新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11課時跟蹤檢測二 四種命題 四種命題間的相互關(guān)系 含解析

新編人教版精品教學(xué)資料 課時跟蹤檢測（二） 四種命題 四種命題間的相互關(guān)系 層級一　學(xué)業(yè)水平達標 1．命題“若m＝10，則m2＝100”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題是(　　) A．原命題、否命題　　　 　B．原命題、逆命題 C．原命題、逆否命題 D．逆命題、否命題 解析：選C　因為原命題是真命題，所以逆否命題也是真命題． 2．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(　　) A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3 解析：選A　a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3. 3．與命題“能被6整除的整數(shù)，一定能被3整除”等價的命題是(　　) A．能被3整除的整數(shù)，一定能被6整除 B．不能被3整除的整數(shù)，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整數(shù)，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整數(shù)，能被3整除 解析：選B　即寫命題“若一個整數(shù)能被6整除，則一定能被3整除”的逆否命題． 4．若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是(　　) A．互逆命題 B．互否命題 C．互為逆否命題 D．以上都不正確 解析：選A　設(shè)p為“若A，則B”，那么q為“若綈A，則綈B”，r為“若綈B，則綈A”．故q與r為互逆命題． 5．原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析：選B　因為原命題為真，所以它的逆否命題為真；若|z1|＝|z2|，當(dāng)z1＝1，z2＝－1時，這兩個復(fù)數(shù)不是共軛復(fù)數(shù)，所以原命題的逆命題是假的，故否命題也是假的．故選B. 6．命題“若x≠1，則x2－1≠0”的真假性為________． 解析：可轉(zhuǎn)化為判斷命題的逆否命題的真假，由于原命題的逆否命題是：“若x2－1＝0，則x＝1”，因為x2－1＝0，x＝±1，所以該命題是假命題，因此原命題是假命題． 答案：假命題 7．已知命題“若m－1<x<m＋1，則1<x<2”的逆命題為真命題，則m的取值范圍是________． 解析：由已知得，若1<x<2成立，則m－1<x<m＋1也成立． ∴∴1≤m≤2. 答案：[1,2] 8．下列命題中： ①若一個四邊形的四條邊不相等，則它不是正方形； ②若一個四邊形對角互補，則它內(nèi)接于圓； ③正方形的四條邊相等； ④圓內(nèi)接四邊形對角互補； ⑤對角不互補的四邊形不內(nèi)接于圓； ⑥若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形． 其中互為逆命題的有_______；互為否命題的有________；互為逆否命題的有________． 解析：命題③可改寫為“若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等”；命題④可改寫為“若一個四邊形是圓內(nèi)接四邊形，則它的對角互補”；命題⑤可改寫為“若一個四邊形的對角不互補，則它不內(nèi)接于圓”，再依據(jù)四種命題間的關(guān)系便不難判斷． 答案：②和④，③和⑥　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤ 9．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，然后判斷真假． (1)等高的兩個三角形是全等三角形； (2)弦的垂直平分線平分弦所對的?。? 解：(1)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等高，是真命題； 否命題：若兩個三角形不等高，則這兩個三角形不全等，是真命題； 逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等高，是假命題． (2)逆命題：若一條直線平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線，是假命題； 否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不平分弦所對的弧，是假命題； 逆否命題：若一條直線不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線，是真命題． 10．判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假． 解：原命題的逆否命題為“已知a，x為實數(shù)，若a<1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集”．判斷其真假如下： 拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的圖象開口向上， 判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因為a<1，所以4a－7<0. 即拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的圖象與x軸無交點． 所以關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集． 故原命題的逆否命題為真命題． 層級二　應(yīng)試能力達標 1．命題“設(shè)a，b，c∈R，若a>b，則ac2>bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有(　　) A．0個　　　B．1個　　　C．2個　　　D．4個 解析：選C　若c＝0，則ac2>bc2不成立，故原命題為假命題．由等價命題同真同假，知其逆否命題也為假命題．逆命題“設(shè)a，b，c∈R，若ac2>bc2，則a>b”為真命題，由等價命題同真同假，知原命題的否命題也為真命題，所以共有2個真命題，故選C. 2．命題“對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形的對角線相等”的(　　) A．逆命題　　　　　　　 　B．否命題 C．逆否命題 D．無關(guān)命題 解析：選A　由于這兩個命題的關(guān)系是一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，所以互為逆命題，故選A. 3．原命題“圓內(nèi)接四邊形是等腰梯形”，則下列說法正確的是(　　) A．原命題是真命題 B．逆命題是假命題 C．否命題是真命題 D．逆否命題是真命題 解析：選C　原命題是假命題，所以逆否命題是假命題，逆命題“等腰梯形是圓內(nèi)接四邊形”是真命題，所以否命題是真命題，故選C. 4．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 解析：選C　否定原命題的結(jié)論作條件，否定原命題的條件作結(jié)論所得的命題為逆否命題，可知C正確． 5．命題“若x>1，則x>0”的逆命題是________________，逆否命題是________________． 答案：若x>0，則x>1　若x≤0，則x≤1 6．在原命題“若A∪B≠B，則A∩B≠A”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為________． 解析：逆命題為“若A∩B≠A，則A∪B≠B”； 否命題為“若A∪B＝B，則A∩B＝A”； 逆否命題為“若A∩B＝A，則A∪B＝B”； 全為真命題． 答案：4 7．已知a，b，c∈R，證明：若a＋b＋c<1，則a，b，c中至少有一個小于. 證明：原命題的逆否命題為：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于，則a＋b＋c≥1. 由條件a≥，b≥，c≥， 三式相加得a＋b＋c≥1， 顯然逆否命題為真命題． 所以原命題也為真命題． 即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1， 則a，b，c中至少有一個小于. 8．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若命題：對于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)為真命題，求實數(shù)a的取值范圍． 解：對于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)，則{f(x)|x∈[－1,2]}?{g(x)|x∈[－1,2]}．又f(x)＝x2－2x在[－1,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，所以－1≤f(x)≤3.因為g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上單調(diào)遞增，所以－a＋2≤g(x)≤2a＋2，于是有即a≥3. 故實數(shù)a的取值范圍為[3，＋∞)．