝f(x2－1)的定義域為[－，]，則函數y＝f(x)的定義域為________． 答案　[－1,2] 解析　∵y＝f(x2－1)的定義域為[－，]， ∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]， ∴y＝f(x)的定義域為[－1,2]． (3)若函數f(x)＝的定義域為一切實數，則實數m的取值范圍是________． 答案　[0,4] 解析　當m＝0時，f(x)的定義域為一切實數； 當m≠0時，由 得0<m≤4， 綜上，m的取值范圍是[0,4]． 題型三　求函數解析式 例3 (1)已知f＝lgx，則f(x)的解析式為____________________． 答案　f(x)＝lg(x＞1) 解析　換元法：令＋1＝t，由于x＞0， 所以t＞1且x＝， 所以f(t)＝lg， 即f(x)＝lg(x＞1)． (2)若f(x)為二次函數且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，則f(x)的解析式為__________________． 答案　f(x)＝x2－x＋3 解析　待定系數法：設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 又f(0)＝c＝3. 所以f(x)＝ax2＋bx＋3， 所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. 所以 所以 所以所求函數的解析式為f(x)＝x2－x＋3. (3)函數f(x)滿足方程2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，則f(x)＝____________________. 答案　x－(x∈R且x≠0) 解析　解方程組法：因為2f(x)＋f＝2x，① 將x換成，則換成x，得2f＋f(x)＝.② 由①②消去f，得3f(x)＝4x－. 所以f(x)＝x－(x∈R且x≠0)． 思維升華函數解析式的求法 (1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法． (2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍． (3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． (4)消去法：已知f(x)與f或f(－x)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 跟蹤訓練2 (1)已知f(＋1)＝x＋2，則f(x)的解析式為f(x)＝________________. 答案　x2－1(x≥1) 解析　方法一　設t＝＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二　因為x＋2＝()2＋2＋1－1 ＝(＋1)2－1， 所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， 即f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)設y＝f(x)是二次函數，方程f(x)＝0有兩個相等實根，且f′(x)＝2x＋2，則f(x)的解析式為f(x)＝____________. 答案　x2＋2x＋1 解析　設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， 所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又因為方程f(x)＝0有兩個相等的實根， 所以Δ＝4－4c＝0，c＝1， 故f(x)＝x2＋2x＋1. (3)函數f(x)滿足方程2f(x)＋f(－x)＝2x，則f(x)的解析式為________． 答案　f(x)＝2x 解析　因為2f(x)＋f(－x)＝2x，① 將x換成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，② 由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x， 所以f(x)＝2x. 題型四　分段函數 命題點1　求分段函數的函數值 例4 (2018臺州期末)已知函數f(x)＝則f(0)＝________，f(f(0))＝________. 答案　1　0 解析　由題意得f(0)＝20＝1， 則f(f(0))＝f(1)＝log31＝0. 命題點2　分段函數與方程、不等式問題 例5 (1)(2018浙江十校聯盟高考適應性考試)已知函數f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數a的值為________． 答案　－3 解析　方法一　當a＞0時，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，無解． 當a≤0時，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3. 方法二　由題意知f(1)＝2＞0，故由f(a)＋f(1)＝0， 結合指數函數的性質知a≤0，且f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3. (2)設函數f(x)＝則滿足f(x)＋f>1的x的取值范圍是__________． 答案　 解析　由題意知，可對不等式分x≤0,0＜x≤，x＞三段討論． 當x≤0時，原不等式為x＋1＋x＋＞1， 解得x＞－，∴－＜x≤0. 當0＜x≤時，原不等式為2x＋x＋＞1，顯然成立． 當x＞時，原不等式為2x＋＞1，顯然成立． 綜上可知，x的取值范圍是. 思維升華(1)分段函數的求值問題的解題思路 ①求函數值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值； ②求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗． (2)分段函數與方程、不等式問題的求解思路 依據不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結果并起來． 跟蹤訓練3 (1)(2018寧波期末)函數f(x)＝則f(f(2))等于(　　) A．－2B．－1C．2－1－2D．0 答案　B 解析　f(f(2))＝f＝f(0)＝20－2＝－1，故選B. (2)已知函數f(x)＝若f(f(1))＞3a2，則a的取值范圍是________． 答案　(－1,3) 解析　由題意知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))＞3a2， 則9＋6a＞3a2，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3. 1．函數y＝＋的定義域是(　　) A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1] C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1) 答案　D 解析　由題意得 解得－1＜x＜0或0＜x＜1. 所以原函數的定義域為(－1,0)∪(0,1)． 2．(2018浙江嘉興一中月考)下列四組函數中，表示同一函數的一組是(　　) A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgx B．f(x)＝，g(x)＝ C．f(x)＝x0，g(x)＝1 D．f(x)＝2－x，g(t)＝t 答案　D 解析　A，B，C中函數的定義域不同，故選D. 3．(2018浙江五校第二次聯考)已知函數f(x)＝則f(－2)＋f(4)等于(　　) A.B.C．87D. 答案　B 解析　由題意可得，f(－2)＋f(4)＝3－2＋4－4＝.故選B. 4．已知函數f(x)的定義域為(－1,0)，則函數f(2x＋1)的定義域為(　　) A．(－1,1) B. C．(－1,0) D. 答案　B 解析　由已知得－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－， 所以函數f(2x＋1)的定義域為. 5．(2019浙江部分重點中學調研)已知函數f(x)＝則函數f(x)的值域為(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C. D．R 答案　B 解析　當x＜－1時，f(x)＝x2－2∈(－1，＋∞)； 當x≥－1時，f(x)＝2x－1∈. 綜上可知，函數f(x)的值域為(－1，＋∞)．故選B. 6．(2018浙江知名重點中學考前熱身聯考)設函數f(x)＝若f(f(0))＝4，則b等于(　　) A．2B．1C．－2D．－1 答案　C 解析　f(0)＝－b，當－b＜1，即b＞－1時，f(－b)＝－3b＝4，得b＝－(舍去)，當－b≥1，即b≤－1時，2－b＝4，得b＝－2. 7.如圖，△AOD是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形OBD是四分之一圓的扇形，點P在線段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于點Q，設AP＝x(0<x<2)，圖中陰影部分表示的平面圖形APQ(或APQD)的面積為y，則函數y＝f(x)的大致圖象是(　　) 答案　A 解析　觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當0<x≤1時，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越快．(2)當1<x<2時，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越慢．分析四個答案中的圖象，只有選項A符合條件，故選A. 8．設函數f(x)＝若f(a)<1，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案　C 解析　若a<0，則f(a)<1等價于a－7<1等價于a<8，解得a>－3，故－3<a<0； 若a≥0，則f(a)<1等價于<1， 解得a<1，故0≤a<1. 綜上可得－3<a<1.故選C. 9．已知f＝＋，則f(x)＝________. 答案　x2－x＋1(x≠1) 解析　f＝＋＝2－＋1， 令＝t(t≠1)，則f(t)＝t2－t＋1， 即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)． 10．(2016浙江)設函數f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，則實數a＝______，b＝________. 答案?。?　1 解析　由已知可得：f(x)－f(a)＝x3＋3x2＋1－a3－3a2－1＝x3＋3x2－a3－3a2. 而(x－b)(x－a)2＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，則 結合a≠0解得a＝－2，b＝1. 11．定義新運算“★”：當m≥n時，m★n＝m；當m<n時，m★n＝n2.設函數f(x)＝(2★x)x－(4★x)，x∈[1,4]，則函數f(x)的值域為____________． 答案　[－2,0]∪(4,60] 解析　由題意知，f(x)＝ 當x∈[1,2]時，f(x)∈[－2,0]； 當x∈(2,4]時，f(x)∈(4,60]， 故當x∈[1,4]時，f(x)∈[－2,0]∪(4,60]． 12．(2018浙江名校新高考研究聯盟四聯)已知函數f(x)＝若存在x1＜x2，使得f(x1)＝f(x2)，求x1f(x2)的取值范圍． 解　函數f(x)的圖象如圖所示，若存在x1＜x2，使得f(x1)＝f(x2)，由圖象可得≤x1＜1,2≤f(x2)＜，所以1≤x1f(x2)＜. 13．(2018浙江溫州中學月考)將函數y＝＋＋1的圖象繞原點按順時針方向旋轉角θ得到曲線C.若對于每一個旋轉角θ，曲線C都是一個函數的圖象，則θ的取值范圍是________． 答案　 解析　畫出函數y＝＋＋1的圖象如圖，結合圖象可以看出當該函數的圖象繞原點O順時針旋轉的角大于或等于0而小于時所得曲線都是一個函數的圖象，故應填. 14．(2018寧波模擬)定義max{a，b}＝已知函數f(x)＝max{|2x－1|，ax2＋b}，其中a＜0，b∈R，若f(0)＝b. (1)求實數b的取值范圍； (2)若f(x)的最小值為1，求a＋b的值． 解　(1)由題意得f(0)＝max{1，b}， 若f(0)＝b，則b≥1. (2)解不等式|2x－1|＞1，得x＞1或x＜0. 所以若f(x0)＝1，x0∈[0,1]， 當x∈[0,1]時，要使f(x)的最小值為1， 只需ax2＋b的最小值為1， 因為a＜0，所以由函數y＝ax2＋b的圖象(圖略)知ax2＋b在x＝1時取得最小值1，即a＋b＝1. 15．(2015浙江)存在函數f(x)滿足：對于任意x∈R，都有(　　) A．f(sin2x)＝sinx B．f(sin2x)＝x2＋x C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1| 答案　D 解析　在A中，令x＝0，得f(0)＝0； 令x＝，得f(0)＝1，與函數的定義不符，故A錯． 在B中，令x＝0，得f(0)＝0； 令x＝，得f(0)＝＋，與函數的定義不符，故B錯． 在C中，令x＝1，得f(2)＝2； 令x＝－1，得f(2)＝0，與函數的定義不符，故C錯． 在D中，變形為f(|x＋1|2－1)＝|x＋1|， 令|x＋1|2－1＝t，得t≥－1，|x＋1|＝， 從而有f(t)＝， 顯然這個函數關系在定義域[－1，＋∞)上是成立的， 故選D. 16．(2018浙江名校(諸暨中學)聯考)f(x)是定義在R上的函數，若f(1)＝504，對任意的x∈R，滿足f(x＋4)－f(x)≤2(x＋1)及f(x＋12)－f(x)≥6(x＋5)，求的值． 解　∵f(x＋4)－f(x)≤2(x＋1)， ∴f(x＋8)－f(x＋4)≤2(x＋5)， f(x＋12)－f(x＋8)≤2(x＋9)， 上述三個式子相加得到f(x＋12)－f(x)≤6(x＋5)， 結合條件可知，f(x＋12)－f(x)＝6(x＋5)， 于是f(2017)－f(1)＝[f(2 017)－f(2 005)]＋[f(2 005)－f(1 993)]＋[f(1 993)－f(1 981)]＋…＋[f(13)－f(1)]＝30168＋6＝5040＋5042006， ∴＝2017.