【高考復(fù)習(xí)方案2015年高三數(shù)學(xué)（文科）二輪復(fù)習(xí)(浙江省專用) 專題限時(shí)集訓(xùn)12

專題限時(shí)集訓(xùn)(十二) [第12講　空間角] (時(shí)間：5分鐘＋40分鐘) 基礎(chǔ)演練 1．在正方體AC1中，直線AA1與平面AC所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D與BC1所成的角為，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(　　) A．. B． C． D．. 3．如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，那么這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是(　　) A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．大小不確定 4．如圖12­1是某個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，l1，l2是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在正方體中，l1與l2(　　) 圖12­1 A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且夾角為 D．相交且夾角為 提升訓(xùn)練 5．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 6．如圖12­2所示，已知六棱錐P­ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中正確的是(　　) 圖12­2 A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直線BC∥平面PAE D．直線PD與平面ABC所成的角為45° 7．已知正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為(　　) A．. B．. C． D． 8．夾在兩平行平面間的線段AB，CD的長(zhǎng)分別為2和，若AB與這兩個(gè)平行平面所成的角為30°，則CD與這兩個(gè)平行平面所成的角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 9. 如圖12­3所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1­AB­C的大小為________． 圖12­3 10．等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C­AB­D為直二面角，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則EM，AN所成角的余弦值為________． 11．如圖12­4所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是________． 圖12­4 12．在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜邊AB＝4.把Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到Rt△AOC，且二面角B­AO­C是直二面角，動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上． (1)求證：平面COD⊥平面AOB； (2)當(dāng)AD＝DB時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的正切值； (3)求CD與平面AOB所成最大角的正切值． 圖12­5 13．如圖12­6所示，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB＝2AD＝4，BD＝2，PD⊥底面ABCD. (1)證明：平面PBC ⊥平面PBD； (2)若二面角P­BC­D的大小為 ，求AP與平面PBC所成角的正弦值． 圖12­6 14．如圖12­7所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，∠BAA1＝90°， ∠CAA1＝120°，AB＝AC＝AA1＝2，D是棱CC1的中點(diǎn)． (1)求證：AD⊥A1B; (2)求二面角D­A1B­A的正切值． 圖12­7 專題限時(shí)集訓(xùn)(十二) 【基礎(chǔ)演練】 1．D　[解析] AA1⊥平面AC，故所成角為90°. 2．C　[解析] 當(dāng)A1D與BC1所成的角為時(shí)，長(zhǎng)方體為正方體，連接B1D1和 A1C1，交于O點(diǎn)，連接BO，易證A1C1⊥平面BB1D1D，則BC1與平面BB1D1D所成的角就是∠BC1O＝30°，正弦值為. 3．D　[解析] 如果兩個(gè)二面角的棱不平行，其大小沒關(guān)系． 4．D　[解析] 把展開圖還原為直觀圖，則l1，l2是正方體中位于同一個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)面的面對(duì)角線，故一定相交且夾角為. 5．C　[解析] 如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，AD，依題意知三棱柱為正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為AD與平面BB1C1C所成的角．設(shè)各棱長(zhǎng)為1，則AE＝，DE＝，tan∠ADE＝＝＝， ∴∠ADE＝60°. 6．D　[解析] ∵AD與PB在平面ABC內(nèi)的射影AB不垂直，∴A不成立；∵平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴D正確． 7．C　[解析] 根據(jù)已知條件，連接DF，則由DF∥AE可知 ∠DFD1或其補(bǔ)角為異面直線AE與D1F所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則可以求得DF＝D1F＝，DD1＝2，再由余弦定理可得cos∠DFD1＝＝＝. 8．B　[解析] 過A作另一平面的垂線段AO，垂足為O，連接BO，可知∠ABO＝30°，由AB＝2得AO＝1.又因?yàn)閮善矫嫫叫?，所以點(diǎn)C到另一平面的垂線段的長(zhǎng)等于AO的長(zhǎng)，故CD與兩個(gè)平行平面所成的角的正弦值為＝，所以CD與這兩個(gè)平行平面所成的角為45°. 9．45°　[解析] AB⊥BC，AB⊥BC1，則∠C1BC為二面角C1­AB­C的平面角，大小為45°. 10．　[解析] 如圖所示，G為DE的中點(diǎn)，易證四邊形MNGE為平行四邊形，則NG∥EM，∠ANG即為EM，AN所成角．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則AN＝，AG＝，NG＝EM＝，所以cos∠ANG＝＝. 11．90°　[解析] 連接D1M，易得DN⊥A1D1，DN⊥D1M， 所以DN⊥平面A1MD1， 又A1M?平面A1MD1，所以DN⊥A1M，故夾角為90°. 12. 解：(1)證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO， ∴∠BOC是直二面角B­AO­C的平面角， ∴CO⊥BO.又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB. 又CO?平面COD，平面COD⊥平面AOB. (2)作DE⊥OB，垂足為E，連接CE(如圖所示)，則DE∥AO， ∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角． 在Rt△COB中，易得CO＝BO＝2，OE＝BO＝， ∴CE＝＝. 又DE＝AO＝， ∴在Rt△CDE中，tan∠CDE＝＝. ∴異面直線AO與CD所成角的正切值為. (3)由(1)知，CO⊥平面AOB， ∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，且tan∠CDO＝＝. 當(dāng)OD最小時(shí)，∠CDO最大，這時(shí)，OD⊥AB，垂足為D，OD＝＝，tan∠CDO＝， 所以CD與平面AOB所成最大角的正切值為. 13．解： (1)證明：∵CD2＝BC2＋BD2，∴BC⊥BD. 又∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC. 又∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD. 又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD. (2)由(1)知，BC⊥平面PBD ，∴∠PBD即為二面角P­BC­D的平面角，∴∠PBD＝. 又BD＝2，PD⊥BD，∴PD＝2. ∵底面ABCD為平行四邊形，∴DA⊥DB. 分別以DA，DB，DP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)， 則A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，2，0), P(0，0，2)， ∴＝(－2，0，2)，＝(－2，0，0)，＝(0，－2，2)． 設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n＝(a，b，c)，則有即 令b＝1，則c＝－1，∴n＝(0，1，1)， ∴ AP與平面PBC所成角的正弦值為＝＝. 14．解：(1)證明：在平行四邊形AA1C1C中， AC＝AA1＝2，∠CAA1＝120°， 且D是棱CC1的中點(diǎn)， ∴AD⊥AA1. 又∵平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，平面ABB1A1∩平面AA1C1C＝AA1， ∴AD⊥平面ABB1A1. 又A1B?平面ABB1A1，∴AD⊥A1B. (2)過A作AE⊥A1B，垂足為E，連接DE. 由(1)已得AD⊥A1B，∴A1B⊥平面AED， ∴∠AED為二面角D­A1B­A的平面角． 又AE＝，AD＝， ∴在Rt△AED中，tan∠AED＝＝＝， ∴二面角D­A1B­A的正切值是.