菲涅耳公式折反射定律.doc

Chapter 1 理論基礎 1.1 介質中的Maxwell’s equations及物質方程 微分形式 （1-1） 傳導電流密度的單位為安培/米2(A/m2)，自由電荷密度的單位為庫侖/米2(C/m2)。同時有電磁場對材料介質作用的關系式，即物質方程（或稱本構方程） （1-2） 麥克斯韋方程組及物質方程描寫了整個電磁場空間及全時間過程中電磁場的分布及變化情況。因此，所有關于電磁波的產生及傳播問題，均可歸結到在給定的初始條件和邊界條件下求解麥克斯韋方程組的問題，這也正是用以解決光波在各種介質、各種邊界條件下傳播問題的關鍵及核心。 1.2 積分形式及邊界條件 由于兩介質分界面上在某些情況下場矢量、、、發(fā)生躍變，因此這些量的導數(shù)往往不連續(xù)。這時不能在界面上直接應用微分形式的Maxwell’s equations，而必須由其積分形式出發(fā)導出界面上的邊界條件。 積分形式 （1-3） 得邊界條件為 （1-4） 式（1-4）的具體解釋依次如下（具體過程詳見《光學電磁理論》P20）： （1）電場強度矢量的切向分量連續(xù)，為界面的法向分量。 （2）為界面上的面?zhèn)鲗щ娏鞯木€密度。當界面上無傳導電流時，=0，此時的切向分量連續(xù)。比如在絕緣介質表面無自由電荷和傳導電流。 （3）為界面上的自由電荷面密度。 （4）磁感應強度矢量的法向分量在界面上連續(xù)。 Chapter 2 電磁波在分層介質中的傳播 2.1 反射定律和折射定律 光由一種介質入射到另一種介質時，在界面上將產生反射和折射。現(xiàn)假設二介質為均勻、透明、各向同性介質，分界面為無窮大的平面，入社、反射和折射光均為平面光波，其電場表達式為 入射波 反射波 折射波 界面兩側的總電場為： 由電場的邊界條件，有 欲使上式對任意的時間t和界面上均成立，則必然有： （1-5） （1-6） 可見，時間頻率ω是入射電磁波或光波的固有特性，它不因媒質而異，也不會因折射或反射而變化。 （1-7） 由于可以在界面內選取不同方向，上式實際上意味著矢量和 均與界面的法線平行，由此可以推知，、、與共面，該平面稱為入射面。由此可得出結論：反射波和折射波均在入射面內。 上式是矢量形式的折、反射定律。將上式寫成標量形式，并約掉共同的位置量，可得 （1-8） 又由于，，，得 （1-9） 2.2 菲涅耳公式 折、反射定律給出了反射波、折射波和入射波傳播方向之間的關系。而反射波、折射波和入射波在振幅和位相之間的定量關系由Fresnel公式來描述。 電場是矢量，可將其分解為一對正交的電場分量，一個振動方向垂直于入射面，稱為‘s’分量，另外一個振動方向在（或者說平行于）入射面，稱為‘p’分量。 首先研究入射波僅含‘s’分量和僅含‘p’分量這兩種特殊情況。當兩種分量同時存在時，則只要分別先計算由單個分量成分的折射、反射電場；然后根據(jù)矢量疊加原理進行矢量相加即可得到結果。 （1）單獨存在s分量的情形 首先規(guī)定：電場和磁場的s分量垂直于紙面， 向外為正，向內為負。 在界面上電場切向分量連續(xù)： 另外由式（1-5）、（1-6），可得 （2-1） 在界面上磁場的切向分量連續(xù)： 注意，如圖所示。所以同理有 （2-2） 非磁性各向同性介質中、的數(shù)值之間的關系： 那么式（2-1）整理為 （2-3） 聯(lián)立式（2-1）（2-3）可得 （2）單獨存在p分量的情形 首先規(guī)定：p分量按照其在界面上的投影方向，向右為正，向左為負。 根據(jù)、的邊界條件得： 再利用、的數(shù)值關系以及正交性，得到 綜上所述，S波及P波的反射系數(shù)和透射系數(shù)的表達式為： 上面左邊的式子就是著名的Fresnel公式。利用折射定律，F(xiàn)resnel公式還可以寫成右邊的形式。 2.3 反射波和透射波的性質 2.3.1 n1<n2的情況 （1）反射系數(shù)和透射系數(shù) ①兩個透射系數(shù)ts和tp都隨著入射角增大而單調降低，即入射波越傾斜，透射波越弱，并且在正向規(guī)定下，ts和tp都大于零，即折射光不發(fā)生相位突變。 ② rs始終小于零，其絕對值隨著入射角單調增大。根據(jù)正方向規(guī)定可知，在界面上反射波電場的s分量振動方向始終與入射波s分量相反，既存在π相位突變（又稱半波損失）。 ③對于rp，它的代數(shù)值隨著入射角單調減小，但是經歷了一個由正到負的變化。由公式 ，當時有，即，又由折射定律 ，聯(lián)立可得此時入射角為布儒斯特角。布儒斯特定律內容：如果平面波以布儒斯特角入射，則不論入射波的電場振動如何，反射波不再含有p分量，只有s分量；反射角與折射角互為余角。 （2）反射率和透射率 上圖中為波的橫截面面積，為波投射在界面上的面積。若入射光波的強度為，則每秒入射到界面上面積的能量為 又由光強表達式，上式可寫成 類似地，反射光和折射光的能量表達式為 于是反射率和折射率分別為 類似地，當入射波只含有p分量的時，可以求出p分量的反射率Rp和透射率Tp： 與之間、 與之間均存在‘互補’關系，即： 這表明，在界面處，入射波的能量全部轉換為反射波和折射波的能量（條件：界面處沒有散射、吸收等能量損失）。 當入射波同時含有s分量和p分量時，由于兩個分量的方向互相垂直，所以在任何地點、任何時刻都有： 從而有： 類似還有， 可以定義反射率R和透射率T為： ， 注意：入射光波的s分量(p分量)只對折射率、反射率的s分量(p分量)有貢獻。 如果入射波中s和p分量的強度比為α，，則有： 和 即和分別是、和、的加權平均。 但是仍然有： 正入射時，s分量和p分量的差異消失。若用R0和T0表示此時的反射率和透射率，則有： 以及 利用這兩個等式可以估算非正入射但是入射角很小()的反射率和透射率。 2.3.2 n1>n2的情況 這種情形即由光密媒質入射到光疏媒質的情形。 由折射定律可知， 把所對應的入射角稱為全反射臨界角，用表示。即。 因此分和兩種情況來討論。 （1）當時 此時，可以直接用Fresnel公式來討論反射波和折射波的性質，分析方法和n1<n2的情形完全相同。 對于s分量來說，當時，，說明無半波損失，正如上圖中的藍線所示；對于p分量來說，在范圍內，，說明有半波損失，而在范圍內，，說明無半波損失。 注意，所以必然是，說明布儒斯特定律依然有效，同時也說明無論是n1>n2還是n1<n2的情形，布儒斯特定律都成立。 ts和tp均大于1，且隨著的增大而增大，但是這不意味著透射率T大于1以及T必然隨的增大而增大。 （2）當時 因為全反射臨界角滿足。由該式可見，當時，會出現(xiàn)的現(xiàn)象，這顯然是不合理的。此時折射定律不再成立。但是為了能夠將菲涅耳公式用于全反射的情況，在形式上仍然要利用關系式。 由于在實數(shù)范圍內不存在，可以將有關參量擴展到復數(shù)領域。 而始終是實參量，為此應將寫成如下的虛數(shù)形式： 有關取虛數(shù)的物理意義及其取正號的原因，留在后面說明。將上式代入菲涅耳公式，得到復反射系數(shù) 并且有 式中，，是二介質的相對折射率；、為反射光與入射光的s分量、p分量光場振幅大小之比。、為全反射時，反射光中的s分量、p分量光場相對入射光的相位變化。由上式可見，發(fā)生全反射時，反射光強等于入射光強，而反射光的相位變化較復雜。他們之間的相位差由下式決定： 因此，在n一定的情況下，適當?shù)乜刂迫肷浣?，即可改變相位差，從而改變反射光的偏振狀態(tài)。比如菲涅耳棱鏡的原理。 當光由光密介質射向光疏介質，并在界面上發(fā)生全反射時，投射光強為零。這就有一個問題：此時在光疏介質中有無光場呢？ 當把ts、tp的Fresnel公式推廣到復數(shù)域進行計算，將會發(fā)現(xiàn)ts、tp都不等于零，亦即光疏媒質內有折射光波。在發(fā)生全反射時，光波場將透入到第二個介質很薄的一層（約為光波波長）范圍內，這個波叫倏逝波。 現(xiàn)假設介質界面為xOy平面，入射面為xOz平面，則在一般情況下可將透射波場表示為 上式可改寫為 這是一個沿著z方向振幅衰減，沿著界面x方向傳播的非均勻波，也就是全反射的倏逝波。由此可以說明前面討論的正確性：只有取虛數(shù)形式，并且取正號，才可以得到客觀上存在的倏逝波。 倏逝波在入射波剛剛達到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波電磁場外，當達到穩(wěn)定狀態(tài)之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿著界面處傳播，不進入第二媒質內部。因而全反射時Rs=1、ts≠0和Rp=1、tp≠0并不違反能量守恒定律。 具體性質參看《物理光學與應用光學》P38 2.4 Stocks倒逆關系 Stokes reversible relation可以導出不同介質兩側折射系數(shù)、反射系數(shù)的關系。 如上左圖所示，假設入射光束的振幅為A，相應反射光束與折射光束為Ar，At。再設一束振幅為Ar的光束逆向傳播（上右圖中藍色光束Ar）相應反射和折射分別是Arr、Art；再設一束振幅為t的光束逆向傳播（上右圖中橙色光束At），相應反射和折射分別為A t r、At t。 由于最初的反射光行波和折射光行波r、t正逆抵消。則另外第二、第三象限的光束也抵消，得到斯托克斯倒逆關系，即： 整理后，得 r、t為從n1介質到n2介質入射時的反射和折射系數(shù)； r、t為從n2到n1介質入射時的反射和折射系數(shù)。