新編高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體學(xué)案 新人教A版必修2含答案

新編人教版精品教學(xué)資料 第一章 空間幾何體學(xué)案 新人教A版必修2 1．1空間幾何體的結(jié)構(gòu) 1．1.1　棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 [提出問題] 觀察下列圖片： 問題1：圖片(1)(2)(3)中的物體的形狀有何特點(diǎn)？ 提示：由若干個(gè)平面多邊形圍成． 問題2：圖片(4)(5)(6)(7)的物體的形狀與(1)(2)(3)中有何不同？ 提示：(4)(5)(6)的表面是由平面與曲面圍成，(7)的表面是由曲面圍成的． 問題3：圖片(4)(5)(6)(7)中的幾何體是否可以看作平面圖形繞某定直線旋轉(zhuǎn)而成？ 提示：可以． [導(dǎo)入新知] 1．空間幾何體 概念 定義 空間幾何體 在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分．如果我們只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體 多面體 由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)體 由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸 2．多面體 多面體 定義 圖形及表示 相關(guān)概念 棱柱 有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱 如圖可記作：棱柱ABCD－A′B′C′D′ 底面(底)：兩個(gè)互相平行的面 側(cè)面：其余各面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn) 棱錐 有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐 如圖可記作：棱錐S－ABCD 底面(底)：多邊形面 側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn) 棱臺(tái) 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái) 如圖可記作：棱臺(tái) ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱錐的截面 下底面：原棱錐的底面 側(cè)面：其余各面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn) [化解疑難] 1．對(duì)于多面體概念的理解，注意以下兩個(gè)方面： (1)多面體是由平面多邊形圍成的，圍成一個(gè)多面體至少要四個(gè)面．一個(gè)多面體由幾個(gè)面圍成，就稱為幾面體． (2)多面體是一個(gè)“封閉”的幾何體，包括其內(nèi)部的部分． 2．棱柱具有以下結(jié)構(gòu)特征和特點(diǎn)： (1)側(cè)棱互相平行且相等，側(cè)面都是平行四邊形． (2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形，如圖a所示． (3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形，如圖b所示． (4)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如圖c所示． 3．對(duì)于棱錐要注意有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，必須強(qiáng)調(diào)其余各面是共頂點(diǎn)的三角形，如圖d所示． 4．棱臺(tái)中各側(cè)棱延長(zhǎng)后必相交于一點(diǎn)，否則不是棱臺(tái)． 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 [例1]　下列關(guān)于棱柱的說法： (1)所有的面都是平行四邊形； (2)每一個(gè)面都不會(huì)是三角形； (3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行； (4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱． 其中正確說法的序號(hào)是________． [解析]　　(1)錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形； (2)錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形； (3)正確，由棱柱的定義易知； (4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，所以說法正確的序號(hào)是(3)(4)． [答案]　(3)(4) [類題通法] 有關(guān)棱柱的結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略 (1)緊扣棱柱的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行有關(guān)概念辨析 ①兩個(gè)面互相平行； ②其余各面是四邊形； ③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行．求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征． (2)多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除． [活學(xué)活用] 1．下列四個(gè)命題中，假命題為(　　) A．棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形 C．棱柱的兩底面是全等的多邊形 D．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行 解析：選A　A錯(cuò)，正六棱柱的兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D是正確的. 棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 [例2]　下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法： (1)用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)； (2)棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形； (3)棱錐的側(cè)面只能是三角形； (4)由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐； (5)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐，其中正確說法的序號(hào)是________． [解析]　　(1)錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)； (2)正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形； (3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形； (4)正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐； (5)錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐． [答案]　(2)(3)(4) [類題通法] 判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法 (1)舉反例法： 結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確． (2)直接法： 棱錐 棱臺(tái) 定底面 只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面 兩個(gè)互相平行的面，即為底面 看側(cè)棱 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn) [活學(xué)活用] 2．試判斷下列說法正確與否： ①由六個(gè)面圍成的封閉圖形只能是五棱錐； ②兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)． 解：①不正確，由六個(gè)面圍成的封閉圖形有可能是四棱柱；②不正確，兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體．側(cè)棱不一定相交于一點(diǎn)，所以不一定是棱臺(tái). 多面體的平面展開圖 [例3]　如圖是三個(gè)幾何體的側(cè)面展開圖，請(qǐng)問各是什么幾何體？ [解]　由幾何體的側(cè)面展開圖的特點(diǎn)，結(jié)合棱柱，棱錐，棱臺(tái)的定義，可把側(cè)面展開圖還原為原幾何體，如圖所示： 所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái)． [類題通法] 1．解答此類問題要結(jié)合多面體的結(jié)構(gòu)特征發(fā)揮空間想象能力和動(dòng)手能力． 2．若給出多面體畫其展開圖時(shí)，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面． 3．若是給出表面展開圖，則可把上述程序逆推． [活學(xué)活用] 3.水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是(　　) A．1　　　　　　　　　 　B．2 C．快 D．樂 解析：選B　由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，1與樂相對(duì)，2與2相對(duì)，0與快相對(duì)，所以下面是2. 　　　　 [典例]　如圖所示，幾何體的正確說法的序號(hào)為________． (1)這是一個(gè)六面體；(2)這是一個(gè)四棱臺(tái)；(3)這是一個(gè)四棱柱；(4)此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到；(5)此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到． [解析]　(1)正確，因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍； (2)錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確； (3)正確，如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱； (4)(5)都正確，如圖所示． [易錯(cuò)防范] 1．解答過程中易忽視側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，直觀感覺是棱臺(tái)，而不注意邏輯推理． 2．解答空間幾何體概念的判斷題時(shí)，要注意緊扣定義，切忌只憑圖形主觀臆斷． [成功破障] 如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是(　　) A．棱柱　　　　　　　　　　　　 B．棱臺(tái) C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定 解析：選A　如圖 ∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C， ∴有水的部分始終有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形(水面與兩平行平面的交線)因此呈棱柱形狀． [隨堂即時(shí)演練] 1．下列幾何體中棱柱有(　　) A．5個(gè)　　　　　　　　　 B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 解析：選D　由棱柱定義知，①③為棱柱． 2．下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個(gè)棱柱的是(　　) 解析：選D　A、B、C中底面邊數(shù)與側(cè)面?zhèn)€數(shù)不一致，故不能圍成棱柱． 3．棱錐最少有________個(gè)面． 答案：4 4．下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，________是棱臺(tái)(僅填相應(yīng)序號(hào))． 答案：①③④?、蕖、? 5．(1)三棱錐、四棱錐、十五棱錐分別有多少條棱？多少個(gè)面？ (2)有沒有一個(gè)多棱錐，其棱數(shù)是2 012？若有，求出有多少個(gè)面；若沒有，說明理由． 解：(1)三棱錐有6條棱、4個(gè)面；四棱錐有8條棱、5個(gè)面；十五棱錐有30條棱、16個(gè)面． (2)設(shè)n棱錐的棱數(shù)是2 012，則2n＝2012，所以n＝1 006，1 006棱錐的棱數(shù)是2 012，它有1 007個(gè)面． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．下列圖形中，不是三棱柱的展開圖的是(　　) 答案：C 2．有兩個(gè)面平行的多面體不可能是(　　) A．棱柱 B．棱錐 C．棱臺(tái) D．以上都錯(cuò) 解析：選B　棱柱、棱臺(tái)的上、下底面是平行的，而棱錐的任意兩面均不平行． 3．關(guān)于棱柱，下列說法正確的是(　　) A．只有兩個(gè)面平行 B．所有的棱都相等 C．所有的面都是平行四邊形 D．兩底面平行，側(cè)棱也互相平行 解析：選D　對(duì)于A，如正方體可以有六個(gè)面平行，故A錯(cuò)；對(duì)于B，如長(zhǎng)方體并不是所有的棱都相等，故B錯(cuò)；對(duì)于C，如三棱柱的底面是三角形，故C錯(cuò)；對(duì)于D，由棱柱的概念，知兩底面平行，側(cè)棱也互相平行．故選D. 4．(2011·廣東高考)正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有(　　) A．20 B．15 C．12 D．10 解析：選D　從正五棱柱的上底面1個(gè)頂點(diǎn)與下底面不與此點(diǎn)在同一側(cè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)相連可得2條對(duì)角線，故共有5×2＝10條對(duì)角線． 5．下列命題中正確的是(　　) A．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái) B．兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) C．棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形 D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn) 解析：選D　A中的平面不一定平行于底面，故A錯(cuò)；B中側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)；C中底面不一定是正方形． 二、填空題 6．面數(shù)最少的棱柱為________棱柱，共有________個(gè)面圍成． 解析：棱柱有相互平行的兩個(gè)底面，其側(cè)面至少有3個(gè)，故面數(shù)最少的棱柱為三棱柱，共有五個(gè)面圍成． 答案：三　5 7.如圖，M是棱長(zhǎng)為2 cm的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是________ cm. 解析：由題意，若以BC為軸展開，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為2 cm,3 cm，故兩點(diǎn)之間的距離是 cm.若以BB1為軸展開，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為1,4，故兩點(diǎn)之間的距離是 cm. 故沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是 cm. 答案： 8．側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． 側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． 底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱． 底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體． 側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體． 底面是矩形的直平行六面體叫做長(zhǎng)方體． 棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體． 請(qǐng)根據(jù)上述定義，回答下面的問題： (1)直四棱柱________是長(zhǎng)方體； (2)正四棱柱________是正方體．(填“一定”、“不一定”、“一定不”) 解析：根據(jù)上述定義知：長(zhǎng)方體一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是長(zhǎng)方體；正方體一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方體． 答案：(1)不一定　(2)不一定 三、解答題 9．觀察下列四張圖片，結(jié)合所學(xué)知識(shí)說出這四個(gè)建筑物主要的結(jié)構(gòu)特征． 解：(1)是上海世博會(huì)中國(guó)館，其主體結(jié)構(gòu)是四棱臺(tái)． (2)是法國(guó)盧浮宮，其主體結(jié)構(gòu)是四棱錐． (3)是國(guó)家游泳中心“水立方”，其主體結(jié)構(gòu)是四棱柱． (4)是美國(guó)五角大樓，其主體結(jié)構(gòu)是五棱柱． 10．(2011·山東高考改編)給出兩塊正三角形紙片(如圖所示)，要求將其中一塊剪拼成一個(gè)底面為正三角形的三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)底面是正三角形的三棱柱模型，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方案，分別用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡(jiǎn)要說明． 解：如圖(1)所示，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)底面為正三角形的三棱錐． 如圖(2)所示，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的，有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線折成，可成為一個(gè)缺上底的底面為正三角形的三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)底面為正三角形的棱柱的上底． 1．1.2　圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征　簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征 旋轉(zhuǎn)體 [提出問題] 如圖，給出下列實(shí)物圖． 問題1：上述三個(gè)實(shí)物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？ 提示：它們不是由平面多邊形圍成的． 問題2：上述實(shí)物圖抽象出的幾何體中的曲面能否以某平面圖形旋轉(zhuǎn)而成？ 提示：可以． 問題3：如何形成上述幾何體的曲面？ 提示：可將半圓、直角梯形、直角三角形繞一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)而成． [導(dǎo)入新知] 旋轉(zhuǎn)體 結(jié)構(gòu)特征 圖形 表示 圓柱 以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線 我們用表示圓柱軸的字母表示圓柱，左圖可表示為圓柱OO′ 圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐 我們用表示圓錐軸的字母表示圓錐，左圖可表示為圓錐SO 圓臺(tái) 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái) 我們用表示圓臺(tái)軸的字母表示圓臺(tái)，左圖可表示為圓臺(tái)OO′ 球 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球．半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑 球常用球心字母進(jìn)行表示，左圖可表示為球O [化解疑難] 1．以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)成的曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐． 2．球與球面是完全不同的兩個(gè)概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分． 3．圓臺(tái)也可以看作是等腰梯形以其底邊的中線所在的直線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體. 簡(jiǎn)單組合體 [提出問題] 中國(guó)首個(gè)空間實(shí)驗(yàn)室“天宮一號(hào)”于2011年9月29日16分成功發(fā)射升空，并與當(dāng)年11月與“神舟八號(hào)”實(shí)現(xiàn)無人空間對(duì)接，下圖為天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器的結(jié)構(gòu)示意圖． 其主體結(jié)構(gòu)如圖所示： 問題1：該幾何體由幾個(gè)幾何體組合而成？ 提示：4個(gè)． 問題2：圖中標(biāo)注的①②③④部分分別為什么幾何體？ 提示：①為圓臺(tái)，②為圓柱，③為圓臺(tái)，④為圓柱． [導(dǎo)入新知] 1．簡(jiǎn)單組合體的概念 由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體． 2．簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式 有兩種基本形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的． [化解疑難] 簡(jiǎn)單組合體識(shí)別的要求 (1)準(zhǔn)確理解簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的結(jié)構(gòu)特征． (2)正確掌握簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式． (3)若用分割的方法，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線(或面)． 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 [例1]　給出下列說法：(1)以直角三角形的一條邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；(2)以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；(3)經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形；(4)圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)有可能大于圓錐底面圓直徑，其中正確說法的序號(hào)是________． [解析]　　(1)不正確，因?yàn)楫?dāng)直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體就不是圓錐，而是兩個(gè)同底圓錐的組合體； (2)正確，以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐； (3)正確，如圖所示，經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形； (4)正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)有可能大于圓錐底面圓半徑的2倍(即直徑)． [答案]　(2)(3)(4) [類題通法] 1．判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法 (1)明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成． (2)明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線． 2．簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用 (1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量． (2)在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想． [活學(xué)活用] 1．給出下列說法：(1)圓柱的底面是圓面；(2)經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；(3)圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線可能相交，也可能不相交；(4)夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體．其中說法正確的是________． 解析：(1)正確，圓柱的底面是圓面； (2)正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面； (3)不正確，圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)； (4)不正確，圓柱夾在兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體． 答案：(1)(2) 簡(jiǎn)單組合體 [例2]　觀察下列幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，完成以下問題： (1)圖①所示幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的？試畫出幾何圖形，可旋轉(zhuǎn)該圖形180°后得到幾何體①； (2)圖②所示幾何體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？試畫出幾何圖形，可旋轉(zhuǎn)該圖形360°得到幾何體②； (3)圖③所示幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的？并說明該幾何體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)． [解析]　　(1)圖①是由圓錐和圓臺(tái)組合而成． 可旋轉(zhuǎn)如下圖形180°得到幾何體①. (2)圖②是由一個(gè)圓臺(tái)，從上而下挖去一個(gè)圓錐，且圓錐的頂點(diǎn)恰為圓臺(tái)底面圓的圓心． 可旋轉(zhuǎn)如下圖形360°得到幾何體②. (3)圖③是由一個(gè)四棱錐與一個(gè)四棱柱組合而成，且四棱錐的底面與四棱柱底面相同． 共有9個(gè)面，9個(gè)頂點(diǎn)，16條棱． [類題通法] 1．明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，必要時(shí)也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)，如圖③所示的組合體有9個(gè)面，9個(gè)頂點(diǎn)，16條棱． 2．會(huì)識(shí)別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識(shí)圖能力． [活學(xué)活用] 2．下列組合體是由哪些幾何體組成的？ 解：(1)由兩個(gè)幾何體組合而成，分別為球、圓柱． (2)由三個(gè)幾何體組合而成，分別為圓柱、圓臺(tái)、圓柱． (3)由三個(gè)幾何體組合而成，分別為圓錐、圓柱、圓臺(tái)． 　　　　 [典例]　如圖，四邊形ABCD為直角梯形，試作出繞其各條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體． [解題流程] 以邊AD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)―→ 以邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)―→ 以邊CD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)―→ 以邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) [規(guī)范解答] 以邊AD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體是圓臺(tái)，如圖(1)所示． 以邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱拼接而成的幾何體，如圖(2)所示． 以邊CD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體是一個(gè)圓柱挖掉一個(gè)圓錐構(gòu)成的幾何體，如圖(3)所示． 以邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體是由一個(gè)圓臺(tái)挖掉一個(gè)圓錐構(gòu)成的幾何體和一個(gè)圓錐拼接而成，如圖(4)所示． [活學(xué)活用] 一個(gè)有30°角的直角三角板繞其各條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓錐嗎？如果以斜邊上的高所在的直線 為軸旋轉(zhuǎn)180°得到什么幾何體？旋轉(zhuǎn)360°又得到什么幾何體？ 解：如圖(1)和(2)所示，繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體是圓錐． 如圖(3)所示，繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是兩個(gè)同底相對(duì)的圓錐． 如圖(4)所示，繞其斜邊上的高所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°圍成的幾何體是兩個(gè)半圓錐，旋轉(zhuǎn)360°圍成的幾何體是一個(gè)圓錐． [隨堂即時(shí)演練] 1．(2012·臨海高一檢測(cè))圓錐的母線有(　　) A．1條　　　　　　　　　　 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條 答案：D 2.右圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(　　) 解析：選A　圖中幾何體由圓錐、圓臺(tái)組合而成，可由A中圖形繞圖中虛線旋轉(zhuǎn)360°得到． 3．等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°，所得幾何體是________． 答案：圓錐 4．如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征為________． 解析：該組合體上面是一個(gè)四棱錐，下面是一個(gè)四棱柱，因此該組合體的結(jié)構(gòu)特征是四棱錐和四棱柱的一個(gè)組合體． 答案：一個(gè)四棱錐和一個(gè)四棱柱的組合體 5.如圖，AB為圓弧BC所在圓的直徑，∠BAC＝45°.將這個(gè)平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)組合體，試說明這個(gè)組合體的結(jié)構(gòu)特征． 解：如圖所示，這個(gè)組合體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球體拼接而成的． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．下列命題中正確的是(　　) ①圓錐的軸截面是所有過頂點(diǎn)的截面中面積最大的一個(gè)； ②圓柱的所有平行于底面的截面都是圓； ③圓臺(tái)的兩個(gè)底面可以不平行． A．①② B．② C．②③ D．①③ 解析：選B?、僦挟?dāng)圓錐過頂點(diǎn)的軸截面頂角大于90°時(shí)，其面積不是最大的；③圓臺(tái)的兩個(gè)底面一定平行．故①③錯(cuò)誤． 2．將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括(　　) A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái) D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐 解析：選D　從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖： 3．以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是(　　) A．兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體 B．一個(gè)圓臺(tái) C．一個(gè)圓錐 D．一個(gè)圓錐挖去一個(gè)同底的小圓錐 解析：選D　如圖以AB為軸所得的幾何體是一個(gè)大圓錐挖去一個(gè)同底的小圓錐． 4．下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； ③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面； ④用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B　①中應(yīng)以直角三角形的直角邊所在直線為軸，②中應(yīng)以直角梯形中的直角腰所在直線為軸，④中應(yīng)用平行于底面的平面去截，③正確． 5.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是(　　) A．該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體 B．該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn) C．該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形 D．該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形 解析：選D　該幾何體用平面ABCD可分割成兩個(gè)四棱錐，因此它是這兩個(gè)四棱錐的組合體，因而四邊形ABCD是它的一個(gè)截面而不是一個(gè)面． 二、填空題 6．下列7種幾何體： (1)柱體有________； (2)錐體有________； (3)球有__________； (4)棱柱有________； (5)圓柱有________； (6)棱錐有________； (7)圓錐有________． 解析：由柱、錐、臺(tái)及球的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易于分析，柱體有a、d、e、f；錐體有b、g；球有c；棱柱有d、e、f；圓柱有a；棱錐為g；圓錐為b. 答案：(1)a、d、e、f　(2)b、g　(3)c (4)d、e、f　(5)a　(6)g　(7)b 7．下面這個(gè)幾何體的結(jié)構(gòu)特征是___________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：根據(jù)圖形可知此幾何體是由一個(gè)四棱錐、一個(gè)四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一個(gè)圓柱而成． 答案：由一個(gè)四棱錐、一個(gè)四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一個(gè)圓柱而成 8．如圖是一個(gè)幾何體的表面展成的平面圖形，則這個(gè)幾何體是________． 答案：圓柱 三、解答題 9．指出如圖(1)(2)所示的圖形是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的． 解：分割原圖，使它的每一部分都是簡(jiǎn)單幾何體． 圖(1)是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體． 圖(2)是由一個(gè)圓錐和一個(gè)四棱柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體． 10.如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為2 cm和5 cm，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是12 cm，求圓錐SO的母線長(zhǎng)． 解：如圖，過圓臺(tái)的軸作截面，截面為等腰梯形ABCD，由已知可得上底半徑O1A＝2 cm，下底半徑OB＝5 cm，且腰長(zhǎng)AB＝12 cm.設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l，則由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20 cm，即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20 cm. 1．2空間幾何體的三視圖和直觀圖 1．2.1 & 1.2.2　中心投影與平行投影　空間幾何體的三視圖 中心投影與平行投影 [提出問題] 15年之后，《泰坦尼克號(hào)》再次被搬上了熒屏，而這次的宣傳噱頭則是3D.《泰坦尼克號(hào)3D》讓觀眾在明知下一步劇情發(fā)展的情況下，仍然會(huì)因?yàn)榘l(fā)生在“眼前”的真實(shí)愛情悲歌熱淚盈眶．從右圖中我們可以清楚看到3D電影是怎么一回事：兩個(gè)投影機(jī)會(huì)從不同的方向錯(cuò)開一定距離，把畫面中有距離區(qū)別的部分投射到熒幕上．而觀眾所佩戴的3D眼鏡也會(huì)選擇不同的光線進(jìn)入左右眼，這樣你就能看到物體“前于畫面”或“后于畫面”的視覺假象了． 電影的播放實(shí)質(zhì)是利用了小孔成像原理，而太陽光下地面上人的影子是陽光照射到人后留下的影像． 放電影和太陽光照射成影像都具備光線、不透明物體和投影面這些相同的條件． 問題1：放電影成像與太陽光成像原理一樣嗎？ 提示：不一樣． 問題2：電影成像中的光線有何特點(diǎn)？ 提示：光是由一點(diǎn)向外散射． 問題3：太陽光照人成影像的光線又有何特點(diǎn)？ 提示：一束平行光線． [導(dǎo)入新知] 1．投影的定義 由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影．其中，把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面． 2．中心投影與平行投影 投影 定義 特征 分類 中心投影 光由一點(diǎn)向外散射形成的投影 投影線交于一點(diǎn) 平行投影 在一束平行光線照射下形成的投影 投影線互相平行 正投影和斜投影 [化解疑難] 平行投影和中心投影都是空間圖形的一種畫法，但二者又有區(qū)別 (1)中心投影的投影線交于一點(diǎn)，平行投影的投影線互相平行． (2)平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個(gè)平面圖形的形狀和大小完全相同；而中心投影則不同． 三 視 圖 [提出問題] 如夢(mèng)似幻！——這是無數(shù)來自全世界的游客對(duì)國(guó)家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安門、故宮、長(zhǎng)城等北京標(biāo)志性建筑一樣，“水立方”成了游客在北京的必到之地． 問題1：水立方的外觀形狀是什么？ 提示：長(zhǎng)方體． 問題2：假如你站在水立方入口處的正前方或在水立方的左側(cè)看水立方，你看到的是什么？ 提示：水立方的一個(gè)側(cè)面． 問題3：若你在水立方的正上方觀察水立方看到什么？ 提示：水立方的一個(gè)表面． 問題4：根據(jù)上述三個(gè)方向觀察到的平面，能否畫出水立方的形狀？ 提示：可以． [導(dǎo)入新知] 三視圖 概念 規(guī)律 正視圖 光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖 一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖高度一樣，正視圖和俯視圖長(zhǎng)度一樣，側(cè)視圖與俯視圖寬度一樣 側(cè)視圖 光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖 俯視圖 光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖 [化解疑難] 1．每個(gè)視圖都反映物體兩個(gè)方向上的尺寸．正視圖反映物體的上下和左右尺寸，俯視圖反映物體的前后和左右尺寸，側(cè)視圖反映物體的前后和上下尺寸． 2．畫幾何體的三視圖時(shí)，能看見的輪廓線和棱用實(shí)線表示，看不見的輪廓線和棱用虛線表示． 中心投影與平行投影 [例1]　下列說法中： ①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)； ②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線； ③兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線． 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [解析]　 序號(hào) 正誤 原因分析 ① √ 由平行投影和中心投影的定義可知 ② × 空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線可能變成直線，也可能變成一個(gè)點(diǎn)，如當(dāng)投影中心在直線上時(shí)，投影為點(diǎn)；平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來越近，最后相交于一點(diǎn) ③ × 兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線 [答案]　B [類題通法] 1．判定幾何體投影形狀的方法： (1)判斷一個(gè)幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投影，投影面的位置如何，再根據(jù)平行投影或中心投影的性質(zhì)來判斷． (2)對(duì)于平行投影，當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投影線時(shí)，平行投影具有以下性質(zhì)： ①直線或線段的投影仍是直線或線段； ②平行直線的投影平行或重合； ③平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)； ④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等； ⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比． 2．畫出一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)、端點(diǎn)等，方法是先畫出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接各投影點(diǎn)即可得此圖形在該平面上的投影． [活學(xué)活用] 1.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是BB1、BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影為(　　) 解析：選A　N在面ADD1A1內(nèi)的投影是AD中點(diǎn)，M在面ADD1A1內(nèi)的投影是AA1中點(diǎn)． 畫空間幾何體的三視圖 [例2]　畫出如右圖所示的四棱錐的三視圖． [解]　幾何體的三視圖如下： [類題通法] 畫三視圖的注意事項(xiàng) (1)務(wù)必做到長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊． (2)三視圖的安排方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯視圖在正視圖的正下方． (3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法． [活學(xué)活用] 2．(2012·湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 解析：選D　對(duì)于選項(xiàng)A，兩個(gè)圓柱符合要求；對(duì)于選項(xiàng)B，一個(gè)圓柱和一個(gè)正四棱柱的組合體符合要求；對(duì)于選項(xiàng)C，一個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱柱和一個(gè)正四棱柱的組合體符合要求；選項(xiàng)D如果可能的話，則這個(gè)空間幾何體是一個(gè)正三棱柱和一個(gè)正四棱柱的組合體，其正視圖中上面矩形的底邊是三棱柱的底面邊長(zhǎng)，但側(cè)視圖中上面矩形的底面邊長(zhǎng)是三棱柱底面三角形的高，故只有選項(xiàng)D中的不可能. 由三視圖還原空間幾何體 [例3]　(1)如圖所示的三視圖表示的幾何體是什么？畫出物體的形狀． (1) (2) (3) [解]　(1)該三視圖表示的是一個(gè)四棱臺(tái)，如圖： (2)由俯視圖可知該幾何體是多面體，結(jié)合正視圖、側(cè)視圖可知該幾何體是正六棱錐．如圖： (3)由于俯視圖有一個(gè)圓和一個(gè)四邊形，則該幾何體是由旋轉(zhuǎn)體和多面體拼接成的組合體，結(jié)合側(cè)視圖和正視圖，可知該幾何體上面是一個(gè)圓柱，下面是一個(gè)四棱柱，所以該幾何體的形狀如圖所示． [類題通法] 由三視圖還原幾何體時(shí)，一般先由俯視圖確定底面，由正視圖與側(cè)視圖確定幾何體的高及位置，同時(shí)想象視圖中每一部分對(duì)應(yīng)實(shí)物部分的形狀． [活學(xué)活用] 3．根據(jù)圖中的物體的三視圖，畫出物體的形狀． (1) (2) 解：(1)由三視圖可知，下面為棱柱、上面為正方體，故表示物體的實(shí)物圖形如圖． (2)由三視圖可知，上面為半球，下面為三棱柱，如圖． 　　　　　　　　 　　　　 [典例]　某幾何體及其俯視圖如圖所示，下列關(guān)于該幾何體正視圖和側(cè)視圖的畫法正確的是(　　) [解析]　該幾何體是由圓柱切割而得，由俯視圖可知正視方向和側(cè)視方向，進(jìn)一步可畫出正視圖和側(cè)視圖(如圖所示)，故選A. [答案]　A [易錯(cuò)防范] 1．易忽視組合體的結(jié)構(gòu)特征是由圓柱切割而得到和正視方向與側(cè)視方向的判斷而出錯(cuò)． 2．三種視圖中，可見的輪廓線都畫成實(shí)線，存在但不可見的輪廓線一定要畫出，但要畫成虛線．畫三視圖時(shí)，一定要分清可見輪廓線與不可見輪廓線，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤． [成功破障] 沿圓柱體上底面直徑截去一部分后的物體如圖所示，它的俯視圖是(　　) 解析：選D　從上面看依然可得到兩個(gè)半圓的組合圖形，注意看得到的棱畫實(shí)線． [隨堂即時(shí)演練] 1．(2012·福建高考)一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是(　　) A．球　　　　　　　　　　 B．三棱錐 C．正方體 D．圓柱 解析：選D　球的三視圖都是圓；三棱錐的三視圖可以都是全等的三角形；正方體的三視圖都是正方形；圓柱的底面放置在水平面上，則其俯視圖是圓，正視圖是矩形，故應(yīng)選D. 2．以下關(guān)于投影的敘述不正確的是(　　) A．手影就是一種投影 B．中心投影的投影線相交于點(diǎn)光源 C．斜投影的投影線不平行 D．正投影的投影線和投影面垂直 解析：選C　平行投影的投影線互相平行，分為正投影和斜投影兩種，故C錯(cuò)． 3．下圖中三視圖所表示幾何體的名稱為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體為圓柱，且圓柱的底面在正前面． 答案：圓柱 4．直線的平行投影可能是________． 答案：直線或點(diǎn) 5．畫出如圖所示幾何體的三視圖． 解：圖①為正六棱柱，可按棱柱的畫法畫出；圖②為一個(gè)圓錐與一個(gè)圓臺(tái)的組合體，按圓錐、圓臺(tái)的三視圖畫出它們的組合形狀．三視圖如圖所示． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．下列說法正確的是(　　) A．矩形的平行投影一定是矩形 B．梯形的平行投影一定是梯形 C．兩條相交直線的平行投影可能平行 D．若一條線段的平行投影是一條線段，則中點(diǎn)的平行投影仍為這條線段投影的中點(diǎn) 解析：選D　對(duì)于A，矩形的平行投影可以是線段、矩形、平行四邊形，主要與矩形的放置及投影面的位置有關(guān)；同理，對(duì)于B，梯形的平行投影可以是梯形或線段；對(duì)于C，平行投影把兩條相交直線投射成兩條相交直線或一條直線；D正確． 2．四個(gè)直立在地面上的字母廣告牌在不同情況下，在地面上的投影(陰影部分)效果如圖，則在字母L，K，C的投影中，與字母N屬同一種投影的有(　　) 解析：選A　N和L，K屬中心投影，C屬平行投影． 3．(2011·江西高考)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選D　被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，它們?cè)谟覀?cè)面上的投影與右側(cè)面(長(zhǎng)方形)的兩條邊重合，另一條為體對(duì)角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合，對(duì)照各圖可知選D. 4．如圖所示，在這4個(gè)幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 解析：選D?、僬襟w的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是正方形； ②圓錐的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為：三角形、三角形、圓及圓心； ③三棱臺(tái)的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為：梯形、梯形(兩梯形不同)、三角形(內(nèi)外兩個(gè)三角形，且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)相連)； ④正四棱錐的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為：三角形、三角形、正方形及中心． 5．(2012·陜西高考)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為(　　) 解析：選B　左視圖中能夠看到線段AD1，畫為實(shí)線，看不到線段B1C，畫為虛線，而且AD1與B1C不平行，投影為相交線． 二、填空題 6．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是由(簡(jiǎn)單幾何體)________與________組成的． 解析：由三視圖可得，幾何體為一四棱臺(tái)和長(zhǎng)方體的組合體． 答案：四棱臺(tái)　長(zhǎng)方體 7．如圖甲所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖乙中的________． 解析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是圖乙(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是圖乙(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是圖乙(3)． 答案：(1)(2)(3) 8．兩條平行線在一個(gè)平面內(nèi)的正投影可能是________． ①兩條平行線；②兩個(gè)點(diǎn)；③兩條相交直線；④一條直線和直線外的一點(diǎn)；⑤一條直線． 解析：如圖，在正方體A1B1C1D1­ABCD中，直線A1B1∥C1D1，它們?cè)谄矫鍭BCD內(nèi)的投影為AB，CD，且AB∥CD，故①正確；它們?cè)谄矫鍮CC1B1內(nèi)的正投影是點(diǎn)B1和點(diǎn)C1，故②正確；取A1D1的中點(diǎn)E，B1C1的中點(diǎn)F， 連接EF，則EF∥D1C1且EF與D1C1在平面ABB1A1內(nèi)的投影是同一直線A1B1，故⑤正確，故填①②⑤. 答案：①②⑤ 三、解答題 9．如圖所示，畫出下列組合體的三視圖． 解：三視圖如圖①②所示． 10．某組合體的三視圖如圖所示，試畫圖說明此組合體的結(jié)構(gòu)特征． 解：該三視圖表示的是組合體，如圖所示，是7個(gè)小正方體拼接而成的組合體． 1．2.3　空間幾何體的直觀圖 [提出問題] 美術(shù)與數(shù)學(xué)，一個(gè)屬于藝術(shù)，一個(gè)屬于科學(xué)，看似毫無關(guān)系，但事實(shí)上這兩個(gè)學(xué)科之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，在美術(shù)畫圖中，空間圖形或?qū)嵨镌诋嫲迳袭嫷眉雀挥辛Ⅲw感，又能表達(dá)出各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系． 問題1：在畫實(shí)物圖的平面圖形時(shí)，其中的直角在圖中一定畫成直角嗎？ 提示：為了直觀，不一定． 問題2：正方形、矩形、圓等平面圖形在畫實(shí)物圖時(shí)應(yīng)畫成什么？為什么？ 提示：平行四邊形、扁圓形，為增加直觀性． 問題3：這種作圖方法與在直角坐標(biāo)系中畫平面圖的方法相同嗎？ 提示：不相同． [導(dǎo)入新知] 1．用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的步驟 (1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸， 兩軸 相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面． (2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段． (3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 2．用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟 (1)畫底面，這時(shí)使用平面圖形的斜二測(cè)畫法即可． (2)畫z′軸，z′軸過點(diǎn)O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時(shí)只需要畫側(cè)棱即可)，連線成圖． (3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示． [化解疑難] 1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可． 2．用斜二測(cè)畫法畫直觀圖要掌握水平長(zhǎng)不變，垂線長(zhǎng)減半，直角畫45°(或135°)． 水平放置的平面圖形的直觀圖 [例1]　按圖示的建系方法，畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖． [解]　畫法： (1)在圖(1)中作AG⊥x軸于G，作DH⊥x軸于H. (2)在圖(2)中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在圖(2)中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝GA，H′D′＝HD. (4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖(3))． [類題通法] 1．在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)． 2．畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段． [活學(xué)活用] 1.如圖是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所構(gòu)成的平面圖形，請(qǐng)畫出它的直觀圖． 解：畫法：(1)以AB邊所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O(如圖(1))，畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°(如圖(2))； (2)在圖(2)中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上截取A′B′＝AB；分別過A′，B′作y′軸的平行線，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC；在y′軸上截取O′D′＝OD. (3)連接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去輔助線x′軸和y′軸，便得到平面圖形ABCDE水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖(3))． 空間幾何體的直觀圖 [例2]　用斜二測(cè)畫法畫棱長(zhǎng)為2 cm的正方體ABCD­A′B′C′D′的直觀圖． [解]　畫法：(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)畫底面．以點(diǎn)O為中心，在x軸上取線段MN，使MN＝2 cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1 cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD. (3)畫側(cè)棱．過A、B、C、D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長(zhǎng)的線段AA′、BB′、CC′、DD′. (4)成圖．順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正方體的直觀圖(如圖②)． [類題通法] 畫空間圖形的直觀圖的原則 (1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，并且把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面，再作z′軸與平面x′O′y′垂直． (2)作空間圖形的直觀圖時(shí)平行于x軸的線段畫成平行于x′軸的線段并且長(zhǎng)度不變． (3)平行于y軸的線段畫成平行于y′軸的線段，且線段長(zhǎng)度畫成原來的二分之一． (4)平行于z軸的線段畫成平行于z′軸的線段并且長(zhǎng)度不變． [活學(xué)活用] 2．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖． 解：(1)畫軸．如下圖①，畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)畫底面．由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，它的下部是一個(gè)正四棱臺(tái)，上部是一個(gè)正四棱錐，利用斜二測(cè)畫法畫出底面ABCD，在z軸上截取OO′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度，過O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，利用O′x′與O′y′畫出上底面A′B′C′D′. (3)畫正四棱錐頂點(diǎn)．在Oz上截取點(diǎn)P，使PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度． (4)成圖．連接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖，如下圖②. 直觀圖的還原和計(jì)算問題 [例3]　如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 試畫出原四邊形的形狀，并求原圖形的面積． [解]　如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2. 在過點(diǎn)D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2. 在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2. 連接BC，即得到了原圖形(如圖)． 由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長(zhǎng)度為AD＝2. 所以面積為S＝×2＝5. [類題通法] 由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可． [活學(xué)活用] 3．如圖所示，將水平放置的直觀圖A′B′C′D′還原為平面圖形． 解：(1)如下圖①，在水平放置的直觀圖中延長(zhǎng)D′A′交O′x′軸于點(diǎn)E′. (2)如下圖②，畫互相垂直的軸Ox，Oy，取OE＝O′E′， 過E作EF∥Oy，在EF上截取AE＝2A′E′，DE＝2D′E′，然后分別過A，D作AB∥Ox，DC∥Ox，并使AB＝DC＝A′B′. (3)連接AB，BC，CD，得直觀圖A′B′C′D′的還原圖形． 綜上可知，此水平放置的直觀圖是矩形． 　　　　 [典例]　(2012·溫州高一檢測(cè))一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面積為，則原梯形的面積為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B. C．2 D．4 [解析]　如圖，由斜二測(cè)畫法原理知， 原梯形與直觀圖中的梯形上、下底邊的長(zhǎng)度是一樣的，不一樣的是兩個(gè)梯形的高． 原梯形的高OC是直觀圖中OC′長(zhǎng)度的2倍，OC′的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形的高的倍， 由此知原梯形的高OC的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形高的2倍，故其面積是梯形OA′B′C′面積的2倍，梯形OA′B′C′的面積為，所以原梯形的面積是4. [答案]　D [易錯(cuò)防范] 1．原梯形與直觀圖中梯形上、下底邊的長(zhǎng)度一樣，但高的長(zhǎng)度不一樣．原梯形的高OC是直觀圖中OC′的長(zhǎng)度的2倍，OC′長(zhǎng)度是直觀圖中梯形的高的倍，此處易出錯(cuò)． 2．解答此類問題時(shí)要注意角度的變化以及長(zhǎng)度的變化，直觀圖面積S′與原圖形面積S滿足S′＝S. [成功破障] 如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，B′在x′軸上，A′O′和x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為(　　) A．2　　　　　　　　 B．4 C．2 D．4 解析