高一數(shù)學(人教A版)必修4能力提升:2-1 平面向量的實際背景及基本概念
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高一數(shù)學(人教A版)必修4能力提升:2-1 平面向量的實際背景及基本概念
能 力 提 升
一、選擇題
1.下列命題中正確的是( )
A.若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合
B.模相等的兩個平行向量是相等向量
C.若a和b都是單位向量,則a=b
D.兩個相等向量的模相等
[答案] D
2.下列說法中,不正確的是( )
A.向量的長度與向量的長度相等
B.任何一個非零向量都可以平行移動
C.長度不相等而方向相反的兩個向量一定是共線向量
D.兩個有共同起點且共線的向量其終點必相同
[答案] D
[解析] 很明顯選項A,B,C正確,共線向量只與方向有關(guān),方向相同或相反的向量都是共線向量,所以選項D不正確.
3.已知非零向量a、b滿足a∥b,則下列說法錯誤的是( )
A.a(chǎn)=b B.它們方向相同或相反
C.所在直線平行或重合 D.都與零向量共線
[答案] A
4.數(shù)軸上點A、B分別對應(yīng)-1、2,則向量的長度是( )
A.-1 B.2
C.1 D.3
[答案] D
5.(2011~2012·臨沂高一檢測)以下說法錯誤的是( )
A.零向量與任一非零向量平行
B.零向量與單位向量的模不相等
C.平行向量方向相同
D.平行向量一定是共線向量
[答案] C
6.下列說法正確的是( )
A.若|a|=|b|,則a、b的長度相等且方向相同或相反
B.若向量、滿足||>||,且與同向,則>
C.若a≠b,則a與b可能是共線向量
D.若非零向量與平行,則A、B、C、D四點共線
[答案] C
二、填空題
7.如圖ABCD是菱形,則在向量、、、、和中,相等的有________對.
[答案] 2
[解析]?。?,=.其余不等.
8.(海南三亞調(diào)研)把同一平面內(nèi)所有模不小于1,不大于2的向量的起點,移到同一點O,則這些向量的終點構(gòu)成的圖形的面積等于____________.
[答案] 3π
[解析] 這些向量的終點構(gòu)成的圖形是一個圓環(huán),其面積為π·22-π·12=3π.
9.(江蘇泰州高一期末)設(shè)O是正方形ABCD的中心,則①=;②∥;③與共線;④=.其中,所有正確表示的序號為____________.
[答案] ①②③
[解析] 根據(jù)正方形的特征,結(jié)合相等向量,平行向量作出判斷,只有④是錯誤的,與只是模相等,由于方向不相同,所以不是相等向量.
三、解答題
10.在如圖所示的方格紙上(每個小方格邊長均為1),已知向量a.
(1)試以B為起點畫一個向量b,使b=a;
(2)畫一個以C為起點的向量c,使|c|=2,并說出c的終點的軌跡是什么.
[分析] 用有向線段表示向量,注意起點、方向、長度.
[解析] (1)根據(jù)相等向量的定義,所作向量應(yīng)與a平行,且長度相等,如圖所示.
(2)滿足條件的向量c可以是圖中的.所有這樣的向量c的終點的軌跡是以C為圓心,2為半徑的圓,如圖.
11.已知飛機從甲地按北偏東30°的方向飛行2000km到達乙地,再從乙地按南偏東30°的方向飛行2000km到達丙地,再從丙地按西南方向飛行1000km到達丁地,問丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多遠?
[解析] 如圖所示,A、B、C、D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地,依題意知,三角形ABC為正三角形,∴AC=2000km.
又∵∠ACD=45°,CD=1000,∴△ACD為直角三角形,即AD=1000km,∠CAD=45°.
答:丁地在甲地的東南方向,距甲地1000km.
12.如圖所示,四邊形ABCD中,=,N、M是AD、BC上的點,且=.
求證:=.
[解析] ∵=,∴||=||且AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴||=||,且DA∥CB.
又∵與的方向相同,∴=.
同理可證:四邊形CNAM是平行四邊形,∴=.
∵||=||,||=||,
∴||=||,DN∥MB,即與的模相等且方向相同.∴=.