高一數(shù)學(xué)（人教A版）必修4能力提升：2-1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念

能 力 提 升 一、選擇題 1．下列命題中正確的是(　　) A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合 B．模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量 C．若a和b都是單位向量，則a＝b D．兩個(gè)相等向量的模相等 [答案]　D 2．下列說法中，不正確的是(　　) A．向量的長度與向量的長度相等 B．任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng) C．長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量 D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量其終點(diǎn)必相同 [答案]　D [解析]　很明顯選項(xiàng)A，B，C正確，共線向量只與方向有關(guān)，方向相同或相反的向量都是共線向量，所以選項(xiàng)D不正確． 3．已知非零向量a、b滿足a∥b，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．a(chǎn)＝b B．它們方向相同或相反 C．所在直線平行或重合 D．都與零向量共線 [答案]　A 4．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A、B分別對應(yīng)－1、2，則向量的長度是(　　) A．－1 B．2 C．1 D．3 [答案]　D 5．(2011～2012·臨沂高一檢測)以下說法錯(cuò)誤的是(　　) A．零向量與任一非零向量平行 B．零向量與單位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共線向量 [答案]　C 6．下列說法正確的是(　　) A．若|a|＝|b|，則a、b的長度相等且方向相同或相反 B．若向量、滿足||>||，且與同向，則> C．若a≠b，則a與b可能是共線向量 D．若非零向量與平行，則A、B、C、D四點(diǎn)共線 [答案]　C 二、填空題 7．如圖ABCD是菱形，則在向量、、、、和中，相等的有________對． [答案]　2 [解析]?。?，＝.其余不等． 8．(海南三亞調(diào)研)把同一平面內(nèi)所有模不小于1，不大于2的向量的起點(diǎn)，移到同一點(diǎn)O，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于____________． [答案]　3π [解析]　這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán)，其面積為π·22－π·12＝3π. 9．(江蘇泰州高一期末)設(shè)O是正方形ABCD的中心，則①＝；②∥；③與共線；④＝.其中，所有正確表示的序號(hào)為____________． [答案]　①②③ [解析]　根據(jù)正方形的特征，結(jié)合相等向量，平行向量作出判斷，只有④是錯(cuò)誤的，與只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量． 三、解答題 10．在如圖所示的方格紙上(每個(gè)小方格邊長均為1)，已知向量a. (1)試以B為起點(diǎn)畫一個(gè)向量b，使b＝a； (2)畫一個(gè)以C為起點(diǎn)的向量c，使|c|＝2，并說出c的終點(diǎn)的軌跡是什么． [分析]　用有向線段表示向量，注意起點(diǎn)、方向、長度． [解析]　(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量應(yīng)與a平行，且長度相等，如圖所示． (2)滿足條件的向量c可以是圖中的.所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以C為圓心，2為半徑的圓，如圖． 11．已知飛機(jī)從甲地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)乙地，再從乙地按南偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)丙地，再從丙地按西南方向飛行1000km到達(dá)丁地，問丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多遠(yuǎn)？ [解析]　如圖所示，A、B、C、D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地，依題意知，三角形ABC為正三角形，∴AC＝2000km. 又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD為直角三角形，即AD＝1000km，∠CAD＝45°. 答：丁地在甲地的東南方向，距甲地1000km. 12．如圖所示，四邊形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的點(diǎn)，且＝. 求證：＝. [解析]　∵＝，∴||＝||且AB∥CD. ∴四邊形ABCD是平行四邊形． ∴||＝||，且DA∥CB. 又∵與的方向相同，∴＝. 同理可證：四邊形CNAM是平行四邊形，∴＝. ∵||＝||，||＝||， ∴||＝||，DN∥MB，即與的模相等且方向相同．∴＝.