2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸專題 圓（含解析）

《圓》 1．如圖1，△ABD內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，∠BAD的平分線交BD于H，交⊙O于點C，連接DC并延長，交AB的延長線于點E， （1）求證：AE＝AD； （2）若＝，求的值； （3）如圖2，連接CB并延長，交DA的延長線于點F，若AH＝HC，AF＝6，求△BEC的面積． 解：（1）∵AD是直徑， ∴∠ACD＝90°，即AC⊥ED， BD是∠BAD的平分線， 故AE＝AD； （2）＝，則設(shè)BE＝3a，AB＝2a，AD＝AE＝5a， O交BD于點G， BD是∠BAD的平分線，則， 則OC⊥BD， 故OC∥AB，則OC是△ADE的中位線， 則OG＝AB＝a，OC＝AD＝， 則CG＝OC﹣OG＝， ∵CG∥AB，則＝； （3）設(shè)：OG＝m，則AB＝2m， 當(dāng)AH＝HC時，由（2）知，△AHB≌△CHG（AAS）， 則AB＝CG＝2m，則OC＝3m，即圓的半徑為3m， ∵AB∥CO，則，即， 解得：m＝1， 故AB＝2，AD＝6，BE＝4， 則BD＝＝4， ∵EC＝DC， 則△BEC的面積＝S△EBD＝×BE×BD＝×4×4＝4． 2．如圖，AB是⊙O的直徑，M是OA的中點，弦CD⊥AB于點M，過點D作DE⊥CA交CA的延長線于點E． （1）連接AD，求∠OAD； （2）點F在上，∠CDF＝45°，DF交AB于點N．若DE＝，求FN的長． 解：（1）如圖1，連接OD， ∵是⊙的直徑，于點 ∴AB垂直平分CD， ∵M是OA的中點， ∴， ∴， ∴∠DOM＝60°， ∵AO＝OD， ∴△OAD是等邊三角形， ∴∠OAD＝60°； （2）如圖2，連接CF，CN， ∵OA⊥CD于點M， ∴點M是CD的中點， ∴AB垂直平分CD， ∴NC＝ND， ∵∠CDF＝45°， ∴∠NCD＝∠NDC＝45°， ∴∠CND＝90°， ∴∠CNF＝90°， 由（1）可知，∠AOD＝60°， ∴∠ACD＝30°， 又∵DE⊥CA交CA的延長線于點E， ∴∠E＝90°， ∵∠ACD＝30°，DE＝． ∴CD＝2DE＝2， ∴CN＝CD?sin45°＝2， 由（1）可知，∠CAD＝2∠OAD＝120°， ∴∠F＝180°﹣120°＝60°， 在Rt△CFN中，F(xiàn)N＝． 3．如圖1，銳角△ABC，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，連接BO并延長交AC于點D， （1）若∠BDC＝30°，求∠BAC的度數(shù)； （2）如圖2，當(dāng)0°＜∠BAC＜60°時，作點C關(guān)于BD的對稱點E，連接AE、DE，DE交AB于F． ①點E在⊙O　上?。ㄟx填“內(nèi)”、“上”、“外”）； ②證明：∠AEF＝∠EAB； ③若△BDC為等腰三角形，AD＝2，求AE的長． 解：（1）延長BD交圓O于點G，連結(jié)CG，如圖： ∵， ∴∠A＝∠G， ∵直徑BG， ∴∠BCG＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠BCA＝∠CBA， 設(shè)∠BCA＝∠CBA＝α，則∠A＝∠G＝180°﹣2α，∠DCG＝90°﹣α， ∴∠BDC＝∠G+∠DCG＝180°﹣2α+90°﹣α＝30°， ∴α＝80°， ∴∠BAC＝∠G＝180°﹣2×80°＝20°； （2）連結(jié)OC、OE，延長BD交圓O于點M，連結(jié)CM，如圖： ①∵C、E是關(guān)于BD的對稱點， ∴OC＝OE， ∴點E在⊙O上， 故答案為：上； ②證明：∵C、E是關(guān)于BD的對稱點， ∴，∠2＝∠3， ∴∠4＝∠5＝∠M， 設(shè)∠1＝∠ABC＝x，則∠4＝∠5＝∠M＝180°﹣2x，∠6＝90°﹣x， ∴∠2＝∠3＝∠M+∠6＝270°﹣3x， ∴∠AEF＝∠EDC﹣∠EAD＝2∠3﹣2∠4＝2（270°﹣3x）﹣2（180°﹣2x）＝180°﹣2x， ∴∠AEF＝∠5＝180°﹣2x， 即∠AEF＝∠EAB； ③∵∠1＝∠ABC＞∠DBC， ∴BD＞DC， ∵△BDC為等腰三角形， ∴分兩種情況討論： （Ⅰ）當(dāng)BD＝BC時，∠1＝∠2，即x＝270°﹣3x， 解得：x＝67.5°， ∴∠4＝45°＜60°，滿足題意，此時△AED為等腰直角三角形，AE＝AD＝2， ∴AE＝2； （Ⅱ）當(dāng)DC＝BC時，∠2＝∠DBC，即270°﹣3x＝180°﹣2x， 解得：x＝90°， ∴∠4＝0°，不滿足0°＜∠BAC＜60°； 綜上所述：AE＝2． 4．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，AD與BC相交于點E．連接BD，作∠BDF＝∠BAD，DF與AB的延長線相交于點F． （1）求證：DF是⊙O的切線； （2）若DF∥BC，求證：AD平分∠BAC； （3）在（2）的條件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的長． 解：（1）連接OD，CD， ∵AB是直徑， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO+∠ODB＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∵∠BDF＝∠BAD， ∴∠BDF+∠ODB＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切線； （2）∵DF∥BC， ∴∠FDB＝∠CBD， ∵＝， ∴∠CAD＝∠CBD，且∠BDF＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF， ∴AD平分∠BAC； （3）∵AB＝10，BD＝6， ∴AD＝＝＝8， ∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDE＝90°， ∴△BDE∽△ADB， ∴， ∴， ∴DE＝， ∴AE＝AD﹣DE＝， ∵∠CAD＝∠BAD， ∴sin∠CAD＝sin∠BAD ∴ ∴ ∴CE＝ 5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O1與x軸相切于點A（﹣3，0），與y軸相交于B、C兩點，且BC＝8，連接AB． （1）求證：∠ABO1＝∠ABO； （2）求AB的長； （3）如圖2，⊙O2經(jīng)過A、B兩點，與y軸的正半軸交于點M，與O1B的延長線交于點N，求出BM﹣BN的值． （1）證明：如圖1﹣1，連接AO1， ∵⊙O1與x軸相切于點A， ∴∠OAO1＝90°， 又∠AOB＝90°， ∴∠OAO1+∠AOB＝180°， ∴AO1∥OB， ∴∠ABO＝∠O1AB， ∵O1A＝O1B， ∴∠O1AB＝∠ABO1， ∴∠ABO1＝∠ABO； （2）解：如圖1﹣2，過點O1作O1H⊥BC于H， 則CH＝BH＝BC＝4， ∴∠O1HO＝∠HOA＝∠OAO1＝90°， ∴四邊形AO1HO是矩形， ∴AO1＝AO＝3， ∴在Rt△O1HB中， O1B＝＝5， ∴HO＝O1A＝O1B＝5， ∴OB＝HO﹣BH＝1， ∴在Rt△AOB中， AB＝＝＝； （3）解：如圖2，作點B關(guān)于x軸的對稱點B'，則點OB'＝OB＝1，AB＝AB'， ∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO ∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1， ∴∠ABO1＝∠AB'O， ∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O， 即∠ABN＝∠AB'M， 又∵， ∴∠AMB'＝∠N， ∴△AMB'≌△ANB（AAS）， ∴MB'＝NB， ∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2， ∴BM﹣BN的值為2． 6．如圖，P是直徑AB上的一點，AB＝6，CP⊥AB交半圓于點C，以BC為直角邊構(gòu)造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，連接OD． 小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對線段AP，BC，OD的長度之間的關(guān)系進行了探究． 下面是小明的探究過程，請補充完整： （1）對于點P在AB上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段AP，BC，OD的長度的幾組值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置… AP 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 … BC 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45 … OD 6.71 7.24 7.07 6.71 6.16 5.33 … 在AP，BC，OD的長度這三個量中確定　AP　的長度是自變量，　BC　的長度和　OD　的長度都是這個自變量的函數(shù)； （2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象； （3）結(jié)合函數(shù)圖象，推斷：當(dāng)OD＝2BC時，線段AP的長度約為　4.5　． 解：（1）由圖表觀察，可看出隨著AP的變化，BC和OD都在發(fā)生變化，且都有唯一確定的值和其對應(yīng)，所以AP的長度是自變量，BC和OD的長度都是這個自變量的函數(shù)， 故答案分別為：AP，BC，OD； （2）如右圖，可先描點，再畫出如圖所示圖象； （3）由圖象可推斷：當(dāng)OD＝2BC時，線段AP的長度約為4.5， 故答案為：4.5． 7．如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC＝FC． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半徑． （3）過點B作⊙O的切線交CA的延長線于G，如果連接AE，將線段AC以直線AE為對稱軸作對稱線段AH，點H正好落在⊙O上，連接BH，求證：四邊形AHBG為菱形． （1）證明：如圖1，連接OA，OD， 則∠OAF＝∠D， ∵D為BE的下半圓弧的中點， ∴， ∴∠EOD＝∠BOD＝×180°＝90°， ∴∠OFD+∠D＝90°， ∵CA＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD， ∴∠CAF+∠∠OAF＝90°， 即∠CAO＝90°， ∴OA⊥CA， ∴AC是⊙O的切線； （2）如圖1，設(shè)半徑為r， 則OF＝BF﹣OB＝8﹣r， ∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2， ∴（8﹣r）2+r2＝（）2， 解得，r1＝6，r2＝2（舍去）， ∴⊙O的半徑為6； （3）如圖2，連接EH， 由對稱性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE， 又∵AE＝AE， ∴△CAE≌△HAE（SAS）， ∴∠C＝∠EHA， ∵， ∴∠EHA＝∠ABE， ∴∠C＝∠ABE， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵BE為⊙O的直徑， ∴∠EAB＝90°， ∴∠OAB+∠OAE＝90°， 又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°， ∴∠CAE＝∠OAB， ∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE， ∴AC＝AB， ∴△CAE≌△BAO（ASA）， ∴AE＝AO＝OE， ∴△AEO是等邊三角形， ∴∠AEO＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°， ∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°， ∵CA＝AH，CA＝AB， ∴AH＝AB， 又AHB＝60°， ∴△ABH是等邊三角形， ∴AB＝BH＝AH， ∵GB，GA是⊙O的切線， ∴GB＝GA， 又∠ABG＝60°， ∴△ABG是等邊三角形， ∴AB＝BG＝AG， ∴BH＝AH＝BG＝AG， ∴四邊形AHBG是菱形． 8．已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，AC＝BC，D、E是⊙O上兩點，連接AD、DE、AE． （1）如圖1，求證：∠AED﹣∠CAD＝45°； （2）如圖2，若DE⊥AB于點H，過點D作DG⊥AC于點G，過點E作EK⊥AD于點K，交AC于點F，求證：AF＝2DG； （3）如圖3，在（2）的條件下，連接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半徑． （1）證明：如圖1，連接CO，CE， ∵AB是直徑， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB＝45°， ∴∠COA＝2∠B＝90°， ∵， ∴∠CAD＝∠CED， ∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°， 即∠AED﹣∠CAD＝45°； （2）如圖2，連接CO并延長，交⊙O于點N，連接AN，過點E作EM⊥AC于M， 則∠CAN＝90°， ∵AC＝BC，AO＝BO， ∴CN⊥AB， ∴AB垂直平分CN， ∴AN＝AC， ∴∠NAB＝∠CAB， ∵AB垂直平分DE， ∴AD＝AE， ∴∠DAB＝∠EAB， ∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB， 即∠GAD＝∠NAE， ∵∠CAN＝∠CME＝90°， ∴AN∥EM， ∴∠NAE＝∠MEA， ∴∠GAD＝∠MEA， 又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA， ∴△ADG≌△EAM（AAS）， ∴AG＝EM，AM＝DG， 又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°， ∴∠MEF＝∠GAD， 又∵∠G＝∠FME＝90°， ∴△ADG≌△EFM（ASA）， ∴DG＝MF， ∵DG＝AM， ∴AF＝AM+MF＝2DG； （3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA， ∴△FCD∽△DCA， ∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA， ∵AC＝BC，AB為直徑， ∴△ABC為等腰直角三角形， ∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°， ∴△GFD為等腰直角三角形， 設(shè)GF＝GD＝a，則FD＝a，AF＝2a， ∴＝＝， ∵∠FAK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°， ∴△AFK∽△ADG， ∴＝＝， 在Rt△AFK中， 設(shè)FK＝x，則AK＝3x， ∵FK2+AK2＝AF2， ∴x2+（3x）2＝（2a）2， 解得，x＝a（取正值）， ∴FK＝a， 在Rt△FKD中，F(xiàn)K2+DK2＝FD2， ∴（a）2+32＝（a）2， 解得，a＝（取正值）， ∴GF＝GD＝，AF＝， ∵△FCD∽△DCA， ∴＝， ∴CD2＝CA?FC， ∵CD2＝CG2+GD2， ∴CG2+GD2＝CA?FC， 設(shè)FC＝n， 則（﹣n）2+（）2＝（+n）n， 解得，n＝， ∴AC＝AF+CF＝+＝， ∴AB＝AC＝， ⊙O的半徑為． 9．如圖，在?ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．點P是邊BC上一動點，作△PAB的外接圓⊙O交BD于E． （1）如圖1，當(dāng)PB＝3時，求PA的長以及⊙O的半徑； （2）如圖2，當(dāng)∠APB＝2∠PBE時，求證：AE平分∠PAD； （3）當(dāng)AE與△ABD的某一條邊垂直時，求所有滿足條件的⊙O的半徑． 解：（1）如圖1，過點A作BP的垂線，垂足為H，作直徑AM，連接MP， 在Rt△ABH中，∠ABH＝60°， ∴∠BAH＝30°， ∴BH＝AB＝2，AH＝AB?sin60°＝2， ∴HP＝BP﹣BH＝1， ∴在Rt△AHP中， AP＝＝， ∵AB是直徑， ∴∠APM＝90°， 在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°， ∴AM＝＝＝， ∴⊙O的半徑為， 即PA的長為，⊙O的半徑為； （2）當(dāng)∠APB＝2∠PBE時， ∵∠PBE＝∠PAE， ∴∠APB＝2∠PAE， 在平行四邊形ABCD中，AD∥BC， ∴∠APB＝∠PAD， ∴∠PAD＝2∠PAE， ∴∠PAE＝∠DAE， ∴AE平分∠PAD； （3）①如圖3﹣1，當(dāng)AE⊥BD時，∠AEB＝90°， ∴AB是⊙O的直徑， ∴r＝AB＝2； ②如圖3﹣2，當(dāng)AE⊥AD時，連接OB，OE，延長AE交BC于F， ∵AD∥BC， ∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE， ∴＝， 在Rt△ABF中，∠ABF＝60°， ∴AF＝AB?sin60°＝2，BF＝AB＝2， ∴＝， ∴EF＝， 在Rt△BFE中， BE＝＝＝， ∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE， ∴△OBE是等邊三角形， ∴r＝； ③當(dāng)AE⊥AB時，∠BAE＝90°， ∴AE為⊙O的直徑， ∴∠BPE＝90°， 如圖3﹣3，過點D作BC的垂線，交BC的延長線于點N，延開PE交AD于點Q， 在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4， ∴DN＝DC?sin60°＝2，CN＝CD＝2， ∴PQ＝DN＝2， 設(shè)QE＝x，則PE＝2﹣x， 在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°， ∴AE＝2QE＝2x， ∵PE∥DN， ∴△BPE∽△BND， ∴＝， ∴＝， ∴BP＝10﹣x， 在Rt△ABE與Rt△BPE中， AB2+AE2＝BP2+PE2， ∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2， 解得，x1＝6（舍），x2＝， ∴AE＝2， ∴BE＝＝＝2， ∴r＝， ∴⊙O的半徑為2或或． 10．已知：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，AB＝AD （1）如圖1，求證：CA平分∠BCD； （2）如圖2，連接BD交AC于點E，若BD為⊙O直徑，求證：tan∠CAD＝； （3）如圖3，在（2）的條件下，點F為BC中點，連接AF并延長交⊙O于G，若FG＝2，tan∠GAD＝，求DE的長 ． （1）證明：∵AB＝AD， ∴＝， ∴∠ACB＝∠ACD， ∴CA平分∠BCD； （2）證明：如圖2，過點D作AC的平行線交BC延長線于Q， ∵＝， ∴∠CAD＝∠CBD， ∵BD為直徑， ∴∠BCD＝90°， ∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝， ∵DQ∥AC ∴∠Q＝∠ACB，∠ACD＝∠CDQ， 由（1）得∠ACB＝∠ACD， ∴∠Q＝∠CDQ， ∴CD＝CQ， ∵CE∥DQ， ∴DE：EB＝CQ：BC， 即DE：EB＝CD：CB， ∴tan∠CAD＝； （3）如圖3，過點D、B分別作DH⊥AG于H，BN⊥AG于N，過O作OM⊥AG于M， ∵tan∠GAD＝， ∴設(shè)AH＝3k，DH＝4k， ∵∠BAN+∠NAD＝90°，∠NAD+∠ADH＝90°， ∴∠BAN＝∠ADH， 又∵∠BNA＝∠AHD＝90°，AB＝AD， ∴△ADH≌△BAN（AAS）， ∴BN＝AH＝3k，AN＝DH＝4k， ∵DH∥OM∥BN，且OB＝OD， ∴MH＝MN，NH＝AN﹣AH＝k， ∵OM⊥AG， ∴MA＝MG， ∴AH＝NG＝3k， ∴FN＝3k﹣2， 連接CG，過點C作CP∥AB， 則∠ABF＝∠PCF，∠BAF＝∠P， 又BF＝CF， ∴△ABF≌△PCF（AAS）， ∴FA＝FP， ∵＝， ∴∠BAF＝∠GCB， ∴∠GCF＝∠P， ∴△FCG∽△FPC， ∴CF2＝FG?FP，CF＝BF， 即BN2+FN2＝FG?FA， ∴（3k）2+（3k﹣2）2＝2（4k+3k﹣2）， 解得k＝1 或k＝（∵FN＞0∴舍去）， ∴在Rt△AHD中， AH＝3，DH＝4， ∴AD＝＝5， ∴BD＝AB＝5， ∴BF2＝BN2+FN2＝（3k）2+（3k﹣2）2＝10， ∴BF＝， ∴BC＝2， ∴在Rt△BCD中， CD＝＝， ∴tan∠CBD＝＝＝， ∴DE＝BD＝． 11．已知：AB、AC是⊙O中的兩條弦，連接OC交AB于點D，點E在AC上，連接OE，∠AEO＝∠BDO． （1）如圖1，若∠CAD＝∠COE，求證：＝； （2）如圖2，連接OA，若∠OAB＝∠COE，求證：AE＝CD； （3）如圖3，在第（2）問的條件下，延長AO交⊙O于點F，點G在AB上，連接GF，若∠ADC＝2∠BGF，AE＝5，DG＝1，求線段BG的長． （1）證明：設(shè)OE與AB交于點H， ∵∠CAD＝∠COE，∠EHA＝∠DHO， ∴∠AEO＝∠ODA， ∵∠AEO＝∠BDO， ∴∠BDO+∠ADO＝180°， ∴∠ADO＝∠BDO＝90°， ∴OD⊥AB， ∴； （2）證明：∵∠AEO+∠CEO＝180°，∠BDO+∠ADO＝180°， ∴∠AEO＝∠BDO， ∴∠CEO＝∠ADO， 在△CEO和ODA中， ∵∠COE＝∠OAD，∠CEO＝∠ADO，OC＝OA， ∴△CEO≌△ODA（AAS）， ∴CE＝OD，∠ECO＝∠AOD， ∴OA＝AC＝OC， ∴△AOC為等邊三角形， ∵AE＝AC﹣CE，CD＝OC﹣OD， ∴AE＝CD； （3）證明：延長FG交OC于點S，延長CO到點T，使OT＝OS，連接AT，BF， 設(shè)∠BGF＝α，則∠BGF＝∠SGD＝α， ∵∠ADC＝2∠BGF＝2α，∠ADC＝∠GSD+∠SGD ∴∠DSG＝∠DGS＝α ∴SD＝DG＝1 ∵AE＝CD＝5 ∴CS＝CD﹣SD＝4 在△FOS和△AOT中， ∵OS＝OT，∠SOF＝∠AOT，OF＝OA， ∴△FOS≌△AOT（SAS） ∴∠ATO＝∠FSO＝α， ∵∠ADC＝2α， ∴∠DAT＝∠DTA＝α， ∴AD＝DT， 設(shè)OA＝OC＝AC＝r， ∴OT＝OS＝r﹣4，OD＝r﹣5，AD＝DT＝2r﹣9， 在△ADC中，CD＝5，AC＝r，AD＝2r﹣9，∠ACD＝60°， 解△ADC得，r＝8，AD＝7， 過點D作DK⊥OA，在△DOK中， ∵OD＝3，∠DOK＝60°， ∴OK＝，AK＝，cos∠DAK＝＝， 在△ABF中，AB＝AF×cos∠DAK＝， ∴BG＝AB﹣AG＝． 12．已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，直徑AC與對角線BD相交于點E，作CH⊥BD于H，CH與過A點的直線相交于點F，∠FAD＝∠ABD． （1）求證：AF為⊙O的切線； （2）若BD平分∠ABC，求證：DA＝DC； （3）在（2）的條件下，N為AF的中點，連接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半徑為2，求EN的長． （1）證明：如圖1，∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠DCA＝90°． ∵＝， ∴∠ABD＝∠DCA， ∵∠FAD＝∠ABD， ∴∠FAD＝∠DCA， ∴∠FAD+∠DCA＝90°， ∴CA⊥AF， ∴AF為⊙O的切線． （2）證明：如圖2，連接OD，∵＝， ∴∠ABD＝∠AOD， ∵＝， ∴∠DBC＝∠DOC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠DOA＝∠DOC， ∴DA＝DC． （3）如圖3，連接OD交CF于M，作EP⊥AD于P， ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ADC＝90°． ∵DA＝DC， ∴DO⊥AC， ∴∠FAC＝∠DOC＝90°， ∴AF∥OM， ∵AO＝OC， ∴OM＝AF． ∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°． ∴∠ODE＝∠OCM． ∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC， ∴∴△ODE≌△OCM， ∴OE＝OM， 設(shè)OM＝m， ∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m， ∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°， ∴∠AEN＝∠ADE， ∵∠EAN＝∠DPE， ∴△EAN∽△DPE， ∴＝， ∴＝， ∴m＝， ∴AN＝，AE＝， ∴勾股定理得NE＝． 13．MN是⊙O上的一條不經(jīng)過圓心的弦，MN＝4，在劣弧MN和優(yōu)弧MN上分別有點A，B（不與M，N重合），且，連接AM，BM． （1）如圖1，AB是直徑，AB交MN于點C，∠ABM＝30°，求∠CMO的度數(shù)； （2）如圖2，連接OM，AB，過點O作OD∥AB交MN于點D，求證：∠MOD+2∠DMO＝90°； （3）如圖3，連接AN，BN，試猜想AM?MB+AN?NB的值是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由． 解：（1）如圖1， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AMB＝90°． ∵， ∴∠AMN＝∠BMN＝45°． ∵OM＝OB， ∴∠OMB＝∠OBM＝30°， ∴∠CMO＝45°﹣30°＝15°； （2）如圖2，連接OA，OB，ON． ∵， ∴∠AON＝∠BON． 又∵OA＝OB， ∴ON⊥AB． ∵OD∥AB， ∴∠DON＝90°． ∵OM＝ON， ∴∠OMN＝∠ONM． ∵∠OMN+∠ONM+∠MOD+∠DON＝180°， ∴∠MOD+2∠DMO＝90°； （3）如圖3，延長MB至點M′，使BM′＝AM，連接NM′，作NE⊥MM′于點E． 設(shè)AM＝a，BM＝b． ∵四邊形AMBN是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠A+∠MBN＝180°． ∵∠NBM′+∠MBN＝180°， ∴∠A＝∠NBM′． ∵， ∴AN＝BN， ∴△AMN≌△BM′N（SAS）， ∴MN＝NM′，BM′＝AM＝a． ∵NE⊥MM′于點E． ∴． ∵ME2+（BN2﹣BE2）＝MN2， ∴． 化簡得ab+NB2＝16， ∴AM?MB+AN?NB＝16． 14．已知，在△PAB中，PA＝PB，經(jīng)過A、B作⊙O． （1）如圖1，連接PO，求證：PO平分∠APB； （2）如圖2，點P在⊙O上，PA：AB＝：2，E是⊙O上一點，連接AE、BE．求tan∠AEB的值； （3）如圖3，在（2）的條件下，AE經(jīng)過圓心O，AE交PB于點F，過F作FG⊥BE于點G，EF+BG＝14，求線段OF的長度． （1）證明：連接OA，OB， 則OA＝OB， 又∵PA＝PB， ∴PO垂直平分AB， ∴∴PO平分∠APB； （2）解：延長PO，交AB于H，過點A作AM⊥PB于M， 由（1）知PH垂直平分AB， ∵PA：AB＝：2， ∴設(shè)AB＝2，則AP＝BP＝，AH＝BH＝1， ∴在Rt△PAH中， PH＝＝3， ∵S△PAB＝AB?PH＝PB?AM， ∴2×3＝×AM， ∴AM＝， 在Rt△PAM中， PM＝＝， ∴tan∠APM＝＝：＝， ∵∠AEB＝∠APM， ∴tan∠AEB＝； （3）連接PO并延長，交AB于點H，由（1）知，PH垂直平分AB， ∵AE為直徑， 在Rt△EFG中，tan∠FEG＝， ∴設(shè)FG＝3x，則EG＝4x，EF＝5x， ∵EF+BG＝14， ∴BG＝14﹣5x， ∴∠ABE＝90°＝∠AHP＝∠PHB， ∴PH∥EB， ∴∠HPB＝∠GBF， ∴△HPB∽△GBF， ∴＝＝， ∴＝， 解得，x＝1， ∴EF＝5，BE＝BG+EG＝9+4＝13， ∴AB＝BE＝， ∴AE＝＝， ∴OE＝AE＝， ∴OF＝OE﹣EF＝﹣5＝， ∴線段OF的長度為． 15．如圖1，在⊙O中，點A為的中點，點D在⊙O上． （1）求證：∠BAC+2∠ADB＝180°； （2）如圖2，點G為⊙O上一點，DG與BC的延長線交于點K，若∠CBD＝2∠ABC，BC＝CK，求證：BG＝KG； （3）如圖3，在（2）的條件下，AC與BG的延長線交于點E，CE＝3AC＝15，BE＝10，求線段BD的長． （1）證明：如圖1，連接DC， ∵點A為的中點， ∴， ∴∠ADB＝∠ADC， ∴∠BDC＝2∠ADB， ∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠BAC+∠BDC＝180°， ∴∠BAC+2∠ADB＝180°； （2）如圖2，連接CG， ∵∠ABC＝∠ADC＝∠ADB， ∴∠BDC＝2∠ABC， ∵∠CBD＝2∠ABC， ∴∠BDC＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∵BC＝CK， ∴CD＝CK， ∴∠CDK＝∠K， ∵∠CBD+∠CDB+∠CDK+∠K＝180°， ∴∠CBD+∠K＝90°， ∴∠BDK＝90°， ∴BG為⊙O的直徑， ∴BCG＝90°， ∴GC⊥BK， 又∵BC＝CK， ∴BG＝KG； （3）∵CE＝3AC＝15， ∴AC＝AB＝5， ∵四邊形ABGC是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠BAC+∠BGC＝180°， ∵∠CGE+∠BGC＝180°， ∴∠BAC＝∠CGE， 又∵∠E＝∠E， ∴△ECG∽△EBA， ∴＝＝， 即＝＝， ∴GE＝6，CG＝， ∴BG＝BE﹣GE＝4， 由（2）知，BG＝KG， ∴KG＝4， 在Rt△BCG中， BC＝＝＝5， ∴BK＝BC+CK＝10， ∵∠BDG＝∠GCK＝90°，∠K＝∠K， ∴△KCG∽△KDB， ∴＝， 即＝， ∴DB＝， ∴線段BD的長為．