2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第16講 全等三角形(含解析)
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2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第16講 全等三角形(含解析)
第16講 全等三角形
【考點(diǎn)梳理】
全等三角形
(1)性質(zhì):全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.注意:全等三角形對(duì)應(yīng)線段(中線,高)相等;對(duì)應(yīng)角的平分線相等;全等三角形的周長(zhǎng)、面積也相等.
(2)判定:
①兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS);
②兩角和夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA );
③兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS);
④三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS);
⑤斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL).
【高頻考點(diǎn)】
考點(diǎn)1: 全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用
【例題1】(2018?咸寧)已知:∠AOB.
求作:∠A'O'B',使∠A'O′B'=∠AOB
(1)如圖1,以點(diǎn)O為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交OA,OB于點(diǎn)C、D;
(2)如圖2,畫一條射線O′A′,以點(diǎn)O′為圓心,OC長(zhǎng)為半徑間弧,交O′A′于點(diǎn)C′;
(3)以點(diǎn)C′為圓心,CD長(zhǎng)為半徑畫弧,與第2步中所而的弧交于點(diǎn)D′;
(4)過(guò)點(diǎn)D′畫射線O′B',則∠A'O'B'=∠AOB.
根據(jù)以上作圖步驟,請(qǐng)你證明∠A'O'B′=∠AOB.
【分析】由基本作圖得到OD=OC=O′D′=O′C′,CD=C′D′,則根據(jù)“SSS“可證明△OCD≌△O′C′D′,然后利用全等三角形的性質(zhì)可得到∠A'O'B′=∠AOB.
【解答】證明:由作法得OD=OC=O′D′=O′C′,CD=C′D′,
在△OCD和△O′C′D′中
,
∴△OCD≌△O′C′D′,
∴∠COD=∠C′O′D′,
即∠A'O'B′=∠AOB.
考點(diǎn)2: 全等三角形的判定
【例題2】(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中點(diǎn),若AE是∠BAD的平分線,試探究AB,AD,DC之間的等量關(guān)系,證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,E是BC的中點(diǎn),若AE是∠BAF的平分線,試探究AB,AF,CF之間的等量關(guān)系,證明你的結(jié)論.
【解析】:(1)AD=DC+AB.
證明:延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
∵E是BC的中點(diǎn),∴CE=BE.
∵AB∥DC,∴∠BAE=∠F.
∵∠AEB=∠FEC,
∴△AEB≌△FEC,∴AB=FC.
∵AE是∠BAD的平分線,∴∠BAE=∠EAD.
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠F.
∴∠EAD=∠F.
∴AD=DF.
∴AD=DF=DC+CF=DC+AB.
(2)AB=AC+CF.
證明:延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
∵E是BC的中點(diǎn),∴CE=BE.
∵AB∥DC,∴∠BAE=∠G.
∵∠AEB=∠GEC,∴△AEB≌△GEC.
∴AB=GC.
∵AE是∠BAF的平分線,∴∠BAG=∠FAG.
∵AB∥CD,∴∠BAG=∠G.
∴∠FAG=∠G.∴FA=FG.
∴AB=CG=AF+CF.
考點(diǎn)3: 全等三角形的綜合應(yīng)用
【例題3】如圖,∠A=∠B=50°,P為AB中點(diǎn),點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn),連接AP,并使MP的延長(zhǎng)線交射線BD于點(diǎn)N,設(shè)∠BPN=α.
(1)求證:△APM≌△BPN;
(2)當(dāng)MN=2BN時(shí),求α的度數(shù);
(3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,直接寫出α的取值范圍.
【解析】:(1)證明:∵P為AB中點(diǎn),
∴AP=BP.
在△APM和△BPN中,
∴△APM≌△BPN(ASA).
(2)由(1)的結(jié)論可知:PM=PN,
∴2PN=MN.
又∵M(jìn)N=2BN,∴PN=BN.
∴α=∠B=50°.
(3)40°<α<90°.
【自我檢測(cè)】
一、選擇題:
1. 如圖,△ACF≌△BDE,點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.AF∥BE B.∠ACF=∠DBE C.AB=CD D.CF∥DE
【答案】B
【解答】解:∵△ACF≌△BDE,
∴∠A=∠EBD,
∴AF∥BE,A正確,不符合題意;
∴∠ACF=∠BDE,B錯(cuò)誤,符合題意;
∴AC=BD,
∴AB=CD,C正確,不符合題意;
∴∠D=∠FCA,
∴CF∥DE,D正確,不符合題意;
故選:B.
2. (2018?成都)如圖,已知∠ABC=∠DCB,添加以下條件,不能判定△ABC≌△DCB的是( ?。?
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC C.AC=DB D.AB=DC
【答案】C
【解答】解:A、∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合AAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC,符合ASA,即能推出△ABC≌△DCB,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、∠ABC=∠DCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出△ABC≌△DCB,故本選項(xiàng)正確;
D、AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC,符合SAS,即能推出△ABC≌△DCB,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:C.
3. 下列命題:①兩個(gè)周長(zhǎng)相等的三角形是全等三角形;②兩個(gè)周長(zhǎng)相等的直角三角形是全等三角形;③兩個(gè)周長(zhǎng)相等的等腰三角形是全等三角形;④兩個(gè)周長(zhǎng)相等的等邊三角形是全等三角形.其中,真命題有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【答案】D
【解析】:A.周長(zhǎng)相等的銳角三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等,對(duì)應(yīng)邊也不一定相等,假命題;
B.周長(zhǎng)相等的直角三角形對(duì)應(yīng)銳角不一定相等, 對(duì)應(yīng)邊也不一定相等,假命題;
C.周長(zhǎng)相等的等腰三角形對(duì)應(yīng)角不一定相等,對(duì)應(yīng)邊也不一定相等,假命題;
D.兩個(gè)周長(zhǎng)相等的等邊三角形的對(duì)應(yīng)角一定相等,都是60°,對(duì)應(yīng)邊也一定相等,真命題.
故選D.
4. (2018·臺(tái)灣·分)如圖,五邊形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,則∠BAE的度數(shù)為何?( ?。?
A.115 B.120 C.125 D.130
【答案】C
【解答】解:∵正三角形ACD,
∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°,
∵AB=DE,BC=AE,
∴△ABC≌△AED,
∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠EAD,∠BAC=∠ADE,
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°,
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°,
故選:C.
5. (2019?山東青島?3分)如圖,BD是△ABC的角平分線,AE⊥BD,垂足為F.若∠ABC=35°,∠C=50°,則∠CDE的度數(shù)為( ?。?
A.35° B.40° C.45° D.50°
【答案】A
【解答】解:∵BD是△ABC的角平分線,AE⊥BD,
∴∠ABD=∠EBD,∠AFB=∠EFB,
∵BF=BF,
∴△ABF∽△EBF(ASA),
∴AF=EF,AB=BE,
∴AD=DE,
∵∠ABC=35°,∠C=50°,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=95°,
在△DAB與△DEB中,
∴△ABD≌△EAD(SSS),
∴∠BED=∠BAD=95°,
∴∠ADE=360°﹣95°﹣95°﹣35°=145°,
∴∠CDE=180°﹣∠ADE=35°,
故選:A.
二、填空題:
6. 如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA于D點(diǎn),PD=6,則P到OB的距離為 cm.
【答案】6
【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB,
∵OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,且PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PE=PD,又PD=6cm,
∴PE=PD=6cm.
故填6.
7. (2019?山東威海?3分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC,交AD于點(diǎn)E,連接BE,∠BEC=∠DEC,若AB=6,則CD= 3?。?
【答案】3
【解答】解:如圖,延長(zhǎng)BC、AD相交于點(diǎn)F,
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=∠FCE=90°,
∵∠BEC=∠DEC,CE=CE,
∴△EBC≌△EFC(ASA),
∴BC=CF,
∵AB∥DC,
∴AD=DF,
∴DC=3.
故答案為:3.
8. (2018?金華)如圖,△ABC的兩條高AD,BE相交于點(diǎn)F,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及輔助線),你添加的條件是 .
【答案】AC=BC.
【解答】解:添加AC=BC,
∵△ABC的兩條高AD,BE,
∴∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,
∴∠EBC=∠DAC,
在△ADC和△BEC中,
∴△ADC≌△BEC(AAS),
故答案為:AC=BC.
9. (2017山東濱州)如圖,點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn),且∠MPN與∠AOB互補(bǔ),若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn),則以下結(jié)論:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不變;(3)四邊形PMON的面積不變;(4)MN的長(zhǎng)不變,其中正確的個(gè)數(shù)為 。
【答案】3
【解答】解:如圖作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°,
∴∠EPF+∠AOB=180°,
∵∠MPN+∠AOB=180°,
∴∠EPF=∠MPN,
∴∠EPM=∠FPN,
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,
∴PE=PF,
在△POE和△POF中,
,
∴△POE≌△POF,
∴OE=OF,
在△PEM和△PFN中,
,
∴△PEM≌△PFN,
∴EM=NF,PM=PN,故(1)正確,
∴S△PEM=S△PNF,
∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值,故(3)正確,
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值,故(2)正確,
MN的長(zhǎng)度是變化的,故(4)錯(cuò)誤,故為3個(gè)。
三、解答題:
10. (2018·陜西)如圖,AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AB,CD上的點(diǎn),且EC∥BF,連接AD,分別與EC,BF相交于點(diǎn)G,H.若AB=CD,求證:AG=DH.
證明:∵AB∥CD,EC∥BF,
∴四邊形BFCE是平行四邊形,∠A=∠D.
∴∠BEC=∠BFC,BE=CF,
∴∠AEG=∠DFH.
∵AB=CD,∴AE=DF.
∴△AEG≌△DFH(ASA),
∴AG=DH.
11. (2019湖南益陽(yáng)8分)已知,如圖,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,求證:△ABC≌△EAD.
【分析】由∠ECB=70°得∠ACB=110°,再由AB∥DE,證得∠CAB=∠E,再結(jié)合已知條件AB=AE,可利用AAS證得△ABC≌△EAD.
【解答】證明:由∠ECB=70°得∠ACB=110°
又∵∠D=110°
∴∠ACB=∠D
∵AB∥DE
∴∠CAB=∠E
∴在△ABC和△EAD中
∴△ABC≌△EAD(AAS).
12. (2018湖北荊州)(8.00分)如圖,對(duì)折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合,得到折痕MN,將紙片展平;再一次折疊,使點(diǎn)D落到MN上的點(diǎn)F處,折痕AP交MN于E;延長(zhǎng)PF交AB于G.求證:
(1)△AFG≌△AFP;
(2)△APG為等邊三角形.
【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得到M、N分別為AD、BC的中點(diǎn),利用平行線分線段成比例得到F為PG的中點(diǎn),再由折疊的性質(zhì)得到AF垂直于PG,利用SAS即可得證;
(2)由(1)的全等三角形,得到對(duì)應(yīng)邊相等,利用三線合一得到∠2=∠3,由折疊的性質(zhì)及等量代換得到∠PAG為60°,根據(jù)AP=AG且有一個(gè)角為60°即可得證.
【解答】證明:(1)由折疊可得:M、N分別為AD、BC的中點(diǎn),
∵DC∥MN∥AB,
∴F為PG的中點(diǎn),即PF=GF,
由折疊可得:∠PFA=∠D=90°,∠1=∠2,
在△AFP和△AFG中,
,
∴△AFP≌△AFG(SAS);
(2)∵△AFP≌△AFG,
∴AP=AG,
∵AF⊥PG,
∴∠2=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠2=∠3=30°,
∴∠2+∠3=60°,即∠PAG=60°,
∴△APG為等邊三角形.
13. 如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°,得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)求∠ACE的度數(shù);
(3)求證:四邊形ABFE是菱形.
【解析】:(1)證明:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì),得∠BAC=∠DAE=40°,∠BAD=∠CAE=100°,
又∵AB=AC,
∴AB=AC=AD=AE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)∵∠CAE=100°,AC=AE,∴∠ACE=(180°-∠CAE)=×(180°-100°)=40°.
(3)證明:∵∠BAD=∠CAE=100°,AB=AC=AD=AE,∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°,
∴∠BFE=360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC=140°.
∴∠BAE=∠BFE.∴四邊形ABFE是平行四邊形.
∵AB=AE,∴四邊形ABFE是菱形.
14. 如圖1所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為直角邊,A為直角頂點(diǎn),在AD左側(cè)作等腰直角△ADF,連接CF.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不與點(diǎn)B重合),線段CF和BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么?請(qǐng)給予證明;
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形,并說(shuō)明理由.
【點(diǎn)撥】 可證明△ACF≌△ABD,再利用全等三角形的性質(zhì),可得CF=BD,CF⊥BD.
【解答】 解:(1)CF=BD,且CF⊥BD.
證明:∵∠FAD=∠CAB=90°,∴∠FAC=∠DAB.
在△ACF和△ABD中,∴△ACF≌△ABD(SAS).
∴CF=BD,∠FCA=∠DBA.
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°,即FC⊥CB.
綜上,CF=BD,且CF⊥BD.
(2)(1)的結(jié)論仍然成立.
∵∠CAB=∠DAF=90°,
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠CAF=∠BAD.
在△ACF和△ABD中,∴△ACF≌△ABD(SAS).
∴CF=BD,∠ACF=∠B.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°.
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,即CF⊥BD.
綜上,CF=BD,且CF⊥BD.
15. (2019?河北省?9分)如圖,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,邊AD與邊BC交于點(diǎn)P(不與點(diǎn)B,C重合),點(diǎn)B,E在AD異側(cè),I為△APC的內(nèi)心.
(1)求證:∠BAD=∠CAE;
(2)設(shè)AP=x,請(qǐng)用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;
(3)當(dāng)AB⊥AC時(shí),∠AIC的取值范圍為m°<∠AIC<n°,分別直接寫出m,n的值.
【解答】解:(1)在△ABC和△ADE中,(如圖1)
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴∠BAC=∠DAE
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE
∴∠BAD=∠CAE.
(2)∵AD=6,AP=x,
∴PD=6﹣x
當(dāng)AD⊥BC時(shí),AP=AB=3最小,即PD=6﹣3=3為PD的最大值.
(3)如圖2,設(shè)∠BAP=α,則∠APC=α+30°,
∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°,∠PCA=60°,∠PAC=90°﹣α,
∵I為△APC的內(nèi)心
∴AI、CI分別平分∠PAC,∠PCA,
∴∠IAC=∠PAC,∠ICA=∠PCA
∴∠AIC=180°﹣(∠IAC+∠ICA)=180°﹣(∠PAC+∠PCA)
=180°﹣(90°﹣α+60°)=α+105°
∵0<α<90°,
∴105°<α+105°<150°,即105°<∠AIC<150°,
∴m=105,n=150.
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