基本不等式 教學設計課題

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1、word 根本不等式 〔教學設計〕 一、教材分析 《根本不等式》是人教版高中數(shù)學必修五第三章第四節(jié)的內(nèi)容。它是在學完不等式性質(zhì)，不等式的解法與線性規(guī)劃等知識的根底上，對不等式的進一步研究，同時也為選修1-2中直接證明和間接證明中的有關(guān)不等式證明的問題作好準備，為選修4－5：不等式選講中的幾種重要不等式與不等式的證明做好了鋪墊。在整個知識體系中起到了承上啟下的作用，具有很重要的作用。在課本封面就能表現(xiàn)出來。 根本不等式是從大量數(shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，為今后解決最值問題提供了新的方法，在公式推導中所蘊涵的數(shù)學思想方法如數(shù)形結(jié)合、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均

2、有著廣泛的應用；另外，在解決函數(shù)最值問題中，根本不等式也起著重要的作用。 二、學情分析 在認知上，學生已經(jīng)掌握了不等式的根本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進展數(shù)、式的大小比擬，也具備了一定的平面幾何的根本知識。但是，倘假如教師不加以引導，學生并不能自覺地通過已有的知識、記憶去開展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，這就需要教師逐步地引導，去激活學生的思維，增強數(shù)形結(jié)合的思想意識。 三．教學目標 〔1〕知識與技能: 了解根本〔重要〕不等式證明過程，能在證明過程中分析不等式成立的條件. 知道根本不等式成立的條件，并會求類型的函數(shù)在時的最小值，初步認識 “=〞成立的作用. 會運用根本不等式解決實

3、際問題的最優(yōu)化配置問題. 〔2〕過程與方法：按照創(chuàng)設情景，提出問題→ 根本不等式的探究→根本不等式的分析→根本不等式的 應用的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學生的思維能力，體會數(shù)學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領(lǐng)學生主動探索根本不等式性質(zhì)，體會學習數(shù)學規(guī)律的方法，體驗成功的樂趣。 〔3〕情感態(tài)度與價值觀：在認識趙爽弦圖的過程中，了解中國數(shù)學文化，增強民族自豪感.通過根本不等式在求最值上的應用，體會數(shù)學來源于生活，反響于生活，提高學生學習數(shù)學的興趣，提倡學生樹立科學的節(jié)能減排的環(huán)保理念. 教學重點：應用數(shù)形結(jié)合的思想理解根本不等式，并從不同角度

4、探索根本不等式 的證明過程； 難點：用根本不等式求最大值和最小值 四、教學方法 本節(jié)課采用數(shù)形結(jié)合的思想，引導學生觀察——探究——感知——抽象——歸納；用啟發(fā)誘導、探究合作、講練結(jié)合的教學方法，以學生為主體，以根本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件.幾何畫板以與希沃授課助手作為教學輔助手段，加深學生對根本不等式的理解。 五、學法指導 在教學過程中，以教師為主導，以學生為主體，在教學中引導學生去提出、分析和解決問題。課堂上從實際生活出發(fā)，通過創(chuàng)設問題情境，讓學生經(jīng)歷由實際問題出發(fā)，探求根本不等式，發(fā)現(xiàn)根本不等式的實質(zhì)，利用根本不等式解決實際問題

5、。使學生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解根本不等式。 六、教學工具：多媒體課件，幾何畫板，希沃授課助手 七、教學根本流程 創(chuàng)設問題情境 探究根本不等式 歸納總結(jié)根本不等式 運用根本不等式解決實際問題 課堂小結(jié) 練習提高與作業(yè) 八、教學過程 教師活動 學生活動 設計意圖 一、問題引入: 問題1：請同學們拿出四個全等的直角三角形，同桌合作拼成以斜邊為邊長、外輪廓為正方形的圖形 教師巡視適時給予點撥提示： 利用PPT逐個出示圖片 二、公式探究： 借助幾何畫板動態(tài)演示 問題2：將圖形抽象成右圖所示圖

6、形， 設AF長為a，BF長為b (1)你能用a,b表示大正方形ABCD 的邊長和面積s嗎？ (2)四個直角三角形的面積之和S'是 (3)大正方形的面積S與S'的大小關(guān)系是 (4)它們有相等的情況嗎？ 由于正方形的面積大于4個直角三角形的面積和，得到一個不等式：。 當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，有。 問題3：由圖形得出的結(jié)論只是一個猜測，你能證明你的猜測嗎？總結(jié)上面結(jié)論并證明 證明：〔作差法〕 因為 所以 當且僅當時，等號成立 教師板書： 總結(jié)結(jié)論1

7、：重要不等式 問題4：如果a>0,b>0,我們用、分別代替不等式中的a,b能得到什么結(jié)論？ 替換后得到：， 通常把上式寫作： 總結(jié)結(jié)論2：根本不等式 當且僅當a=b時，等號成立。 問題5：你能從代數(shù)證明的角度證明此不等式嗎？ 問題6：在數(shù)學中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).根本不等式可表示為：兩個非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).剛剛從代數(shù)角度證明了根本不等式的成立，從幾何圖形上能否證明它成立呢？ 借助幾何畫板動態(tài)演示 如圖AB是圓O的直徑，C為AB上一點，過C做直徑的

8、垂線交圓于D、E兩點，設AC=a,BC=b 1.如何用a,b表示OD,CD? 2.你能從圖形中得出OD和CD的大小關(guān)系嗎？ 3.你能給出根本不等式的幾何解釋嗎？ 易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，或利用相交弦定理，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝. 這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即a＝b時，等號成立. 因此：根本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦〞 問題7：根本不等式有何作用呢？ 對于， 〔1〕假如〔定值〕，如此當且僅當時，有最小值； 〔2〕假如〔定值〕，如此當且僅當時，有最大值． l l 同桌合作動手擺出圖形,

9、并將小組作品投影展示 小組合作結(jié)合所拼會標圖形，小組代表回答本組答案，得出不等式以與等號成立的條件 學生用作差法口述證明重要不等式 觀察重要不等式的結(jié)構(gòu)特點 由換元替代的方法，直接得出根本不等式 .. 類比前面的證明方法，學生用作差法口述證明根本不等式 小組合作討論，學生回答，根據(jù)按鈕拖動直觀地觀察CD與OD的大小關(guān)系

10、. 學生總結(jié)變形式，分析根本不等式在求函數(shù)最值中的作用 〞會標〞的了解,感受中國人的智慧和華夏民族熱情好客的優(yōu)良傳統(tǒng). 利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式學生體會如何從實驗中發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法, 通過證明過程發(fā)現(xiàn)不等式成立的條件，加深學生對知識的理解. 培養(yǎng)學生從特殊到一般的數(shù)學思想方法 此處采用了換元法，也為后面利用根本不等式求最值奠定根底. 通過證明過程發(fā)現(xiàn)根本不等式成立的條件，加深學生對知識的理解

11、 培養(yǎng)學生團結(jié)合作精神以與數(shù)形結(jié)合的意識，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合地分析問題的習慣. 培養(yǎng)學生觀察概括能力，結(jié)論的得出發(fā)揮學生自主能動性 三 、根本不等式應用 問題8：應用1 變式練習： 問題9：應用2 學生觀察指出錯誤，體會不等式成立的條件的重要性. 總結(jié)出一正二定三相等的特點 學生獨立完成，并將優(yōu)秀作業(yè)投影 思考、運用根本不等式解決問題

12、 根本不等式成立的條件學生往往易無視，在應用方面仍存在不仔細的現(xiàn)象，所以這里用易出錯的題目進展強調(diào).另外此處繼續(xù)鞏固用換元的方法思考問題； 變式練習將兩個正數(shù)變?yōu)椴换榈箶?shù)的情況,使學生能舉一反三解決問題. 1. 使學生利用根本不等式解決簡單的實際問題； 2. 嘗試運用數(shù)學知識解決實際問題，樹立科學的節(jié)能減排意識和環(huán)保意識.體會在市場經(jīng)濟下，運用所學數(shù)學知識優(yōu)化生活中的一些問題的重要性. 四、知識梳理，體會研究價值 問題10：本節(jié)課主要學習了什么內(nèi)容？什么數(shù)學思想方法？ 由學生總結(jié)學習的內(nèi)容，指出本節(jié)

13、課所經(jīng)歷的知識探究過程和數(shù)形結(jié)合的思想。 通過總結(jié)，培養(yǎng)學生數(shù)學交流和表達的能力，養(yǎng)成與時總結(jié)的良好習慣，并將所學知識與方法納入已有的認知結(jié)構(gòu)，提升情感、態(tài)度、價值觀目標. 五、目標檢測設計 設計意圖：〔1〕采用幾道簡單的求最值的問題，檢測學生對根本不等式內(nèi)容的掌握和使用情況 〔2〕課后思考為學有余力的學生準備，同時也為下一節(jié)的學習做好鋪墊，也達到分層教學的目的。 九、教學反思 1. 逐層鋪墊，降低難度 由具體到一般，建立實際生活中的圖形與不等式的聯(lián)系，然后歸納出重要不等式和根本不等式與其取等號的條件． 2. 恰當使用信息技術(shù) 恰當?shù)厥褂枚嗝襟w課件.幾何畫板.希沃教學

14、助手，讓學生直觀形象地理解問題，了解知識的形成過程. 3. 采用“啟發(fā)—探究—討論〞教學模式 精心設置一個個問題鏈，給每個學生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的機會. 4.適時滲透德育內(nèi)容 抓住教材中趙爽弦圖，弘揚中國的數(shù)學文化，贊揚華夏民族熱情好客的優(yōu)良傳統(tǒng).并與學生共享，一定能提升學生科學的態(tài)度和良好的學習品質(zhì)，定能將民族精神滲透到日常的教學中.通過對教材例1的題后反思，使學生樹立科學的節(jié)能減排的環(huán)保意識，從教學效果上看，德育內(nèi)容的充實使數(shù)學課堂更“厚實〞，更符合新課改的理念.從德育效果上看，學生自己“悟〞出來的道理要遠遠好于“說教〞的效果. 由于學生根底較薄弱，本節(jié)課課堂氣氛沒有達到預期效果，我只調(diào)動起了大局部學生，仍有局部學生反響較吃力，因此，在以后的教學中，要因材施教，教學設計盡量達到面向全體學生。總之，上完本節(jié)課收獲頗豐，我不但認識了德育在學科教學之中的重要性，還探索出一些教學方法，提升了課堂教學中落實教學育人的能力. 13 / 13