(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第25練 數(shù)列的綜合問題試題 理.docx
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(江蘇專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第25練 數(shù)列的綜合問題試題 理.docx
第25練 數(shù)列的綜合問題
[明晰考情] 1.命題角度:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合;等差數(shù)列、等比數(shù)列與其他知識的綜合.2.題目難度:數(shù)列在高考中一般是壓軸題,高檔難度.
考點一 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明
方法技巧 判斷等差(比)數(shù)列的常用方法
(1)定義法:若an+1-an=d,d為常數(shù),則{an}為等差(比)數(shù)列.
(2)中項公式法.
(3)通項公式法.
1.(2018江蘇省如東高級中學(xué)測試)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項a1=1, Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且滿足:anSn+1-an+1Sn+an-an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N*).
(1)若a1,a2,a3成等比數(shù)列,求實數(shù)λ的值;
(2)若λ=,求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)在(2)的條件下,求Sn.
(1)解 令n=1,得a2=,
令n=2,得a2S3-a3S2+a2-a3=λa2a3,
所以a3=.
由a=a1a3,得2=,
因為λ≠0,所以λ=1.
(2)證明 當(dāng)λ=時,anSn+1-an+1Sn+an-an+1=λanan+1,
所以-+-=,即-=,
所以數(shù)列是以2為首項,公差為的等差數(shù)列.
(3)解 由(2)知=2+,即=+,
得Sn+1=an, ①
當(dāng)n≥2時,Sn-1+1=an-1, ②
①-②得,an=an-an-1,
即(n+1)an=(n+2)an-1,所以=(n≥2),
所以是首項為的常數(shù)列,所以an=(n+2),
代入①得Sn=an-1=.
2.從數(shù)列{an}中取出部分項,并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列,稱之為數(shù)列{an}的一個子數(shù)列,設(shè)數(shù)列{an}是一個首項為a1,公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列(即項數(shù)有無限項).
(1)若a1,a2,a5成等比數(shù)列,求其公比q;
(2)若a1=7d,從數(shù)列{an}中取出第2項,第6項作為一個等比數(shù)列的第1項,第2項,試問該數(shù)列是否為{an}的無窮等比子數(shù)列,請說明理由.
解 (1)由題設(shè),得a=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),得d2=2a1d,又d≠0,于是d=2a1,故其公比q==3.
(2)設(shè)等比數(shù)列為{bm},其公比q==,bm=a2qm-1=8dm-1,
由題設(shè)an=a1+(n-1)d=(n+6)d.
假設(shè)數(shù)列{bm}為{an}的無窮等比子數(shù)列,則對任意自然數(shù)m(m≥3),都存在n∈N*,使an=bm,
即(n+6)d=8dm-1,得n=8m-1-6,
當(dāng)m=5時,n=85-1-6=?N*,與假設(shè)矛盾,
故該數(shù)列不為{an}的無窮等比子數(shù)列.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數(shù)列,試判斷:對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.
解 (1)由已知an+1=rSn,可得an+2=rSn+1,兩式相減可得an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1,又a2=ra1=ra,所以當(dāng)r=0時,
數(shù)列{an}為:a,0,…,0,…;
當(dāng)r≠0,r≠-1時,由已知a≠0,所以an≠0(n∈N*),
于是由an+2=(r+1)an+1,可得=r+1(n∈N*),
∴a2,a3,…,an,…成等比數(shù)列,
∴當(dāng)n≥2時,an=r(r+1)n-2a.
綜上,數(shù)列{an}的通項公式為an=
(2)對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列,證明如下:
當(dāng)r=0時,由(1)知,an=
∴對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列,
當(dāng)r≠0,r≠-1時,
∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1.
若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數(shù)列,
則Sk+1+Sk+2=2Sk,
∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1,
由(1)知,a2,a3,…,am,…的公比r+1=-2,
于是對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1=-2am,
從而am+2=4am,
∴am+1+am+2=2am,即am+1,am,am+2成等差數(shù)列,
綜上,對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列.
4.(2018連云港期末)設(shè){an}是公差為d(d≠0)且各項為正數(shù)的等差數(shù)列,{bn}是公比為q且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,cn=anbn(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)若a1=b1=2, c2=20, c3=64.
①求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
②求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
(1)證明 因為====,
所以-=-==(常數(shù)),
由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.
(2)解 ①因為a1=b1=2, c2=20, c3=64,
所以
因為{an}的各項為正數(shù),所以
則an=3n-1, bn=2n.
②因為an=3n-1, bn=2n,所以cn=(3n-1)2n,
所以Sn=ci=22+522+823+…+2n, ①
2Sn=222+523+…+(3n-4)2n+(3n-1)2n+1, ②
①-②得-Sn=4+3(22+23+…+2n)-(3n-1)2n+1=4+3-(3n-1)2n+1
=4+12(2n-1-1)-(3n-1)2n+1=(-3n+4)2n+1-8,
所以Sn=(3n-4)2n+1+8.
考點二 等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他知識的綜合
方法技巧 數(shù)列和其他知識的綜合問題解題的關(guān)鍵是通過對其他知識的轉(zhuǎn)化得到數(shù)列的通項關(guān)系式或遞推關(guān)系式.
5.(2018江蘇省如東高級中學(xué)期中)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=n2(n∈N*).
(1)記bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(2)記cn=,且數(shù)列{cn}的前n項和為Mn,若不等式Mn<k,對任意n∈N*恒成立,求實數(shù)k的最小值.
解 (1)因為Sn=n2(n∈N*),當(dāng)n=1時,a1=S1=1,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
對n=1適用,
所以an=2n-1(n∈N*),所以bn==22n-1=24n-1,
所以Tn==4n-.
(2)因為cn==
=,
所以Mn=
=<,
故k≥,從而k的最小值為.
6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2.
(1)證明數(shù)列{an+2}是等比數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Kn.
解 (1)由Tn=2Sn-n2,得a1=S1=T1=2S1-1,
解得a1=S1=1,
由S1+S2=2S2-4,解得a2=4.
當(dāng)n≥2時,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1+(n-1)2,
即Sn=2Sn-1+2n-1, ①
Sn+1=2Sn+2n+1, ②
由②-①得an+1=2an+2,
∴an+1+2=2(an+2),
又a2+2=2(a1+2),
∴數(shù)列{an+2}是以a1+2=3為首項,2為公比的等比數(shù)列,
∴an+2=32n-1,
即an=32n-1-2(n∈N*).
(2)∵bn=3n2n-1-2n,
∴Kn=3(120+221+…+n2n-1)-2(1+2+…+n)
=3(120+221+…+n2n-1)-n2-n.
記Rn=120+221+…+n2n-1, ③
2Rn=121+222+…+(n-1)2n-1+n2n, ④
由③-④,得
-Rn=20+21+22+…+2n-1-n2n
=-n2n=(1-n)2n-1,
∴Rn=(n-1)2n+1.
∴Kn=3(n-1)2n-n2-n+3(n∈N*).
7.已知數(shù)列{an},如果數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=an+an-1,n≥2,n∈N*,則稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“生成數(shù)列”.
(1)若數(shù)列{an}的通項為an=n,寫出數(shù)列{an}的“生成數(shù)列”{bn}的通項公式;
(2)若數(shù)列{cn}的通項為cn=2n+b(其中b為常數(shù)),試問數(shù)列{cn}的“生成數(shù)列”{qn}是不是等差數(shù)列,請說明理由;
(3)已知數(shù)列{dn}的通項為dn=2n+n,求數(shù)列{dn}的“生成數(shù)列”{pn}的前n項和Tn.
解 (1)當(dāng)n≥2時,bn=an+an-1=2n-1,
當(dāng)n=1時,b1=a1=1適合上式,
∴bn=2n-1(n∈N*).
(2)qn=
當(dāng)b=0時,qn=4n-2,由于qn+1-qn=4,
∴此時數(shù)列{cn}的“生成數(shù)列”{qn}是等差數(shù)列.
當(dāng)b≠0時,由于q1=c1=2+b,q2=6+2b,q3=10+2b,此時q2-q1≠q3-q2,∴數(shù)列{cn}的“生成數(shù)列”{qn}不是等差數(shù)列.
綜上,當(dāng)b=0時,{qn}是等差數(shù)列;當(dāng)b≠0時,{qn}不是等差數(shù)列.
(3)pn=
當(dāng)n>1時,Tn=3+(32+3)+(322+5)+…+(32n-1+2n-1),
∴Tn=3+3(2+22+23+…+2n-1)+(3+5+7+…+2n-1)=32n+n2-4.
又當(dāng)n=1時,T1=3,適合上式,
∴Tn=32n+n2-4.
8.已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=a,且an+1=k(an+an+2)對任意正整數(shù)都成立,數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(1)若k=,且S2015=2015a,求a的值;
(2)是否存在實數(shù)k,使數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列,且對任意相鄰三項am,am+1,am+2,按某順序排列后成等差數(shù)列?若存在,求出所有k的值,若不存在,請說明理由;
(3)若k=-,求Sn.
解 (1)當(dāng)k=時,an+1=(an+an+2),an+2-an+1=an+1-an,
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
此時首項a1=1,公差d=a2-a1=a-1,數(shù)列{an}的前2015項和是S2015=2015+2015
(2015-1)(a-1)=2015a,解得a=1.
(2)設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則它的公比q==a,
所以am=am-1,am+1=am,am+2=am+1.
①若am+1為等差中項,則2am+1=am+am+2,即2am=am-1+am+1,解得a=1,不合題意;
②若am為等差中項,則2am=am+1+am+2,即2am-1=am+am+1,化簡得a2+a-2=0,解得a=-2(舍去a=1),所以k====-;
③若am+2為等差中項,則2am+2=am+1+am,即2am+1=am+am-1,化簡得2a2-a-1=0,解得a=-(舍去a=1),所以k====-.
綜上,滿足要求的實數(shù)k有且僅有一個,k=-.
(3)當(dāng)k=-時,an+1=-(an+an+2),
an+2+an+1=-(an+1+an),an+3+an+2=-(an+2+an+1)=an+1+an.
當(dāng)n是偶數(shù)時,
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an
=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)
=(a1+a2)
=(a+1);
當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時,
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an
=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)
=a1+(a2+a3)
=a1+[-(a1+a2)]
=1-(a+1).
當(dāng)n=1時也適合上式.
綜上所述,Sn=
例 (16分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=anan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n2n+1>30成立的正整數(shù)n的最小值.
審題路線圖
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規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)
解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q.
由題意知2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,所以a2+a4=20,
所以解得或 6分
又數(shù)列{an}單調(diào)遞增,所以q=2,a1=2,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n. 8分
(2)因為bn=anan=2n2n=-n2n, 9分
所以Sn=-(12+222+…+n2n),
2Sn=-[122+223+…+(n-1)2n+n2n+1],
兩式相減,得Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1=2n+1-2-n2n+1. 12分
又Sn+n2n+1>30,
可得2n+1-2>30,即2n+1>32=25, 14分
所以n+1>5,即n>4.
所以使Sn+n2n+1>30成立的正整數(shù)n的最小值為5. 16分
構(gòu)建答題模板
[第一步] 求通項:根據(jù)題目條件,列方程(組)求解,得到數(shù)列的通項公式.
[第二步] 求和:根據(jù)數(shù)列的類型,選擇適當(dāng)方法求出數(shù)列的前n項和.
[第三步] 求最值:根據(jù)題目條件,建立相應(yīng)的函數(shù)或不等式,通過相應(yīng)函數(shù)最值或不等式求出最值,注意n的取值.
1.(2018江蘇省蘇州吳中區(qū)模擬)設(shè)數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且+=(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=a+log2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q>0,
∵+=,∴
∴
∴a1=1,q=2, ∴an=2n-1(n∈N*).
(2)∵bn=4n-1+(n-1),
∴Sn=(1+0)+(41+1)+(42+2)+…+[4n-1+(n-1)]
=+[0+1+2+…+(n-1)]
=+=(n∈N*).
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.
(1)證明是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)證明:++…+<.
(1)解 由an+1=3an+1,得an+1+=3,所以=3,
所以是等比數(shù)列,首項為a1+=,公比為3,
所以an+=3n-1,
因此{an}的通項公式為an=(n∈N*).
(2)證明 由(1)知,an=,所以=,
因為當(dāng)n≥1時,3n-1≥23n-1,
所以≤,
于是++…+≤1++…+
=<,
所以++…+<.
3.已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1-an=p3n-1-nq,n∈N*,p,q∈R.
(1)若q=0,且數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求p的值;
(2)若p=1,且a4為數(shù)列{an}的最小項,求q的取值范圍.
解 (1)若q=0,則an+1-an=p3n-1.
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為r.
①若r=1,則p=0;
②若r≠1,則p≠0,所以r===3.
此時an+1-an=a1(r-1)rn-1=p3n-1=3n-1,
所以p=1.
綜上所述,p=0或p=1.
(2)若p=1,則an+1-an=3n-1-qn,n∈N*,
因為a4是數(shù)列{an}的最小項,首先有a3≥a4且a4≤a5,得3≤q≤.
此時,a2-a1=1-q<0,a3-a2=3-2q<0.
記f(n)=an+1-an=3n-1-qn(n∈N*),
考慮f(n+1)-f(n)=23n-1-q,當(dāng)n≥4時,f(n+1)>f(n)≥f(4)≥0.
綜上,a1>a2>a3≥a4,且a4≤a5<a6<a7…,滿足題意.
所以q的取值范圍是.
4.若數(shù)列{an}中存在三項,按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,則稱{an}為“等比源數(shù)列”.
(1)已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-1.
①求{an}的通項公式;
②試判斷{an}是否為“等比源數(shù)列”,并證明你的結(jié)論;
(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a1≠0,an∈Z(n∈N*).
求證:{an}為“等比源數(shù)列”.
(1)解 ①由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1),
且a1-1=1,
所以數(shù)列{an-1}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.
所以an-1=2n-1,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1+1.
②數(shù)列{an}不是“等比源數(shù)列”,用反證法證明如下:
假設(shè)數(shù)列{an}是“等比源數(shù)列”,則存在三項am,an,ak(m<n<k)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列.
因為an=2n-1+1,所以am<an<ak,
所以a=amak,得(2n-1+1)2=(2m-1+1)(2k-1+1),
即22n-2+22n-1+1=2m+k-2+2m-1+2k-1+1,
兩邊同時乘21-m,得到
22n-m-1+2n-m+1=2k-1+1+2k-m,
即22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m=1,
又m<n<k,m,n,k∈N*,
所以2n-m-1≥1,n-m+1≥2,k-1≥2,k-m≥2,
所以22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m必為偶數(shù),不可能為1.
所以數(shù)列{an}中不存在任何三項,按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列.
綜上可得數(shù)列{an}不是“等比源數(shù)列”.
(2)證明 不妨設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≥0.
當(dāng)d=0時,等差數(shù)列{an}為非零常數(shù)數(shù)列,數(shù)列{an}為“等比源數(shù)列”.
當(dāng)d>0時,因為an∈Z,則d≥1,且d∈Z,所以數(shù)列{an}中必有一項am>0.為了使{an}為“等比源數(shù)列”,
只需要{an}中存在第m項,第n項,第k項(m<n<k),
使得a=amak成立.
即[am+(n-m)d]2=am[am+(k-m)d],
即(n-m)[2am+(n-m)d]=am(k-m)成立.
當(dāng)n=am+m,k=2am+amd+m時,上式成立.
所以{an}中存在am,an,ak成等比數(shù)列.
所以數(shù)列{an}為“等比源數(shù)列”.