2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第04講 分式（含解析）

第04講 分式 1．分式的基本概念 (1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． (2)當B≠0時，分式有意義；當B＝0時，分式無意義；當A＝0 時，分式的值為零. 2．分式的性質(zhì) (1)分式的分子與分母都乘(或除以)一個不為零的整式，分式的值不變，即＝，＝；(M是不等于零的整式) (2)分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變．即＝－＝－＝. 3．最簡分式：如果一個分式的分子與分母沒有公因式，那么這個分式叫做最簡分式． 4．分式的運算 (1)通分：把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母． (2)確定最簡公分母： 確定方法：①取各分式的分母中系數(shù)的最小公倍數(shù)；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的冪取指數(shù)最大的；④所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各分母(或因式)的最高次冪的積即為最簡公分母． (3)約分：把分式中分子與分母的___公因式____約去，這種變形叫做約分，約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)． (4)分式的運算法則： ①加減法： 同分母加減法：±＝__； 異分母加減法：±＝. ②乘除法： ·＝；　÷＝___． ③乘方：()n＝. 考點1： 分式的化簡 【例題1】下列變形錯誤的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】：A選項分子和分母同時除以最大公因式；B選項的分子和分母互為相反數(shù)；C選項分子和分母同時除以最大公因式，D選項正確的變形是所以答案是D選項 考點2： 分式的化簡 【例題2】（2018包頭）化簡；÷（﹣1）=　?。? 【答案】﹣． 【解析】：原式=÷（﹣） =÷ =? =﹣， 故答案為：﹣． 考點3：分式的加減乘除運算 【例題3】先化簡，再求值：÷(a＋2－)，其中a滿足a2－a－6＝0. 【解答】解：原式＝÷ ＝· ＝. ∵a2－a－6＝0，且a≠2，±3，∴a＝3(舍去)或a＝－2. ∴當a＝－2時，原式＝－. 歸納：1.分式化簡時，應(yīng)注意：當自主確定代數(shù)式中字母的取值時，一定要注意所選取的值不能使原分式中的分母為0；另外對于所給值是代數(shù)式時，可考慮整體代入思想計算以達到簡便計算的目的． 2．分式化簡求值的一般步驟： 第一步：若有括號的，先計算括號內(nèi)的運算，括號內(nèi)如果是異分母加減運算時，需將異分母分式通分化為同分母分式運算，然后將分子合并同類項，把括號去掉，簡稱：去括號； 第二步：若有除法運算的，將分式中除號(÷)后面的式子分子、分母顛倒，并把這個式子前的“÷”變?yōu)椤?#215;”，保證幾個分式之間除了“＋、－”就只有“×或·”，簡稱：除法變乘法； 第三步：計算分式乘法運算，利用因式分解、約分來計算乘法運算，簡稱：先算乘法； 第四步：最后按照式子順序，從左到右計算分式加減運算，直到化為最簡形式，簡稱：再算加減； 第五步：將所給數(shù)值代入求值，代入數(shù)值時要注意使原分式有意義，簡稱：代入求值． 一、選擇題： 1. （2018?金華）若分式的值為0，則x的值為（　?。? A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0 【答案】A 【解答】由分式的值為零的條件得x﹣3=0，且x+3≠0， 解得x=3． 故選：A． 2. （2018?臺州）計算，結(jié)果正確的是（　?。? A．1 B．x C． D． 【答案】A 【解答】原式= =1，故選：A． 3. （2019?江蘇揚州?3分）分式可變形為( D ) A. B.- C. D. 【答案】：故選B. 【解析】：分式的分母整體提取負號，則每一個都要變號 4.（2019?河北省?2分）如圖，若x為正整數(shù)，則表示﹣的值的點落在（　?。? A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【解析】∵﹣＝﹣＝1﹣＝ 又∵x為正整數(shù)， ∴≤x＜1 故表示﹣的值的點落在② 5. （2019?四川省達州市?3分）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)…，依此類推，a2019的值是（　?。? A．5 B．﹣ C． D． 【答案】D 【解答】解：∵a1＝5， a2＝＝＝﹣， a3＝＝＝， a4＝＝＝5， … ∴數(shù)列以5，﹣，三個數(shù)依次不斷循環(huán)， ∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝， 故選：D． 二、填空題： 6. （2019?江蘇泰州?3分）若分式有意義，則x的取值范圍是　?。? 【答案】 x≠ 【解答】解：根據(jù)題意得，2x﹣1≠0， 解得x≠． 故答案為：x≠． 7. （2018?襄陽）計算﹣的結(jié)果是　　． 【答案】 【解答】原式= ==，故答案為：． 8. （2018·四川自貢·4分）化簡+結(jié)果是　?。? 【分析】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案． 【解答】解：原式=+ = 故答案為： 9. 先閱讀下面一段文字，然后解答問題： 一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆301支以上（包括301支）可以按批發(fā)價付款；購買300支以下（包括300支）只能按零售價付款．現(xiàn)有學(xué)生小王購買鉛筆，如果給初三年級學(xué)生每人買1支，則只能按零售價付款，需用（m2﹣1）元，（m為正整數(shù)，且m2﹣1＞100）如果多買60支，則可按批發(fā)價付款，同樣需用（m2﹣1）元． 設(shè)初三年級共有x名學(xué)生，則①x的取值范圍是　?。? ②鉛筆的零售價每支應(yīng)為　　元； ③批發(fā)價每支應(yīng)為　　元．（用含x、m的代數(shù)式表示）． 【分析】①關(guān)系式為：學(xué)生數(shù)≤300，學(xué)生數(shù)+60≥301列式求值即可； ②零售價=總價÷學(xué)生實有人數(shù)； ③批發(fā)價=總價÷（學(xué)生實有人數(shù)+60）． 【解答】解：①由題意得： x≤300，x+60≥301， ∴241≤x≤300； ②鉛筆的零售價每支應(yīng)為元； ③批發(fā)價每支應(yīng)為元． 三、解答題： 10. （2018?玉林）先化簡再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣． 【分析】據(jù)分式的運算法則即可求出答案， 【解答】：當a=1+，b=1﹣時， 原式=? =? === 11.（2017張家界）先化簡（1﹣）÷，再從不等式2x﹣1＜6的正整數(shù)解中選一個適當?shù)臄?shù)代入求值． 【分析】先把括號里的式子進行通分，再把后面的式子根據(jù)完全平方公式、平方差公式進行因式分解，然后約分，再求出不等式的解集，最后代入一個合適的數(shù)據(jù)代入即可． 【解答】解：（1﹣）÷=×=， ∵2x﹣1＜6， ∴2x＜7， ∴x＜， 把x=3代入上式得： 原式==4． 12. (2018·遵義)化簡分式(＋)÷，并在2，3，4，5這四個數(shù)中取一個合適的數(shù)作為a的值代入求值． 【解析】：原式＝[－]÷ ＝(－)· ＝· ＝a＋3. ∵a≠－3，2，3， ∴a＝4或a＝5. ∴當a＝4時，原式＝7.(或當a＝5時，原式＝8.) 13. (2018·石家莊模擬)化簡÷－，并求值，其中a與2，3構(gòu)成△ABC的三邊，且a為整數(shù)． 【解析】：原式＝·＋ ＝＋ ＝. ∵a與2，3構(gòu)成△ABC的三邊， ∴1<a<5. 又∵a為整數(shù)， ∴a＝2，3，4. 又∵a≠±2且a≠3，∴a＝4. ∴當a＝4時，原式＝1. 14. 問題探索： （1）已知一個正分數(shù)（m＞n＞0），如果分子、分母同時增加1，分數(shù)的值是增大還是減??？請證明你的結(jié)論． （2）若正分數(shù)（m＞n＞0）中分子和分母同時增加2，3…k（整數(shù)k＞0），情況如何？ （3）請你用上面的結(jié)論解釋下面的問題： 建筑學(xué)規(guī)定：民用住宅窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好，問同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好還是變壞？請說明理由． 【分析】（1）使用作差法，對兩個分式求差，有﹣=，由差的符號來判斷兩個分式的大小． （2）由（1）的結(jié)論，將1換為k，易得答案， （3）由（2）的結(jié)論，可得一個真分數(shù)，分子分母增大相同的數(shù)，則這個分數(shù)整體增大；結(jié)合實際情況判斷，可得結(jié)論． 【解答】解：（1）＜（m＞n＞0） 證明：∵﹣=， 又∵m＞n＞0， ∴＜0， ∴＜． （2）根據(jù)（1）的方法，將1換為k，有＜（m＞n＞0，k＞0）． （3）設(shè)原來的地板面積和窗戶面積分別為x、y，增加面積為a， 由（2）的結(jié)論，可得一個真分數(shù)，分子分母增大相同的數(shù)，則這個分數(shù)整體增大； 則可得：＞， 所以住宅的采光條件變好了． 8