新編高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體學(xué)案 新人教A版必修2含答案

新編人教版精品教學(xué)資料 第一章 空間幾何體學(xué)案 新人教A版必修2 1．1空間幾何體的結(jié)構(gòu) 1．1.1　棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征 [提出問題] 觀察下列圖片： 問題1：圖片(1)(2)(3)中的物體的形狀有何特點？ 提示：由若干個平面多邊形圍成． 問題2：圖片(4)(5)(6)(7)的物體的形狀與(1)(2)(3)中有何不同？ 提示：(4)(5)(6)的表面是由平面與曲面圍成，(7)的表面是由曲面圍成的． 問題3：圖片(4)(5)(6)(7)中的幾何體是否可以看作平面圖形繞某定直線旋轉(zhuǎn)而成？ 提示：可以． [導(dǎo)入新知] 1．空間幾何體 概念 定義 空間幾何體 在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分．如果我們只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體 多面體 由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點 旋轉(zhuǎn)體 由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸 2．多面體 多面體 定義 圖形及表示 相關(guān)概念 棱柱 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱 如圖可記作：棱柱ABCD－A′B′C′D′ 底面(底)：兩個互相平行的面 側(cè)面：其余各面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點：側(cè)面與底面的公共頂點 棱錐 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐 如圖可記作：棱錐S－ABCD 底面(底)：多邊形面 側(cè)面：有公共頂點的各個三角形面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點：各側(cè)面的公共頂點 棱臺 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺 如圖可記作：棱臺 ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱錐的截面 下底面：原棱錐的底面 側(cè)面：其余各面 側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊 頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點 [化解疑難] 1．對于多面體概念的理解，注意以下兩個方面： (1)多面體是由平面多邊形圍成的，圍成一個多面體至少要四個面．一個多面體由幾個面圍成，就稱為幾面體． (2)多面體是一個“封閉”的幾何體，包括其內(nèi)部的部分． 2．棱柱具有以下結(jié)構(gòu)特征和特點： (1)側(cè)棱互相平行且相等，側(cè)面都是平行四邊形． (2)兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形，如圖a所示． (3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形，如圖b所示． (4)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，如圖c所示． 3．對于棱錐要注意有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，必須強調(diào)其余各面是共頂點的三角形，如圖d所示． 4．棱臺中各側(cè)棱延長后必相交于一點，否則不是棱臺． 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 [例1]　下列關(guān)于棱柱的說法： (1)所有的面都是平行四邊形； (2)每一個面都不會是三角形； (3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行； (4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱． 其中正確說法的序號是________． [解析]　　(1)錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形； (2)錯誤，棱柱的底面可以是三角形； (3)正確，由棱柱的定義易知； (4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以說法正確的序號是(3)(4)． [答案]　(3)(4) [類題通法] 有關(guān)棱柱的結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略 (1)緊扣棱柱的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行有關(guān)概念辨析 ①兩個面互相平行； ②其余各面是四邊形； ③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．求解時，首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征． (2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除． [活學(xué)活用] 1．下列四個命題中，假命題為(　　) A．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形 C．棱柱的兩底面是全等的多邊形 D．棱柱的面中，至少有兩個面互相平行 解析：選A　A錯，正六棱柱的兩個相對的側(cè)面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D是正確的. 棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征 [例2]　下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法： (1)用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺； (2)棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形； (3)棱錐的側(cè)面只能是三角形； (4)由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐； (5)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐，其中正確說法的序號是________． [解析]　　(1)錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺； (2)正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形； (3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形； (4)正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐； (5)錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐． [答案]　(2)(3)(4) [類題通法] 判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法 (1)舉反例法： 結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確． (2)直接法： 棱錐 棱臺 定底面 只有一個面是多邊形，此面即為底面 兩個互相平行的面，即為底面 看側(cè)棱 相交于一點 延長后相交于一點 [活學(xué)活用] 2．試判斷下列說法正確與否： ①由六個面圍成的封閉圖形只能是五棱錐； ②兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺． 解：①不正確，由六個面圍成的封閉圖形有可能是四棱柱；②不正確，兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體．側(cè)棱不一定相交于一點，所以不一定是棱臺. 多面體的平面展開圖 [例3]　如圖是三個幾何體的側(cè)面展開圖，請問各是什么幾何體？ [解]　由幾何體的側(cè)面展開圖的特點，結(jié)合棱柱，棱錐，棱臺的定義，可把側(cè)面展開圖還原為原幾何體，如圖所示： 所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺． [類題通法] 1．解答此類問題要結(jié)合多面體的結(jié)構(gòu)特征發(fā)揮空間想象能力和動手能力． 2．若給出多面體畫其展開圖時，常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面． 3．若是給出表面展開圖，則可把上述程序逆推． [活學(xué)活用] 3.水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的表面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是(　　) A．1　　　　　　　　　 　B．2 C．快 D．樂 解析：選B　由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，1與樂相對，2與2相對，0與快相對，所以下面是2. 　　　　 [典例]　如圖所示，幾何體的正確說法的序號為________． (1)這是一個六面體；(2)這是一個四棱臺；(3)這是一個四棱柱；(4)此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到；(5)此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到． [解析]　(1)正確，因為有六個面，屬于六面體的范圍； (2)錯誤，因為側(cè)棱的延長線不能交于一點，所以不正確； (3)正確，如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱； (4)(5)都正確，如圖所示． [易錯防范] 1．解答過程中易忽視側(cè)棱的延長線不能交于一點，直觀感覺是棱臺，而不注意邏輯推理． 2．解答空間幾何體概念的判斷題時，要注意緊扣定義，切忌只憑圖形主觀臆斷． [成功破障] 如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是(　　) A．棱柱　　　　　　　　　　　　 B．棱臺 C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定 解析：選A　如圖 ∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C， ∴有水的部分始終有兩個平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形(水面與兩平行平面的交線)因此呈棱柱形狀． [隨堂即時演練] 1．下列幾何體中棱柱有(　　) A．5個　　　　　　　　　 B．4個 C．3個 D．2個 解析：選D　由棱柱定義知，①③為棱柱． 2．下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是(　　) 解析：選D　A、B、C中底面邊數(shù)與側(cè)面?zhèn)€數(shù)不一致，故不能圍成棱柱． 3．棱錐最少有________個面． 答案：4 4．下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，________是棱臺(僅填相應(yīng)序號)． 答案：①③④?、蕖、? 5．(1)三棱錐、四棱錐、十五棱錐分別有多少條棱？多少個面？ (2)有沒有一個多棱錐，其棱數(shù)是2 012？若有，求出有多少個面；若沒有，說明理由． 解：(1)三棱錐有6條棱、4個面；四棱錐有8條棱、5個面；十五棱錐有30條棱、16個面． (2)設(shè)n棱錐的棱數(shù)是2 012，則2n＝2012，所以n＝1 006，1 006棱錐的棱數(shù)是2 012，它有1 007個面． [課時達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．下列圖形中，不是三棱柱的展開圖的是(　　) 答案：C 2．有兩個面平行的多面體不可能是(　　) A．棱柱 B．棱錐 C．棱臺 D．以上都錯 解析：選B　棱柱、棱臺的上、下底面是平行的，而棱錐的任意兩面均不平行． 3．關(guān)于棱柱，下列說法正確的是(　　) A．只有兩個面平行 B．所有的棱都相等 C．所有的面都是平行四邊形 D．兩底面平行，側(cè)棱也互相平行 解析：選D　對于A，如正方體可以有六個面平行，故A錯；對于B，如長方體并不是所有的棱都相等，故B錯；對于C，如三棱柱的底面是三角形，故C錯；對于D，由棱柱的概念，知兩底面平行，側(cè)棱也互相平行．故選D. 4．(2011·廣東高考)正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有(　　) A．20 B．15 C．12 D．10 解析：選D　從正五棱柱的上底面1個頂點與下底面不與此點在同一側(cè)面上的兩個頂點相連可得2條對角線，故共有5×2＝10條對角線． 5．下列命題中正確的是(　　) A．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺 B．兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺 C．棱臺的底面是兩個相似的正方形 D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點 解析：選D　A中的平面不一定平行于底面，故A錯；B中側(cè)棱不一定交于一點；C中底面不一定是正方形． 二、填空題 6．面數(shù)最少的棱柱為________棱柱，共有________個面圍成． 解析：棱柱有相互平行的兩個底面，其側(cè)面至少有3個，故面數(shù)最少的棱柱為三棱柱，共有五個面圍成． 答案：三　5 7.如圖，M是棱長為2 cm的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點，沿正方體表面從點A到點M的最短路程是________ cm. 解析：由題意，若以BC為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2 cm,3 cm，故兩點之間的距離是 cm.若以BB1為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1,4，故兩點之間的距離是 cm. 故沿正方體表面從點A到點M的最短路程是 cm. 答案： 8．側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． 側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． 底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱． 底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體． 側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體． 底面是矩形的直平行六面體叫做長方體． 棱長都相等的長方體叫做正方體． 請根據(jù)上述定義，回答下面的問題： (1)直四棱柱________是長方體； (2)正四棱柱________是正方體．(填“一定”、“不一定”、“一定不”) 解析：根據(jù)上述定義知：長方體一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是長方體；正方體一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方體． 答案：(1)不一定　(2)不一定 三、解答題 9．觀察下列四張圖片，結(jié)合所學(xué)知識說出這四個建筑物主要的結(jié)構(gòu)特征． 解：(1)是上海世博會中國館，其主體結(jié)構(gòu)是四棱臺． (2)是法國盧浮宮，其主體結(jié)構(gòu)是四棱錐． (3)是國家游泳中心“水立方”，其主體結(jié)構(gòu)是四棱柱． (4)是美國五角大樓，其主體結(jié)構(gòu)是五棱柱． 10．(2011·山東高考改編)給出兩塊正三角形紙片(如圖所示)，要求將其中一塊剪拼成一個底面為正三角形的三棱錐模型，另一塊剪拼成一個底面是正三角形的三棱柱模型，請設(shè)計一種剪拼方案，分別用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡要說明． 解：如圖(1)所示，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個底面為正三角形的三棱錐． 如圖(2)所示，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角，余下部分按虛線折成，可成為一個缺上底的底面為正三角形的三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個底面為正三角形的棱柱的上底． 1．1.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征　簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征 旋轉(zhuǎn)體 [提出問題] 如圖，給出下列實物圖． 問題1：上述三個實物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？ 提示：它們不是由平面多邊形圍成的． 問題2：上述實物圖抽象出的幾何體中的曲面能否以某平面圖形旋轉(zhuǎn)而成？ 提示：可以． 問題3：如何形成上述幾何體的曲面？ 提示：可將半圓、直角梯形、直角三角形繞一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)而成． [導(dǎo)入新知] 旋轉(zhuǎn)體 結(jié)構(gòu)特征 圖形 表示 圓柱 以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線 我們用表示圓柱軸的字母表示圓柱，左圖可表示為圓柱OO′ 圓錐 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐 我們用表示圓錐軸的字母表示圓錐，左圖可表示為圓錐SO 圓臺 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺 我們用表示圓臺軸的字母表示圓臺，左圖可表示為圓臺OO′ 球 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球．半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑 球常用球心字母進(jìn)行表示，左圖可表示為球O [化解疑難] 1．以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)成的曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐． 2．球與球面是完全不同的兩個概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分． 3．圓臺也可以看作是等腰梯形以其底邊的中線所在的直線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體. 簡單組合體 [提出問題] 中國首個空間實驗室“天宮一號”于2011年9月29日16分成功發(fā)射升空，并與當(dāng)年11月與“神舟八號”實現(xiàn)無人空間對接，下圖為天宮一號目標(biāo)飛行器的結(jié)構(gòu)示意圖． 其主體結(jié)構(gòu)如圖所示： 問題1：該幾何體由幾個幾何體組合而成？ 提示：4個． 問題2：圖中標(biāo)注的①②③④部分分別為什么幾何體？ 提示：①為圓臺，②為圓柱，③為圓臺，④為圓柱． [導(dǎo)入新知] 1．簡單組合體的概念 由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體． 2．簡單組合體的構(gòu)成形式 有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的． [化解疑難] 簡單組合體識別的要求 (1)準(zhǔn)確理解簡單幾何體(柱、錐、臺、球)的結(jié)構(gòu)特征． (2)正確掌握簡單組合體構(gòu)成的兩種基本形式． (3)若用分割的方法，則需要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線(或面)． 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 [例1]　給出下列說法：(1)以直角三角形的一條邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；(2)以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；(3)經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形；(4)圓錐側(cè)面的母線長有可能大于圓錐底面圓直徑，其中正確說法的序號是________． [解析]　　(1)不正確，因為當(dāng)直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體就不是圓錐，而是兩個同底圓錐的組合體； (2)正確，以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐； (3)正確，如圖所示，經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形； (4)正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線長有可能大于圓錐底面圓半徑的2倍(即直徑)． [答案]　(2)(3)(4) [類題通法] 1．判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法 (1)明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成． (2)明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線． 2．簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用 (1)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量． (2)在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想． [活學(xué)活用] 1．給出下列說法：(1)圓柱的底面是圓面；(2)經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；(3)圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交；(4)夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體．其中說法正確的是________． 解析：(1)正確，圓柱的底面是圓面； (2)正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面； (3)不正確，圓臺的母線延長相交于一點； (4)不正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體． 答案：(1)(2) 簡單組合體 [例2]　觀察下列幾何體的結(jié)構(gòu)特點，完成以下問題： (1)圖①所示幾何體是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的？試畫出幾何圖形，可旋轉(zhuǎn)該圖形180°后得到幾何體①； (2)圖②所示幾何體結(jié)構(gòu)特點是什么？試畫出幾何圖形，可旋轉(zhuǎn)該圖形360°得到幾何體②； (3)圖③所示幾何體是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的？并說明該幾何體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)． [解析]　　(1)圖①是由圓錐和圓臺組合而成． 可旋轉(zhuǎn)如下圖形180°得到幾何體①. (2)圖②是由一個圓臺，從上而下挖去一個圓錐，且圓錐的頂點恰為圓臺底面圓的圓心． 可旋轉(zhuǎn)如下圖形360°得到幾何體②. (3)圖③是由一個四棱錐與一個四棱柱組合而成，且四棱錐的底面與四棱柱底面相同． 共有9個面，9個頂點，16條棱． [類題通法] 1．明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，必要時也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點數(shù)，如圖③所示的組合體有9個面，9個頂點，16條棱． 2．會識別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力． [活學(xué)活用] 2．下列組合體是由哪些幾何體組成的？ 解：(1)由兩個幾何體組合而成，分別為球、圓柱． (2)由三個幾何體組合而成，分別為圓柱、圓臺、圓柱． (3)由三個幾何體組合而成，分別為圓錐、圓柱、圓臺． 　　　　 [典例]　如圖，四邊形ABCD為直角梯形，試作出繞其各條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體． [解題流程] 以邊AD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)―→ 以邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)―→ 以邊CD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)―→ 以邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) [規(guī)范解答] 以邊AD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體是圓臺，如圖(1)所示． 以邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體是一個圓錐和一個圓柱拼接而成的幾何體，如圖(2)所示． 以邊CD所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體是一個圓柱挖掉一個圓錐構(gòu)成的幾何體，如圖(3)所示． 以邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體是由一個圓臺挖掉一個圓錐構(gòu)成的幾何體和一個圓錐拼接而成，如圖(4)所示． [活學(xué)活用] 一個有30°角的直角三角板繞其各條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是圓錐嗎？如果以斜邊上的高所在的直線 為軸旋轉(zhuǎn)180°得到什么幾何體？旋轉(zhuǎn)360°又得到什么幾何體？ 解：如圖(1)和(2)所示，繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體是圓錐． 如圖(3)所示，繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是兩個同底相對的圓錐． 如圖(4)所示，繞其斜邊上的高所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°圍成的幾何體是兩個半圓錐，旋轉(zhuǎn)360°圍成的幾何體是一個圓錐． [隨堂即時演練] 1．(2012·臨海高一檢測)圓錐的母線有(　　) A．1條　　　　　　　　　　 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條 答案：D 2.右圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(　　) 解析：選A　圖中幾何體由圓錐、圓臺組合而成，可由A中圖形繞圖中虛線旋轉(zhuǎn)360°得到． 3．等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°，所得幾何體是________． 答案：圓錐 4．如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征為________． 解析：該組合體上面是一個四棱錐，下面是一個四棱柱，因此該組合體的結(jié)構(gòu)特征是四棱錐和四棱柱的一個組合體． 答案：一個四棱錐和一個四棱柱的組合體 5.如圖，AB為圓弧BC所在圓的直徑，∠BAC＝45°.將這個平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個組合體，試說明這個組合體的結(jié)構(gòu)特征． 解：如圖所示，這個組合體是由一個圓錐和一個半球體拼接而成的． [課時達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．下列命題中正確的是(　　) ①圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個； ②圓柱的所有平行于底面的截面都是圓； ③圓臺的兩個底面可以不平行． A．①② B．② C．②③ D．①③ 解析：選B　①中當(dāng)圓錐過頂點的軸截面頂角大于90°時，其面積不是最大的；③圓臺的兩個底面一定平行．故①③錯誤． 2．將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括(　　) A．一個圓臺、兩個圓錐 B．兩個圓臺、一個圓柱 C．兩個圓柱、一個圓臺 D．一個圓柱、兩個圓錐 解析：選D　從較短的底邊的端點向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個直角三角形，一個矩形，所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個圓柱，兩個圓錐所組成的幾何體，如圖： 3．以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是(　　) A．兩個圓錐拼接而成的組合體 B．一個圓臺 C．一個圓錐 D．一個圓錐挖去一個同底的小圓錐 解析：選D　如圖以AB為軸所得的幾何體是一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐． 4．下列敘述中正確的個數(shù)是(　　) ①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面； ④用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選B?、僦袘?yīng)以直角三角形的直角邊所在直線為軸，②中應(yīng)以直角梯形中的直角腰所在直線為軸，④中應(yīng)用平行于底面的平面去截，③正確． 5.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是(　　) A．該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體 B．該幾何體有12條棱、6個頂點 C．該幾何體有8個面，并且各面均為三角形 D．該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形 解析：選D　該幾何體用平面ABCD可分割成兩個四棱錐，因此它是這兩個四棱錐的組合體，因而四邊形ABCD是它的一個截面而不是一個面． 二、填空題 6．下列7種幾何體： (1)柱體有________； (2)錐體有________； (3)球有__________； (4)棱柱有________； (5)圓柱有________； (6)棱錐有________； (7)圓錐有________． 解析：由柱、錐、臺及球的結(jié)構(gòu)特點易于分析，柱體有a、d、e、f；錐體有b、g；球有c；棱柱有d、e、f；圓柱有a；棱錐為g；圓錐為b. 答案：(1)a、d、e、f　(2)b、g　(3)c (4)d、e、f　(5)a　(6)g　(7)b 7．下面這個幾何體的結(jié)構(gòu)特征是___________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析：根據(jù)圖形可知此幾何體是由一個四棱錐、一個四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一個圓柱而成． 答案：由一個四棱錐、一個四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一個圓柱而成 8．如圖是一個幾何體的表面展成的平面圖形，則這個幾何體是________． 答案：圓柱 三、解答題 9．指出如圖(1)(2)所示的圖形是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的． 解：分割原圖，使它的每一部分都是簡單幾何體． 圖(1)是由一個三棱柱和一個四棱柱拼接而成的簡單組合體． 圖(2)是由一個圓錐和一個四棱柱拼接而成的簡單組合體． 10.如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的半徑分別為2 cm和5 cm，圓臺的母線長是12 cm，求圓錐SO的母線長． 解：如圖，過圓臺的軸作截面，截面為等腰梯形ABCD，由已知可得上底半徑O1A＝2 cm，下底半徑OB＝5 cm，且腰長AB＝12 cm.設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l，則由△SAO1∽△SBO，可得＝，所以l＝20 cm，即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm. 1．2空間幾何體的三視圖和直觀圖 1．2.1 & 1.2.2　中心投影與平行投影　空間幾何體的三視圖 中心投影與平行投影 [提出問題] 15年之后，《泰坦尼克號》再次被搬上了熒屏，而這次的宣傳噱頭則是3D.《泰坦尼克號3D》讓觀眾在明知下一步劇情發(fā)展的情況下，仍然會因為發(fā)生在“眼前”的真實愛情悲歌熱淚盈眶．從右圖中我們可以清楚看到3D電影是怎么一回事：兩個投影機會從不同的方向錯開一定距離，把畫面中有距離區(qū)別的部分投射到熒幕上．而觀眾所佩戴的3D眼鏡也會選擇不同的光線進(jìn)入左右眼，這樣你就能看到物體“前于畫面”或“后于畫面”的視覺假象了． 電影的播放實質(zhì)是利用了小孔成像原理，而太陽光下地面上人的影子是陽光照射到人后留下的影像． 放電影和太陽光照射成影像都具備光線、不透明物體和投影面這些相同的條件． 問題1：放電影成像與太陽光成像原理一樣嗎？ 提示：不一樣． 問題2：電影成像中的光線有何特點？ 提示：光是由一點向外散射． 問題3：太陽光照人成影像的光線又有何特點？ 提示：一束平行光線． [導(dǎo)入新知] 1．投影的定義 由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影．其中，把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面． 2．中心投影與平行投影 投影 定義 特征 分類 中心投影 光由一點向外散射形成的投影 投影線交于一點 平行投影 在一束平行光線照射下形成的投影 投影線互相平行 正投影和斜投影 [化解疑難] 平行投影和中心投影都是空間圖形的一種畫法，但二者又有區(qū)別 (1)中心投影的投影線交于一點，平行投影的投影線互相平行． (2)平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個平面圖形的形狀和大小完全相同；而中心投影則不同． 三 視 圖 [提出問題] 如夢似幻！——這是無數(shù)來自全世界的游客對國家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安門、故宮、長城等北京標(biāo)志性建筑一樣，“水立方”成了游客在北京的必到之地． 問題1：水立方的外觀形狀是什么？ 提示：長方體． 問題2：假如你站在水立方入口處的正前方或在水立方的左側(cè)看水立方，你看到的是什么？ 提示：水立方的一個側(cè)面． 問題3：若你在水立方的正上方觀察水立方看到什么？ 提示：水立方的一個表面． 問題4：根據(jù)上述三個方向觀察到的平面，能否畫出水立方的形狀？ 提示：可以． [導(dǎo)入新知] 三視圖 概念 規(guī)律 正視圖 光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖 一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖高度一樣，正視圖和俯視圖長度一樣，側(cè)視圖與俯視圖寬度一樣 側(cè)視圖 光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖 俯視圖 光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖 [化解疑難] 1．每個視圖都反映物體兩個方向上的尺寸．正視圖反映物體的上下和左右尺寸，俯視圖反映物體的前后和左右尺寸，側(cè)視圖反映物體的前后和上下尺寸． 2．畫幾何體的三視圖時，能看見的輪廓線和棱用實線表示，看不見的輪廓線和棱用虛線表示． 中心投影與平行投影 [例1]　下列說法中： ①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點； ②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線； ③兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線． 其中正確的個數(shù)為(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [解析]　 序號 正誤 原因分析 ① √ 由平行投影和中心投影的定義可知 ② × 空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線可能變成直線，也可能變成一個點，如當(dāng)投影中心在直線上時，投影為點；平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來越近，最后相交于一點 ③ × 兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線 [答案]　B [類題通法] 1．判定幾何體投影形狀的方法： (1)判斷一個幾何體的投影是什么圖形，先分清楚是平行投影還是中心投影，投影面的位置如何，再根據(jù)平行投影或中心投影的性質(zhì)來判斷． (2)對于平行投影，當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投影線時，平行投影具有以下性質(zhì)： ①直線或線段的投影仍是直線或線段； ②平行直線的投影平行或重合； ③平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長； ④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等； ⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比． 2．畫出一個圖形在一個平面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點，如頂點、端點等，方法是先畫出這些關(guān)鍵點的投影，再依次連接各投影點即可得此圖形在該平面上的投影． [活學(xué)活用] 1.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是BB1、BC的中點，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影為(　　) 解析：選A　N在面ADD1A1內(nèi)的投影是AD中點，M在面ADD1A1內(nèi)的投影是AA1中點． 畫空間幾何體的三視圖 [例2]　畫出如右圖所示的四棱錐的三視圖． [解]　幾何體的三視圖如下： [類題通法] 畫三視圖的注意事項 (1)務(wù)必做到長對正，寬相等，高平齊． (2)三視圖的安排方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯視圖在正視圖的正下方． (3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法． [活學(xué)活用] 2．(2012·湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 解析：選D　對于選項A，兩個圓柱符合要求；對于選項B，一個圓柱和一個正四棱柱的組合體符合要求；對于選項C，一個底面為等腰直角三角形的三棱柱和一個正四棱柱的組合體符合要求；選項D如果可能的話，則這個空間幾何體是一個正三棱柱和一個正四棱柱的組合體，其正視圖中上面矩形的底邊是三棱柱的底面邊長，但側(cè)視圖中上面矩形的底面邊長是三棱柱底面三角形的高，故只有選項D中的不可能. 由三視圖還原空間幾何體 [例3]　(1)如圖所示的三視圖表示的幾何體是什么？畫出物體的形狀． (1) (2) (3) [解]　(1)該三視圖表示的是一個四棱臺，如圖： (2)由俯視圖可知該幾何體是多面體，結(jié)合正視圖、側(cè)視圖可知該幾何體是正六棱錐．如圖： (3)由于俯視圖有一個圓和一個四邊形，則該幾何體是由旋轉(zhuǎn)體和多面體拼接成的組合體，結(jié)合側(cè)視圖和正視圖，可知該幾何體上面是一個圓柱，下面是一個四棱柱，所以該幾何體的形狀如圖所示． [類題通法] 由三視圖還原幾何體時，一般先由俯視圖確定底面，由正視圖與側(cè)視圖確定幾何體的高及位置，同時想象視圖中每一部分對應(yīng)實物部分的形狀． [活學(xué)活用] 3．根據(jù)圖中的物體的三視圖，畫出物體的形狀． (1) (2) 解：(1)由三視圖可知，下面為棱柱、上面為正方體，故表示物體的實物圖形如圖． (2)由三視圖可知，上面為半球，下面為三棱柱，如圖． 　　　　　　　　 　　　　 [典例]　某幾何體及其俯視圖如圖所示，下列關(guān)于該幾何體正視圖和側(cè)視圖的畫法正確的是(　　) [解析]　該幾何體是由圓柱切割而得，由俯視圖可知正視方向和側(cè)視方向，進(jìn)一步可畫出正視圖和側(cè)視圖(如圖所示)，故選A. [答案]　A [易錯防范] 1．易忽視組合體的結(jié)構(gòu)特征是由圓柱切割而得到和正視方向與側(cè)視方向的判斷而出錯． 2．三種視圖中，可見的輪廓線都畫成實線，存在但不可見的輪廓線一定要畫出，但要畫成虛線．畫三視圖時，一定要分清可見輪廓線與不可見輪廓線，避免出現(xiàn)錯誤． [成功破障] 沿圓柱體上底面直徑截去一部分后的物體如圖所示，它的俯視圖是(　　) 解析：選D　從上面看依然可得到兩個半圓的組合圖形，注意看得到的棱畫實線． [隨堂即時演練] 1．(2012·福建高考)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是(　　) A．球　　　　　　　　　　 B．三棱錐 C．正方體 D．圓柱 解析：選D　球的三視圖都是圓；三棱錐的三視圖可以都是全等的三角形；正方體的三視圖都是正方形；圓柱的底面放置在水平面上，則其俯視圖是圓，正視圖是矩形，故應(yīng)選D. 2．以下關(guān)于投影的敘述不正確的是(　　) A．手影就是一種投影 B．中心投影的投影線相交于點光源 C．斜投影的投影線不平行 D．正投影的投影線和投影面垂直 解析：選C　平行投影的投影線互相平行，分為正投影和斜投影兩種，故C錯． 3．下圖中三視圖所表示幾何體的名稱為________． 解析：由三視圖可知，該幾何體為圓柱，且圓柱的底面在正前面． 答案：圓柱 4．直線的平行投影可能是________． 答案：直線或點 5．畫出如圖所示幾何體的三視圖． 解：圖①為正六棱柱，可按棱柱的畫法畫出；圖②為一個圓錐與一個圓臺的組合體，按圓錐、圓臺的三視圖畫出它們的組合形狀．三視圖如圖所示． [課時達(dá)標(biāo)檢測] 一、選擇題 1．下列說法正確的是(　　) A．矩形的平行投影一定是矩形 B．梯形的平行投影一定是梯形 C．兩條相交直線的平行投影可能平行 D．若一條線段的平行投影是一條線段，則中點的平行投影仍為這條線段投影的中點 解析：選D　對于A，矩形的平行投影可以是線段、矩形、平行四邊形，主要與矩形的放置及投影面的位置有關(guān)；同理，對于B，梯形的平行投影可以是梯形或線段；對于C，平行投影把兩條相交直線投射成兩條相交直線或一條直線；D正確． 2．四個直立在地面上的字母廣告牌在不同情況下，在地面上的投影(陰影部分)效果如圖，則在字母L，K，C的投影中，與字母N屬同一種投影的有(　　) 解析：選A　N和L，K屬中心投影，C屬平行投影． 3．(2011·江西高考)將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選D　被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為長方體的面對角線，它們在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面(長方形)的兩條邊重合，另一條為體對角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對角線重合，對照各圖可知選D. 4．如圖所示，在這4個幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 解析：選D?、僬襟w的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是正方形； ②圓錐的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為：三角形、三角形、圓及圓心； ③三棱臺的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為：梯形、梯形(兩梯形不同)、三角形(內(nèi)外兩個三角形，且對應(yīng)頂點相連)； ④正四棱錐的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次為：三角形、三角形、正方形及中心． 5．(2012·陜西高考)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為(　　) 解析：選B　左視圖中能夠看到線段AD1，畫為實線，看不到線段B1C，畫為虛線，而且AD1與B1C不平行，投影為相交線． 二、填空題 6．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是由(簡單幾何體)________與________組成的． 解析：由三視圖可得，幾何體為一四棱臺和長方體的組合體． 答案：四棱臺　長方體 7．如圖甲所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，C1D1的中點，G是正方形BCC1B1的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影可能是圖乙中的________． 解析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是圖乙(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是圖乙(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是圖乙(3)． 答案：(1)(2)(3) 8．兩條平行線在一個平面內(nèi)的正投影可能是________． ①兩條平行線；②兩個點；③兩條相交直線；④一條直線和直線外的一點；⑤一條直線． 解析：如圖，在正方體A1B1C1D1­ABCD中，直線A1B1∥C1D1，它們在平面ABCD內(nèi)的投影為AB，CD，且AB∥CD，故①正確；它們在平面BCC1B1內(nèi)的正投影是點B1和點C1，故②正確；取A1D1的中點E，B1C1的中點F， 連接EF，則EF∥D1C1且EF與D1C1在平面ABB1A1內(nèi)的投影是同一直線A1B1，故⑤正確，故填①②⑤. 答案：①②⑤ 三、解答題 9．如圖所示，畫出下列組合體的三視圖． 解：三視圖如圖①②所示． 10．某組合體的三視圖如圖所示，試畫圖說明此組合體的結(jié)構(gòu)特征． 解：該三視圖表示的是組合體，如圖所示，是7個小正方體拼接而成的組合體． 1．2.3　空間幾何體的直觀圖 [提出問題] 美術(shù)與數(shù)學(xué)，一個屬于藝術(shù)，一個屬于科學(xué)，看似毫無關(guān)系，但事實上這兩個學(xué)科之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，在美術(shù)畫圖中，空間圖形或?qū)嵨镌诋嫲迳袭嫷眉雀挥辛Ⅲw感，又能表達(dá)出各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系． 問題1：在畫實物圖的平面圖形時，其中的直角在圖中一定畫成直角嗎？ 提示：為了直觀，不一定． 問題2：正方形、矩形、圓等平面圖形在畫實物圖時應(yīng)畫成什么？為什么？ 提示：平行四邊形、扁圓形，為增加直觀性． 問題3：這種作圖方法與在直角坐標(biāo)系中畫平面圖的方法相同嗎？ 提示：不相同． [導(dǎo)入新知] 1．用斜二測畫法畫平面圖形的步驟 (1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸和y′軸， 兩軸 相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面． (2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段． (3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 2．用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟 (1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可． (2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出高線(與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側(cè)棱即可)，連線成圖． (3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示． [化解疑難] 1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可． 2．用斜二測畫法畫直觀圖要掌握水平長不變，垂線長減半，直角畫45°(或135°)． 水平放置的平面圖形的直觀圖 [例1]　按圖示的建系方法，畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖． [解]　畫法： (1)在圖(1)中作AG⊥x軸于G，作DH⊥x軸于H. (2)在圖(2)中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在圖(2)中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝GA，H′D′＝HD. (4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖(3))． [類題通法] 1．在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上，以便于畫點． 2．畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段． [活學(xué)活用] 1.如圖是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所構(gòu)成的平面圖形，請畫出它的直觀圖． 解：畫法：(1)以AB邊所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，兩軸相交于點O(如圖(1))，畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°(如圖(2))； (2)在圖(2)中，以O(shè)′為中點，在x′軸上截取A′B′＝AB；分別過A′，B′作y′軸的平行線，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC；在y′軸上截取O′D′＝OD. (3)連接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去輔助線x′軸和y′軸，便得到平面圖形ABCDE水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖(3))． 空間幾何體的直觀圖 [例2]　用斜二測畫法畫棱長為2 cm的正方體ABCD­A′B′C′D′的直觀圖． [解]　畫法：(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)畫底面．以點O為中心，在x軸上取線段MN，使MN＝2 cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1 cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD. (3)畫側(cè)棱．過A、B、C、D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA′、BB′、CC′、DD′. (4)成圖．順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正方體的直觀圖(如圖②)． [類題通法] 畫空間圖形的直觀圖的原則 (1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，并且把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面，再作z′軸與平面x′O′y′垂直． (2)作空間圖形的直觀圖時平行于x軸的線段畫成平行于x′軸的線段并且長度不變． (3)平行于y軸的線段畫成平行于y′軸的線段，且線段長度畫成原來的二分之一． (4)平行于z軸的線段畫成平行于z′軸的線段并且長度不變． [活學(xué)活用] 2．如圖是一個幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖． 解：(1)畫軸．如下圖①，畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)畫底面．由三視圖知該幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個正四棱臺，上部是一個正四棱錐，利用斜二測畫法畫出底面ABCD，在z軸上截取OO′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度，過O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，利用O′x′與O′y′畫出上底面A′B′C′D′. (3)畫正四棱錐頂點．在Oz上截取點P，使PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度． (4)成圖．連接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖，如下圖②. 直觀圖的還原和計算問題 [例3]　如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1. 試畫出原四邊形的形狀，并求原圖形的面積． [解]　如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2. 在過點D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2. 在過點A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2. 連接BC，即得到了原圖形(如圖)． 由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2. 所以面積為S＝×2＝5. [類題通法] 由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可． [活學(xué)活用] 3．如圖所示，將水平放置的直觀圖A′B′C′D′還原為平面圖形． 解：(1)如下圖①，在水平放置的直觀圖中延長D′A′交O′x′軸于點E′. (2)如下圖②，畫互相垂直的軸Ox，Oy，取OE＝O′E′， 過E作EF∥Oy，在EF上截取AE＝2A′E′，DE＝2D′E′，然后分別過A，D作AB∥Ox，DC∥Ox，并使AB＝DC＝A′B′. (3)連接AB，BC，CD，得直觀圖A′B′C′D′的還原圖形． 綜上可知，此水平放置的直觀圖是矩形． 　　　　 [典例]　(2012·溫州高一檢測)一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面積為，則原梯形的面積為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B. C．2 D．4 [解析]　如圖，由斜二測畫法原理知， 原梯形與直觀圖中的梯形上、下底邊的長度是一樣的，不一樣的是兩個梯形的高． 原梯形的高OC是直觀圖中OC′長度的2倍，OC′的長度是直觀圖中梯形的高的倍， 由此知原梯形的高OC的長度是直觀圖中梯形高的2倍，故其面積是梯形OA′B′C′面積的2倍，梯形OA′B′C′的面積為，所以原梯形的面積是4. [答案]　D [易錯防范] 1．原梯形與直觀圖中梯形上、下底邊的長度一樣，但高的長度不一樣．原梯形的高OC是直觀圖中OC′的長度的2倍，OC′長度是直觀圖中梯形的高的倍，此處易出錯． 2．解答此類問題時要注意角度的變化以及長度的變化，直觀圖面積S′與原圖形面積S滿足S′＝S. [成功破障] 如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，B′在x′軸上，A′O′和x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為(　　) A．2　　　　　　　　 B．4 C．2 D．4 解析