2020年中考數(shù)學考點總動員 第16講 全等三角形（含解析）

第16講　全等三角形 【考點梳理】 全等三角形 (1)性質(zhì)：全等三角形對應邊相等，對應角相等．注意：全等三角形對應線段(中線，高)相等；對應角的平分線相等；全等三角形的周長、面積也相等． (2)判定： ①兩邊和夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)； ②兩角和夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA )； ③兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)； ④三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS)； ⑤斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL). 【高頻考點】 考點1： 全等三角形的性質(zhì)應用 【例題1】（2018?咸寧）已知：∠AOB． 求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB （1）如圖1，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D； （2）如圖2，畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑間弧，交O′A′于點C′； （3）以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所而的弧交于點D′； （4）過點D′畫射線O′B'，則∠A'O'B'=∠AOB． 根據(jù)以上作圖步驟，請你證明∠A'O'B′=∠AOB． 【分析】由基本作圖得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，則根據(jù)“SSS“可證明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得到∠A'O'B′=∠AOB． 【解答】證明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′， 在△OCD和△O′C′D′中 ， ∴△OCD≌△O′C′D′， ∴∠COD=∠C′O′D′， 即∠A'O'B′=∠AOB． 考點2： 全等三角形的判定 【例題2】(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試探究AB，AD，DC之間的等量關系，證明你的結(jié)論； (2)如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關系，證明你的結(jié)論． 【解析】：(1)AD＝DC＋AB. 證明：延長AE交DC的延長線于點F. ∵E是BC的中點，∴CE＝BE. ∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F. ∵∠AEB＝∠FEC， ∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC. ∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE＝∠EAD. ∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F. ∴∠EAD＝∠F. ∴AD＝DF. ∴AD＝DF＝DC＋CF＝DC＋AB. (2)AB＝AC＋CF. 證明：延長AE交DF的延長線于點G. ∵E是BC的中點，∴CE＝BE. ∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G. ∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC. ∴AB＝GC. ∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠FAG. ∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G. ∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG. ∴AB＝CG＝AF＋CF. 考點3： 全等三角形的綜合應用 【例題3】如圖，∠A＝∠B＝50°，P為AB中點，點M為射線AC上(不與點A重合)的任意一點，連接AP，并使MP的延長線交射線BD于點N，設∠BPN＝α. (1)求證：△APM≌△BPN； (2)當MN＝2BN時，求α的度數(shù)； (3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出α的取值范圍． 【解析】：(1)證明：∵P為AB中點， ∴AP＝BP. 在△APM和△BPN中， ∴△APM≌△BPN(ASA)． (2)由(1)的結(jié)論可知：PM＝PN， ∴2PN＝MN. 又∵MN＝2BN，∴PN＝BN. ∴α＝∠B＝50°. (3)40°<α<90°. 【自我檢測】 一、選擇題： 1. 如圖，△ACF≌△BDE，點A、B、C、D在同一條直線上，下列結(jié)論中錯誤的是（　　） A．AF∥BE B．∠ACF=∠DBE C．AB=CD D．CF∥DE 【答案】B 【解答】解：∵△ACF≌△BDE， ∴∠A=∠EBD， ∴AF∥BE，A正確，不符合題意； ∴∠ACF=∠BDE，B錯誤，符合題意； ∴AC=BD， ∴AB=CD，C正確，不符合題意； ∴∠D=∠FCA， ∴CF∥DE，D正確，不符合題意； 故選：B． 2. （2018?成都）如圖，已知∠ABC=∠DCB，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　?。? A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC 【答案】C 【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本選項正確； D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項錯誤； 故選：C． 3. 下列命題：①兩個周長相等的三角形是全等三角形；②兩個周長相等的直角三角形是全等三角形；③兩個周長相等的等腰三角形是全等三角形；④兩個周長相等的等邊三角形是全等三角形．其中，真命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】D 【解析】:A.周長相等的銳角三角形的對應角不一定相等,對應邊也不一定相等,假命題; B.周長相等的直角三角形對應銳角不一定相等, 對應邊也不一定相等,假命題; C.周長相等的等腰三角形對應角不一定相等,對應邊也不一定相等,假命題; D.兩個周長相等的等邊三角形的對應角一定相等,都是60°,對應邊也一定相等,真命題. 故選D. 4. （2018·臺灣·分）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，則∠BAE的度數(shù)為何？（　?。? A．115 B．120 C．125 D．130 【答案】C 【解答】解：∵正三角形ACD， ∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°， ∵AB=DE，BC=AE， ∴△ABC≌△AED， ∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE， ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°， ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°， 故選：C． 5. （2019?山東青島?3分）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB， ∵BF＝BF， ∴△ABF∽△EBF（ASA）， ∴AF＝EF，AB＝BE， ∴AD＝DE， ∵∠ABC＝35°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°， 在△DAB與△DEB中， ∴△ABD≌△EAD（SSS）， ∴∠BED＝∠BAD＝95°， ∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°， 故選：A． 二、填空題： 6. 如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA于D點，PD=6，則P到OB的距離為　 　cm． 【答案】6 【解答】解：如圖，過點P作PE⊥OB， ∵OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD，又PD=6cm， ∴PE=PD=6cm． 故填6． 7. （2019?山東威海?3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，過點C作CE⊥BC，交AD于點E，連接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，則CD＝　3　． 【答案】3 【解答】解：如圖，延長BC、AD相交于點F， ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝∠FCE＝90°， ∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE， ∴△EBC≌△EFC（ASA）， ∴BC＝CF， ∵AB∥DC， ∴AD＝DF， ∴DC=3． 故答案為：3． 8. （2018?金華）如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于點F，請?zhí)砑右粋€條件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是　 ． 【答案】AC=BC． 【解答】解：添加AC=BC， ∵△ABC的兩條高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中， ∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案為：AC=BC． 9. （2017山東濱州）如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數(shù)為 。 【答案】3 【解答】解：如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO=∠PFO=90°， ∴∠EPF+∠AOB=180°， ∵∠MPN+∠AOB=180°， ∴∠EPF=∠MPN， ∴∠EPM=∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴PE=PF， 在△POE和△POF中， ， ∴△POE≌△POF， ∴OE=OF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN， ∴EM=NF，PM=PN，故（1）正確， ∴S△PEM=S△PNF， ∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故（3）正確， ∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正確， MN的長度是變化的，故（4）錯誤，故為3個。 三、解答題： 10. (2018·陜西)如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB，CD上的點，且EC∥BF，連接AD，分別與EC，BF相交于點G，H.若AB＝CD，求證：AG＝DH. 證明：∵AB∥CD，EC∥BF， ∴四邊形BFCE是平行四邊形，∠A＝∠D. ∴∠BEC＝∠BFC，BE＝CF， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD，∴AE＝DF. ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 11. （2019湖南益陽8分）已知，如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求證：△ABC≌△EAD． 【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，證得∠CAB＝∠E，再結(jié)合已知條件AB＝AE，可利用AAS證得△ABC≌△EAD． 【解答】證明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110° 又∵∠D＝110° ∴∠ACB＝∠D ∵AB∥DE ∴∠CAB＝∠E ∴在△ABC和△EAD中 ∴△ABC≌△EAD（AAS）． 12. （2018湖北荊州）（8.00分）如圖，對折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合，得到折痕MN，將紙片展平；再一次折疊，使點D落到MN上的點F處，折痕AP交MN于E；延長PF交AB于G．求證： （1）△AFG≌△AFP； （2）△APG為等邊三角形． 【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得到M、N分別為AD、BC的中點，利用平行線分線段成比例得到F為PG的中點，再由折疊的性質(zhì)得到AF垂直于PG，利用SAS即可得證； （2）由（1）的全等三角形，得到對應邊相等，利用三線合一得到∠2=∠3，由折疊的性質(zhì)及等量代換得到∠PAG為60°，根據(jù)AP=AG且有一個角為60°即可得證． 【解答】證明：（1）由折疊可得：M、N分別為AD、BC的中點， ∵DC∥MN∥AB， ∴F為PG的中點，即PF=GF， 由折疊可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2， 在△AFP和△AFG中， ， ∴△AFP≌△AFG（SAS）； （2）∵△AFP≌△AFG， ∴AP=AG， ∵AF⊥PG， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°， ∴△APG為等邊三角形． 13. 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE，連接BD，CE交于點F. (1)求證：△ABD≌△ACE； (2)求∠ACE的度數(shù)； (3)求證：四邊形ABFE是菱形． 【解析】：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得∠BAC＝∠DAE＝40°，∠BAD＝∠CAE＝100°， 又∵AB＝AC， ∴AB＝AC＝AD＝AE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． (2)∵∠CAE＝100°，AC＝AE，∴∠ACE＝(180°－∠CAE)＝×(180°－100°)＝40°. (3)證明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°. ∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝140°， ∴∠BFE＝360°－∠BAE－∠ABD－∠AEC＝140°. ∴∠BAE＝∠BFE.∴四邊形ABFE是平行四邊形． ∵AB＝AE，∴四邊形ABFE是菱形． 14. 如圖1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為直角邊，A為直角頂點，在AD左側(cè)作等腰直角△ADF，連接CF. (1)當點D在線段BC上時(不與點B重合)，線段CF和BD的數(shù)量關系與位置關系分別是什么？請給予證明； (2)當點D在線段BC的延長線上時，(1)的結(jié)論是否仍然成立？請在圖2中畫出相應的圖形，并說明理由． 【點撥】　可證明△ACF≌△ABD，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得CF＝BD，CF⊥BD. 【解答】　解：(1)CF＝BD，且CF⊥BD. 證明：∵∠FAD＝∠CAB＝90°，∴∠FAC＝∠DAB. 在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD(SAS)． ∴CF＝BD，∠FCA＝∠DBA. ∴∠FCD＝∠FCA＋∠ACD＝∠DBA＋∠ACD＝90°，即FC⊥CB. 綜上，CF＝BD，且CF⊥BD. (2)(1)的結(jié)論仍然成立． ∵∠CAB＝∠DAF＝90°， ∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠CAF＝∠BAD. 在△ACF和△ABD中，∴△ACF≌△ABD(SAS)． ∴CF＝BD，∠ACF＝∠B. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°. ∴∠BCF＝∠ACF＋∠ACB＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BD. 綜上，CF＝BD，且CF⊥BD. 15. （2019?河北省?9分）如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側(cè)，I為△APC的內(nèi)心． （1）求證：∠BAD＝∠CAE； （2）設AP＝x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值； （3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值． 【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如圖1） ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x 當AD⊥BC時，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3為PD的最大值． （3）如圖2，設∠BAP＝α，則∠APC＝α+30°， ∵AB⊥AC ∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I為△APC的內(nèi)心 ∴AI、CI分別平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠PAC+∠PCA） ＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105° ∵0＜α＜90°， ∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150． 14