高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)課件

高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)第五章不定積分第五章不定積分1. 不定積分的概念不定積分的概念1. 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分的一個(gè)原函數(shù)。為那么稱均有點(diǎn)使得在該區(qū)間內(nèi)任意一函數(shù)函數(shù)，如果存在是定義在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的已知定義)()()()()()(. 1xfxFxfxFxxFxf。一個(gè)原函數(shù)，那么為的如果記作：的不定積分，的全體原函數(shù)稱為函數(shù)定義cxFdxxfxfxFdxxfxfxf)()()()(,)()()(. 2高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)) 1(11) 11ucxudxxuu(*)ln1)2cxdxxcedxexx)3caadxaxxln)4cxxdxcossin)5cxxdxsincos)6cxxdxtansec)72cxxdxcotcsc)82dxxfdxxfdxfdxxf)()(,)()() 1cxfxdfcxfdxxf)()(,)()()22. 不定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)和基本積分表不定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)和基本積分表性質(zhì)性質(zhì)基本積分表基本積分表dxxgdxxfdxxgxf)()()()()3dxxfkdxxkf)()()4高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)cxxdxxsectansec)9cxxdxxcsccotcsc)10cxdxxarcsin11)112(*) arcsin1)1222caxdxxacxdxxarctan11)132(*) arctan11)1422caxadxxa(*)ln211)1522caxaxadxax高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)cchxshxdx)16cshxchxdx)17xxxxxxxx1) 1(1) )(ln()(ln01ln0時(shí)，當(dāng)，時(shí)當(dāng)dxxx1. 124例其余(*)待后再推導(dǎo)高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxx2sin. 32例xdx2tan. 2例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)2. 換元積分法換元積分法xdx2cos2. 3 求例1. 第一類換元積分法第一類換元積分法高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxex22. 3 求例dxx)21cos(. 2 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxax221. 4 求例，又稱為“湊微分法”稱為第一類換元積分法，的變量代換的積分方法這種令則如果定理uxcxFdxxxfcuFduuf)()()()()()(. 1高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxa221. 5 求例dxxa221. 6 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)xdxtan. 7 求例xdxcot. 8 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)xdxsec. 9 求例xdxcsc.10 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxxcos.11 求例dxx3)53(.12求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)2. 第二類換元積分法第二類換元積分法積分法。換元的積分方法稱為第二類利用變量代換)(tx的反函數(shù)。為其中，那么如果，單調(diào)且連續(xù)可導(dǎo)，設(shè)定理)()()()()()()(0)()(. 211txxtcxdxxfctdtttfttx高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxax221.14 求例dxax221.13 求例dxxa22.15 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxx11.162求例dxxx )4(1.176求例dxex11.18 求例 dxex2.19 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxaxx2.21 求例dxxx31.20 求例dxxx322)1 (.22 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)3. 分部積分法分部積分法兩邊積分得所以由于vuuvvuuvvuuv)()(dxxuxvxvxudxxvxu)()()()()( )(分部積分公式也可寫成利用分部積分公式計(jì)算函數(shù)積分的方法稱為分部積分法。(*)vduuvudv公式(*)稱為分部積分公式(*)較簡(jiǎn)單時(shí)可用較困難而積分當(dāng)積分vduudv高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)xdxln.1 求例xdxxcos. 4 求例dxexx2. 5 求例xdxarcsin. 2 求例xdxarctan. 3 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)xdxxarctan. 7 求例dxx2)(arcsin. 8 求例xdxexcos. 9求例xdxx ln. 63求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)一般公式cbxbbxabaebxdxeaxaxsincoscos22cbxbbxabaebxdxeaxaxcossinsin22xdx3sec.10 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxax22.11 求例)( sin.13為正整數(shù)求例nxdxInndxax22.12 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué))()(1.1422為正整數(shù)求例ndxaxJnn高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)4. 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分本節(jié)將說明任何有理函數(shù)的積分必是初等函數(shù)在微分學(xué)中任意初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)。但在積分學(xué)中則不同。均不是初等函數(shù)。、等，、如一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，dxedxxxexxxx22sinsin高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)1. 有理函數(shù)有理函數(shù)為真分式。為多項(xiàng)式，其中而)()()()()()()(xPxQxMxPxQxMxR的函數(shù)稱為有理函數(shù)。形如：nnnnmmmmbxbxbxbaxaxaxaxPxNxR 11101110)()()(的積分。主要是求真分式所以有理函數(shù)的積分，)()(xPxQ高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)2. 部分分式部分分式j(luò)iljjllkikkqxpxqxpxqxpxaxaxaxbxP)()()()()()()(22221122102121 且其中jkqpkk, 2 , 1042 nlllkkkji )(22121為待定系數(shù)。其中kAAA,21 kkkaxAaxAaxAaxxQ)()()()(221 分分式為真分式時(shí)，可如下部當(dāng)kaxxQ)()() 1在復(fù)數(shù)域內(nèi)，如果 P(x)為 n 次多項(xiàng)式，則高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)均為待定系數(shù)。、其中), 2 , 1(kiBAii 可如下部分分式為真分式時(shí)當(dāng) )04()()()222qpqpxxxQkkkkkqpxxBxAqpxxBxAqpxxBxAqpxxxQ)()()()(222222112 高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)化為部分分式。將真分式例33) 1(1. 1xxx高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)化為部分分式。將真分式例2223)2(2. 2xxx化為部分分式。將真分式例222) 1(1. 3xx高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)3. 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分dxaxA) 1dxaxAk )()2dxqpxxBAx2)3dxqpxxBAxk)()42caxAdxaxAln這四種類型的積分分別為：任何有理函數(shù)的積分都可化為整式和真分式的積分，而真分式的積分通過部分分式后可化為下列四種類型的積分：高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)caxkAdxaxAkk1)(1) 1()()4()2()2()2()(22222pqpxpxdApBqpxxqpxxdAdxqpxxApBpxAdxqpxxBAx22)2()2(2qpxxdxApBdxqpxxpxA22)2(22高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)cpqpxpqApBqpxxA42arctan41)2(ln2222kkauduApBqpxxkA)()2()(1(122212dxqpxxBAxk)(2kkpqpxpxdApBqpxxqpxxdA)4()2()2()2()()(22222求得。式后一項(xiàng)積分可由遞推公nnauduJ)(22高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxxxxxxI3234123. 4 求例dxxxx2243. 52求例dxxxdxxxdxxxdxx1111,1,11. 63333求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxx527)1 (. 8 利用多種解法計(jì)算例dxxxdxxxdxxxdxx1111,1,11. 74242424求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)4. 可化為有理函數(shù)的積分可化為有理函數(shù)的積分22122sec2tan22cos2sin2sinttxxxxx則1) 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指三角函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)，可簡(jiǎn)記為 R(sin x,cos x)dxxxR)cos,(sin下面來討論tx2tan：作萬能置換令高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)2222112sin2coscosttxxx212tdtdxdttRtdtttttRdxxxR)(12)11,12()cos,(sin12222因此三角函數(shù)有理式的積分是初等函數(shù)的有理函數(shù)。為其中ttR)(1高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxsin451. 1 求例dxxxxcos1sinsin1. 2 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxxsin1sin1. 3 求例dxxbxacossin1. 4 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxbaxxRn),() 1 (dttandxabtxtbaxnnn1,則令dttRdttantabtRdxbaxxRnnn)(),(),(11故2) 簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxdcxbaxxRn),()2(nnnctabdtxtdcxbax則令,dttctabcadndxnn12dttRdxdcxbaxxRn)(),(1故高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxxx11. 5 求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)123. 62xxxdx求例高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué) 第五章重點(diǎn)練習(xí)題第五章重點(diǎn)練習(xí)題dxxx31. 1dxxx22)11(. 2dxxxcossin1. 33計(jì)算下列不定積分高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxxsincos1. 4dxex11. 5 ) 1(. 64xxdxdxxarctan. 7dxxx2sin2tan1. 8高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxxxxcos1sin.11dxxxx431. 92dxxxx2412.10dxexxxcos1sin1.12高等數(shù)學(xué)講義高等數(shù)學(xué)dxeexxarctan.14dxxx2arcsin.15dxxxx221arcsin.13