【教學(xué)素材】圓錐曲線中“動(dòng)中求定”的八大策略

金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng) “動(dòng)中求定”的八大策略 在解析幾何中常常出現(xiàn)求定點(diǎn)、定值、定向、定線等問題，它已經(jīng)成為當(dāng)前各省高考試題中的熱點(diǎn)，它不但可以考查學(xué)生掌握知識(shí)的水平，更重要的是考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力以及解題方法的創(chuàng)新。而學(xué)生對此陌生的題型往往束手無策，因此筆者利用多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對此類問題加以探究，得出一些行之有效的方法策略供以參考。 策略一：變量分離 解析：對于某些曲線方程隨一個(gè)或兩個(gè)變量變化而變化時(shí)，如果可以把變量與x、y分離，則提出變量后再根據(jù)恒等式的性質(zhì)，即可以解得x、y的值，得到定點(diǎn)的坐標(biāo)。 例1.已知?jiǎng)又本€，求證：點(diǎn)P(-2,2)到該動(dòng)直線的距離。 證明：把直線方程化為：，令， 解得：x=2,y=-2，即動(dòng)直線過定點(diǎn)M（2，-2），連PM，則點(diǎn)P(-2,2)到該動(dòng)直線的距離。 策略二：觀察巧代 解析：利用條件，經(jīng)過觀察分析，只要滿足條件的x,y的值，就是定點(diǎn)的坐標(biāo) 例2．（1）已知實(shí)數(shù)m,n滿足，則動(dòng)直線必過定點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （2）已知實(shí)數(shù)p,q滿足，則動(dòng)直線恒過定點(diǎn)M的坐標(biāo)為 略解：（1）只要令x=2,y=1,即得定點(diǎn)M（2，1）；（2）只要令，則，即得定點(diǎn)M. 策略三：設(shè)參分離 解析：根據(jù)題意，設(shè)立參數(shù)，建立方程，分離參數(shù)，即可以求得定點(diǎn)。 例3．已知拋物線C:，焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)是拋物線C上的三個(gè)點(diǎn)，且滿足試問所在的直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則說明理由． 解：設(shè)，則,因?yàn)椋? 所以，① 因?yàn)?，所以AB的方程：，由①化簡即得： ，令則， 所以直線AB過定點(diǎn)（1，-4） 策略四：巧“特”結(jié)論 解析：有兩種情形：一種利用特殊值探求結(jié)論，再驗(yàn)證其充分性；另一種是也先用特殊值探求結(jié)論，后作一般性探求。 例4.已知橢圓，過左焦點(diǎn)作不垂直與X軸的弦交于橢圓于A、B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交X軸于M點(diǎn)，則 的值為 （ ） A． B. C. D. 解：本題為選擇題，即知此比值為定值，故可用特殊值法。設(shè)AB與X軸重合時(shí)，M就是原點(diǎn)，所以AB長為6，MF的長2，故=，答案為B。如果不用特殊法解，本題就是一個(gè)較難的解答題，同學(xué)們不妨一試，可用極坐標(biāo)方程解較方便，可見在解選擇題時(shí)，特殊值法來判斷和尋找答案優(yōu)為重要。 例5.已知橢圓方程，過點(diǎn)的動(dòng)直線l交該橢圓于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T，若存在求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 解：假設(shè)滿足條件的T存在。 當(dāng)直線l與X軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓方程為； 當(dāng)直線l與Y軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓方程為，以上兩圓方程聯(lián)立解得 即是滿足條件的必要條件。下面證明其充分性： 若存在，對過S點(diǎn)不與坐標(biāo)軸平行的直線設(shè)為，把它代入橢圓方程：，得到：，設(shè)，則有 ，因?yàn)? = ，所以,即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T。其定點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，1）。 例5.已知橢圓上任意一點(diǎn)M,是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，作直線分別交X軸于P,Q兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出定值。 分析：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在長軸的端點(diǎn)時(shí)，則P，Q重合于長軸的端點(diǎn)，因此=。 再作一般證明即可得為定值為。 策略五：設(shè)參消參 解析：為了求得定值，往往需要設(shè)立一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)，如直線的斜率，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等，然后根據(jù)條件，尋求所求的值，最后經(jīng)過消參得到所求的定值。 例6.已知A（1，1）是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且滿足. (1)求橢圓的方程 （2）設(shè)點(diǎn)B、C是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線AB、AC的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線BC的斜率是否為定值？并說明理由。 解：（1）因?yàn)閍=2,把A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得：，所以橢圓方程為：。 （2）由條件可以得到直線AB、AC的斜率存在且不為0，故設(shè)直線AB的方程為，代入橢圓方程得： ，因?yàn)?，所? ┄①，又設(shè)直線BC的方程為， 同理得到： ┄②,， 因此得到：，把①②代入得，所以直線BC的斜率為定值。 策略六：巧用定義 解析：結(jié)合圓錐曲線的定義，在運(yùn)動(dòng)變化中尋求符合定義的不變量。 例7.已知P是雙曲線上不同于頂點(diǎn)的右支上任意一點(diǎn)，是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，試問：三角形的內(nèi)心I是否在一定直線上，若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由。 解：設(shè)三角形的內(nèi)切圓與X軸的切點(diǎn)為M，則由雙曲線的定義及切線長定理可知：，所以M也在雙曲線上，即M為雙曲線右頂點(diǎn)， 又X軸，所以三角形的內(nèi)心I在一定直線上。 例8.以拋物線上任意一點(diǎn)P為圓心，作與Y軸相切的圓，則這些動(dòng)圓必經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為 解：不難求得Y軸是拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可知，這些圓必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，可以求得F(4,-1)，所以這些動(dòng)圓必經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,-1)。 策略七：幾何結(jié)合 解析：有些求定值問題往往可以與平面幾何的一些性質(zhì)相結(jié)合，可以達(dá)到事半功倍的效果，如上面的例7就是運(yùn)用了切線長定理。 例9.已知圓，過原點(diǎn)O的動(dòng)直線交圓于P、Q兩點(diǎn)，則的值為 解：設(shè)OB切于圓于點(diǎn)B,則=. 例10．已知AB是雙曲線過焦點(diǎn)的任意一條弦，以AB為直徑的圓被與相應(yīng)的準(zhǔn)線截得圓弧,求證：的度數(shù)為定值。 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為P，P、A、B到相應(yīng)的準(zhǔn)線距離分別為，則，（r為以AB為直徑的圓的半徑），所以即的度數(shù)為定值，其定值為。 策略八：極坐標(biāo)法 解析：關(guān)于長度計(jì)算的某些問題，用極坐標(biāo)法會(huì)來得很方便，先要根據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，然后給動(dòng)點(diǎn)設(shè)出極坐標(biāo)，極角之間的關(guān)系往往是解決問題的關(guān)鍵。 例11.橢圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B滿足,(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：為定值。 解：設(shè)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，OX為極軸，建立極坐標(biāo)系。則有代入橢圓方程得到橢圓的極坐標(biāo)方程： 設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?，則可設(shè)動(dòng)點(diǎn),則有 ，= 兩式相加得：，即=為定值。 以上的八大策略，提供同學(xué)們在解決此類問題的方法，對求定點(diǎn)、定值等問題往往先用特殊值法探求出結(jié)論，這樣解題的方向就明確了，然后在運(yùn)算過程中心中有數(shù)，達(dá)到事半功倍的效果。 第 5 頁 共 5 頁 金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)