（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第25練 數(shù)列的綜合問題試題 理.docx

第25練　數(shù)列的綜合問題 [明晰考情]　1.命題角度：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等差數(shù)列、等比數(shù)列與其他知識的綜合.2.題目難度：數(shù)列在高考中一般是壓軸題，高檔難度. 考點一　等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 方法技巧　判斷等差(比)數(shù)列的常用方法 (1)定義法：若an＋1－an＝d，d為常數(shù)，則{an}為等差(比)數(shù)列. (2)中項公式法. (3)通項公式法. 1.(2018江蘇省如東高級中學(xué)測試)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1＝1, Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足：anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*). (1)若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求實數(shù)λ的值； (2)若λ＝，求證：數(shù)列為等差數(shù)列； (3)在(2)的條件下，求Sn. (1)解　令n＝1，得a2＝， 令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3， 所以a3＝. 由a＝a1a3，得2＝， 因為λ≠0，所以λ＝1. (2)證明　當(dāng)λ＝時，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1， 所以－＋－＝，即－＝， 所以數(shù)列是以2為首項，公差為的等差數(shù)列. (3)解　由(2)知＝2＋，即＝＋， 得Sn＋1＝an， ① 當(dāng)n≥2時，Sn－1＋1＝an－1， ② ①－②得，an＝an－an－1， 即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)， 所以是首項為的常數(shù)列，所以an＝(n＋2)， 代入①得Sn＝an－1＝. 2.從數(shù)列{an}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列{an}的一個子數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}是一個首項為a1，公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列(即項數(shù)有無限項). (1)若a1，a2，a5成等比數(shù)列，求其公比q； (2)若a1＝7d，從數(shù)列{an}中取出第2項，第6項作為一個等比數(shù)列的第1項，第2項，試問該數(shù)列是否為{an}的無窮等比子數(shù)列，請說明理由. 解　(1)由題設(shè)，得a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，得d2＝2a1d，又d≠0，于是d＝2a1，故其公比q＝＝3. (2)設(shè)等比數(shù)列為{bm}，其公比q＝＝，bm＝a2qm－1＝8dm－1， 由題設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝(n＋6)d. 假設(shè)數(shù)列{bm}為{an}的無窮等比子數(shù)列，則對任意自然數(shù)m(m≥3)，都存在n∈N*，使an＝bm， 即(n＋6)d＝8dm－1，得n＝8m－1－6， 當(dāng)m＝5時，n＝85－1－6＝?N*，與假設(shè)矛盾， 故該數(shù)列不為{an}的無窮等比子數(shù)列. 3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1). (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論. 解　(1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，兩式相減可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra，所以當(dāng)r＝0時， 數(shù)列{an}為：a,0，…，0，…； 當(dāng)r≠0，r≠－1時，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)， 于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得＝r＋1(n∈N*)， ∴a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列， ∴當(dāng)n≥2時，an＝r(r＋1)n－2a. 綜上，數(shù)列{an}的通項公式為an＝ (2)對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列，證明如下： 當(dāng)r＝0時，由(1)知，an＝ ∴對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列， 當(dāng)r≠0，r≠－1時， ∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1. 若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差數(shù)列， 則Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk， ∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1， 由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2， 于是對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am， 從而am＋2＝4am， ∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列， 綜上，對于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差數(shù)列. 4.(2018連云港期末)設(shè){an}是公差為d(d≠0)且各項為正數(shù)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，cn＝anbn(n∈N*). (1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列； (2)若a1＝b1＝2, c2＝20, c3＝64. ①求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； ②求數(shù)列{cn}的前n項和Sn. (1)證明　因為＝＝＝＝， 所以－＝－＝＝(常數(shù))， 由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列. (2)解?、僖驗閍1＝b1＝2, c2＝20, c3＝64， 所以 因為{an}的各項為正數(shù)，所以 則an＝3n－1, bn＝2n. ②因為an＝3n－1, bn＝2n，所以cn＝(3n－1)2n， 所以Sn＝ci＝22＋522＋823＋…＋2n， ① 2Sn＝222＋523＋…＋(3n－4)2n＋(3n－1)2n＋1， ② ①－②得－Sn＝4＋3(22＋23＋…＋2n)－(3n－1)2n＋1＝4＋3－(3n－1)2n＋1 ＝4＋12(2n－1－1)－(3n－1)2n＋1＝(－3n＋4)2n＋1－8， 所以Sn＝(3n－4)2n＋1＋8. 考點二　等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他知識的綜合 方法技巧　數(shù)列和其他知識的綜合問題解題的關(guān)鍵是通過對其他知識的轉(zhuǎn)化得到數(shù)列的通項關(guān)系式或遞推關(guān)系式. 5.(2018江蘇省如東高級中學(xué)期中)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝n2(n∈N*). (1)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn； (2)記cn＝，且數(shù)列{cn}的前n項和為Mn，若不等式Mn<k，對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)k的最小值. 解　(1)因為Sn＝n2(n∈N*)，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 對n＝1適用， 所以an＝2n－1(n∈N*)，所以bn＝＝22n－1＝24n－1， 所以Tn＝＝4n－. (2)因為cn＝＝ ＝， 所以Mn＝ ＝<， 故k≥，從而k的最小值為. 6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2. (1)證明數(shù)列{an＋2}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Kn. 解　(1)由Tn＝2Sn－n2，得a1＝S1＝T1＝2S1－1， 解得a1＝S1＝1， 由S1＋S2＝2S2－4，解得a2＝4. 當(dāng)n≥2時，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－2Sn－1＋(n－1)2， 即Sn＝2Sn－1＋2n－1， ① Sn＋1＝2Sn＋2n＋1， ② 由②－①得an＋1＝2an＋2， ∴an＋1＋2＝2(an＋2)， 又a2＋2＝2(a1＋2)， ∴數(shù)列{an＋2}是以a1＋2＝3為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴an＋2＝32n－1， 即an＝32n－1－2(n∈N*). (2)∵bn＝3n2n－1－2n， ∴Kn＝3(120＋221＋…＋n2n－1)－2(1＋2＋…＋n) ＝3(120＋221＋…＋n2n－1)－n2－n. 記Rn＝120＋221＋…＋n2n－1， ③ 2Rn＝121＋222＋…＋(n－1)2n－1＋n2n， ④ 由③－④，得 －Rn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n2n ＝－n2n＝(1－n)2n－1， ∴Rn＝(n－1)2n＋1. ∴Kn＝3(n－1)2n－n2－n＋3(n∈N*). 7.已知數(shù)列{an}，如果數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，bn＝an＋an－1，n≥2，n∈N*，則稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“生成數(shù)列”. (1)若數(shù)列{an}的通項為an＝n，寫出數(shù)列{an}的“生成數(shù)列”{bn}的通項公式； (2)若數(shù)列{cn}的通項為cn＝2n＋b(其中b為常數(shù))，試問數(shù)列{cn}的“生成數(shù)列”{qn}是不是等差數(shù)列，請說明理由； (3)已知數(shù)列{dn}的通項為dn＝2n＋n，求數(shù)列{dn}的“生成數(shù)列”{pn}的前n項和Tn. 解　(1)當(dāng)n≥2時，bn＝an＋an－1＝2n－1， 當(dāng)n＝1時，b1＝a1＝1適合上式， ∴bn＝2n－1(n∈N*). (2)qn＝ 當(dāng)b＝0時，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4， ∴此時數(shù)列{cn}的“生成數(shù)列”{qn}是等差數(shù)列. 當(dāng)b≠0時，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b，q3＝10＋2b，此時q2－q1≠q3－q2，∴數(shù)列{cn}的“生成數(shù)列”{qn}不是等差數(shù)列. 綜上，當(dāng)b＝0時，{qn}是等差數(shù)列；當(dāng)b≠0時，{qn}不是等差數(shù)列. (3)pn＝ 當(dāng)n＞1時，Tn＝3＋(32＋3)＋(322＋5)＋…＋(32n－1＋2n－1)， ∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝32n＋n2－4. 又當(dāng)n＝1時，T1＝3，適合上式， ∴Tn＝32n＋n2－4. 8.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝a，且an＋1＝k(an＋an＋2)對任意正整數(shù)都成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn. (1)若k＝，且S2015＝2015a，求a的值； (2)是否存在實數(shù)k，使數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列，且對任意相鄰三項am，am＋1，am＋2，按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值，若不存在，請說明理由； (3)若k＝－，求Sn. 解　(1)當(dāng)k＝時，an＋1＝(an＋an＋2)，an＋2－an＋1＝an＋1－an， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列， 此時首項a1＝1，公差d＝a2－a1＝a－1，數(shù)列{an}的前2015項和是S2015＝2015＋2015 (2015－1)(a－1)＝2015a，解得a＝1. (2)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則它的公比q＝＝a， 所以am＝am－1，am＋1＝am，am＋2＝am＋1. ①若am＋1為等差中項，則2am＋1＝am＋am＋2，即2am＝am－1＋am＋1，解得a＝1，不合題意； ②若am為等差中項，則2am＝am＋1＋am＋2，即2am－1＝am＋am＋1，化簡得a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去a＝1)，所以k＝＝＝＝－； ③若am＋2為等差中項，則2am＋2＝am＋1＋am，即2am＋1＝am＋am－1，化簡得2a2－a－1＝0，解得a＝－(舍去a＝1)，所以k＝＝＝＝－. 綜上，滿足要求的實數(shù)k有且僅有一個，k＝－. (3)當(dāng)k＝－時，an＋1＝－(an＋an＋2)， an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)，an＋3＋an＋2＝－(an＋2＋an＋1)＝an＋1＋an. 當(dāng)n是偶數(shù)時， Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an ＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝(a1＋a2) ＝(a＋1)； 當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時， Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an ＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝a1＋(a2＋a3) ＝a1＋[－(a1＋a2)] ＝1－(a＋1). 當(dāng)n＝1時也適合上式. 綜上所述，Sn＝ 例　(16分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝anan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n2n＋1＞30成立的正整數(shù)n的最小值. 審題路線圖 ―→―→―→―→ 規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn) 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q. 由題意知2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8，所以a2＋a4＝20， 所以解得或 6分 又數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以q＝2，a1＝2， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. 8分 (2)因為bn＝anan＝2n2n＝－n2n， 9分 所以Sn＝－(12＋222＋…＋n2n)， 2Sn＝－[122＋223＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1]， 兩式相減，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝2n＋1－2－n2n＋1. 12分 又Sn＋n2n＋1＞30， 可得2n＋1－2＞30，即2n＋1＞32＝25， 14分 所以n＋1＞5，即n＞4. 所以使Sn＋n2n＋1＞30成立的正整數(shù)n的最小值為5. 16分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　求通項：根據(jù)題目條件，列方程(組)求解，得到數(shù)列的通項公式. [第二步]　求和：根據(jù)數(shù)列的類型，選擇適當(dāng)方法求出數(shù)列的前n項和. [第三步]　求最值：根據(jù)題目條件，建立相應(yīng)的函數(shù)或不等式，通過相應(yīng)函數(shù)最值或不等式求出最值，注意n的取值. 1.(2018江蘇省蘇州吳中區(qū)模擬)設(shè)數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且＋＝(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝a＋log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q>0， ∵＋＝，∴ ∴ ∴a1＝1，q＝2, ∴an＝2n－1(n∈N*). (2)∵bn＝4n－1＋(n－1)， ∴Sn＝(1＋0)＋(41＋1)＋(42＋2)＋…＋[4n－1＋(n－1)] ＝＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝＋＝(n∈N*). 2.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式； (2)證明：＋＋…＋<. (1)解　由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3，所以＝3， 所以是等比數(shù)列，首項為a1＋＝，公比為3， 所以an＋＝3n－1， 因此{an}的通項公式為an＝(n∈N*). (2)證明　由(1)知，an＝，所以＝， 因為當(dāng)n≥1時，3n－1≥23n－1， 所以≤， 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ＝＜， 所以＋＋…＋＜. 3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1－an＝p3n－1－nq，n∈N*，p，q∈R. (1)若q＝0，且數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求p的值； (2)若p＝1，且a4為數(shù)列{an}的最小項，求q的取值范圍. 解　(1)若q＝0，則an＋1－an＝p3n－1. 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為r. ①若r＝1，則p＝0； ②若r≠1，則p≠0，所以r＝＝＝3. 此時an＋1－an＝a1(r－1)rn－1＝p3n－1＝3n－1， 所以p＝1. 綜上所述，p＝0或p＝1. (2)若p＝1，則an＋1－an＝3n－1－qn，n∈N*， 因為a4是數(shù)列{an}的最小項，首先有a3≥a4且a4≤a5，得3≤q≤. 此時，a2－a1＝1－q＜0，a3－a2＝3－2q＜0. 記f(n)＝an＋1－an＝3n－1－qn(n∈N*)， 考慮f(n＋1)－f(n)＝23n－1－q，當(dāng)n≥4時，f(n＋1)＞f(n)≥f(4)≥0. 綜上，a1＞a2＞a3≥a4，且a4≤a5＜a6＜a7…，滿足題意. 所以q的取值范圍是. 4.若數(shù)列{an}中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱{an}為“等比源數(shù)列”. (1)已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1. ①求{an}的通項公式； ②試判斷{an}是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論； (2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1≠0，an∈Z(n∈N*). 求證：{an}為“等比源數(shù)列”. (1)解?、儆蒩n＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)， 且a1－1＝1， 所以數(shù)列{an－1}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列. 所以an－1＝2n－1， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1＋1. ②數(shù)列{an}不是“等比源數(shù)列”，用反證法證明如下： 假設(shè)數(shù)列{an}是“等比源數(shù)列”，則存在三項am，an，ak(m＜n＜k)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列. 因為an＝2n－1＋1，所以am＜an＜ak， 所以a＝amak，得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)， 即22n－2＋22n－1＋1＝2m＋k－2＋2m－1＋2k－1＋1， 兩邊同時乘21－m，得到 22n－m－1＋2n－m＋1＝2k－1＋1＋2k－m， 即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1， 又m＜n＜k，m，n，k∈N*， 所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥2，k－1≥2，k－m≥2， 所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m必為偶數(shù)，不可能為1. 所以數(shù)列{an}中不存在任何三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列. 綜上可得數(shù)列{an}不是“等比源數(shù)列”. (2)證明　不妨設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≥0. 當(dāng)d＝0時，等差數(shù)列{an}為非零常數(shù)數(shù)列，數(shù)列{an}為“等比源數(shù)列”. 當(dāng)d＞0時，因為an∈Z，則d≥1，且d∈Z，所以數(shù)列{an}中必有一項am＞0.為了使{an}為“等比源數(shù)列”， 只需要{an}中存在第m項，第n項，第k項(m＜n＜k)， 使得a＝amak成立. 即[am＋(n－m)d]2＝am[am＋(k－m)d]， 即(n－m)[2am＋(n－m)d]＝am(k－m)成立. 當(dāng)n＝am＋m，k＝2am＋amd＋m時，上式成立. 所以{an}中存在am，an，ak成等比數(shù)列. 所以數(shù)列{an}為“等比源數(shù)列”.