高等數(shù)學試卷：2000級高等數(shù)學(上)試卷

2000級高等數(shù)學(上)期中試題 一、填空題（4×7=28分） 1．設，則 ； 。 2．設為連續(xù)函數(shù)，則 。 3．設，則 。 4．在對應點處的切線方程為 。 5．設由方程確定，其中是可微函數(shù)， 則 。 6．設，則 。 7．曲線的是漸近線是 。 二、選擇題（4×4=16分） 8．當時，無窮小量關(guān)于與，是( ) （A）低階無窮??； （B）高階無窮??； （C）等價無窮?。? （D）同階但非等價無窮小。 9．設，則（ ） （A）只有一個間斷點； （B）存在間斷點，； （C）存在間斷點，； （D）存在間斷點，，。 10．下列命題正確的是（ ） （A）若曲線在點處有切線，則一定存在。 （B）若有唯一駐點，則是的極值點。 （C）若是曲線的拐點，則必有； （D）若在上，且在的任一子區(qū)間內(nèi)不恒等于零，又 ，則在內(nèi)。 11．設，則在處（ ） （A）導數(shù)連續(xù)但二階不可導，； （B）二階可導，且； （C）二階可導，且； （D）二階導數(shù)連續(xù)。 三、計算題 （6×4=24分） 12．求。 13．求。 14．設，求。 15．由拉格朗日中值定理知：，求。 四、解答題（9分） 16．在區(qū)間上研究方程的實根個數(shù)。 五、證明題（7分） 17．設，在連續(xù)，在內(nèi)可導，， 證明：，使。 六、應用題（16分） 18．當油船破裂后時，有體積為的石油漏入海中，假定石油在海面上以 厚度均勻的圓形擴散開來，已知油層的厚度隨時間的變化規(guī)律為 （為常數(shù)），試求油層向外擴散的速率。（10分） 19．設水以常速（即單位時間注入水的體積為常數(shù)）注入如圖所示的容器中，直 止將容器注滿。 （1） 畫出水面高度隨時間變化的函數(shù)的 圖形（不要求精確圖形，但應畫出曲線的 凸性并表示出拐點）。 （2）在何處增長得最快？何處最慢？估 計這兩個增長率的比值。(6分) 6