破解圖形中變幻莫測的陰影

破解圖形中變幻莫測的“陰影” 朱詠松 (南通市虹橋二中 226006) 近年來的中考數(shù)學(xué)試卷中，圍繞圖形面積而展開的試題漸多起來，并以它奇妙組合與非常變化困擾了不少學(xué)生，也成為學(xué)生心中的一個“陰影”．今天讓我們走進(jìn)“陰影”，一起來探尋它的破解方法． 一、直接公式法 〖例 1〗如圖，正六邊形與正十二邊形內(nèi)接于同一個⊙O中，已知外接圓的半徑為2，則陰影部分面積為 ． 〖分析〗本圖的陰影很明顯是由六個全等的等腰三角形所構(gòu)成，只要求出一個等腰三角形的面積即可．等腰三角形是一個特殊的幾何圖形，求面積時通常首選“直接用公式”． 〖解答〗連結(jié)OA、OB、OC，則OC⊥AB． 由圓內(nèi)接正六邊形得等邊△ABO，則∠BAO=60º，AB=OA=2， 在⊙O中，OD⊥AB，則AD=AB=1，由勾股定理得OD=， ∴CD=2-，S△ABC=AB·CD=2-，∴S陰=6S△ABC=12-6． 〖例 2〗如圖，AB是同心圓中大圓的弦，且與小圓相切于C點(diǎn)，若AB=8cm，則圖中的陰影部分面積為 ． 〖分析〗本題是求一個圓環(huán)的面積，顯然是用大圓面積減去小圓面積．但題中并沒有給出大、小圓的半徑，只有大圓的弦AB的長，怎么辦呢？ 〖解答〗連結(jié)OB，OC，由AB為小圓的切線，∴OC⊥AB， 在大圓中得BC=AB=4，由勾股定理知OB 2 -OC 2=BC 2=16， 由S陰=S大圓-S小圓=πOB 2 - OC 2=π（OB 2 -OC 2）=16π 【小結(jié)】“直接公式法”通常是針對一些特殊的規(guī)則圖形，且易于直接用公式來表示的問題．但這里也藏著一定的變化，命題者經(jīng)常會將直接需要的量隱藏在其它條件之中，這就要我們善于探尋這些條件間的聯(lián)系． 二、面積組合法 〖例 3〗在Rt△ABC中，∠ACB=90º，S△ABC =30cm2，分別以AC、BC、AB為直徑所作的圓構(gòu)成如圖所示的圖形，則圖中的陰影部分面積 為 ． 〖分析〗本題所示的陰影部分的構(gòu)成顯然是：S陰=S⊙M+S⊙N+S△ABC-S⊙O．但題中只給出了△ABC的面積，沒有△ABC的三邊的具體長度，其中有什么奧妙呢？ 〖解答〗由S陰=S⊙M+S⊙N+S△ABC -S⊙O = π[+-]+30 =π+30=30（cm2）． 此外，從本題條件分析可知，“陰影部分面積”與“此三角形的具體邊長”沒有什么關(guān)系，只要此三角形面積一定，它的值就是定值．故本題也可自取一組合適的邊長（如AB=5cm，AC=12cm，則BC=13cm），代入上面所列的面積組合中進(jìn)行計算． 〖例 4〗如圖，⊙Q內(nèi)切與扇形OAB，若扇形OAB的半徑為6cm， 圓心角為60º，則圖中陰影部分的面積為 ． 〖分析〗本題所示的陰影部分組合為：S陰=S扇形OAB-S⊙Q．扇形OAB的面積很好解決，⊙Q的面積關(guān)鍵在于半徑，如何來求它的半徑呢？ 〖解答〗連結(jié)QC、QD、QE，設(shè)⊙Q的半徑為r． ∵OA、OB切⊙Q與D、E，且∠AOB =60º ∴∠QOE =30º 在Rt△OQE中，∠OEQ =90º，∠QOE =30º ∴OQ =2EQ =2r 由⊙O與⊙Q內(nèi)切于點(diǎn)C ∴OC=OQ+QC 即3 r=6 則r=2 S陰=S扇形OAB-S⊙Q=（cm2）． 〖例 5〗 如圖，五邊形ABCDE的邊長都大于2，分別以A、B、C、D、E為圓心作半徑為1的圓，則圖中陰影部分的面積為 ． 〖分析〗本題既可以直接看成是五個陰影扇形面積之和，也可以看成五個等圓的面積和減去五個空白扇形面積和．但這五邊形是任意的，我們不知道每個內(nèi)角的具體度數(shù)，怎么辦呢？ 〖解答〗因?yàn)槲暹呅蔚膬?nèi)角和為540º， 則這五個空白扇形的面積之和為：； 所以 S陰 =． 【小結(jié)】“面積組合法”是求陰影部分面積中最常用的一種方法，它既考查了學(xué)生對常見幾何圖形面積公式的認(rèn)識，又考查了學(xué)生對幾何圖形的拆解組合能力，還考查了學(xué)生對求解中未知條件分析應(yīng)變能力．故而這種方法是我們在學(xué)習(xí)中要特別關(guān)注的． 三、等積形補(bǔ)法 〖例 6〗如圖，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，以D為圓心，DC為半徑作弧交DA延長線與E，交AB于F，若F點(diǎn)恰為CE的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 ． 〖分析〗本題這兩塊陰影面積連結(jié)DF后，可以分別用“面積組合法”求出．雖不難，但計算過程還是有些繁的，有沒有更好的方法呢？ 〖解答〗過F點(diǎn)作FG⊥CD于G， 因?yàn)辄c(diǎn)F點(diǎn)恰為CE的中點(diǎn)，且FA⊥DE，F(xiàn)G⊥DC， 由圖形的對稱性可知：圖中E、A、F構(gòu)成的封閉區(qū)域與C、G、F構(gòu) 成的封閉區(qū)域是全等的，所以它們的面積也相等， ∴S陰 =S矩形BCGF=（cm2）． 〖例 7〗如圖，⊙O的半徑為6cm，AB是⊙O中的弦，且與半徑相等，OC∥AB，則圖中的陰影部分面積為 ． 〖分析〗本題可以把陰影部分拆分為一個弓形與一個三角形分別計算，有沒有更好的選擇呢？ 〖解答〗過O作OG⊥AB，過C作CH⊥AB， ∵OC∥AB ∴OG=CH（平行線間的距離處處相等） 由△OAB與△CAB同底等高，得S△OAB =S△CAB ∴S陰 =S扇形OAB=（cm2）． 〖例 8〗⊙A、⊙B、⊙C、⊙D是四個半徑為5cm的等圓，位置如圖所示，則圖中的陰影部分面積為 ． 〖分析〗本題陰影部分中的⊙B面積好求，但三個兩兩外切的圓的中間部分面積計算起來有些費(fèi)力，能不能不走此路解決問題呢？ 〖解答〗如圖，延長AB，CB交⊙B與F、E，則S陰 =S菱形ABCD ∵⊙A、⊙B、⊙C、⊙D的半徑都為5cm，AB=10cm，∠A=60º ∴S陰 =S菱形ABCD =（cm2）． 【小結(jié)】“等積形補(bǔ)法”可以看作是一種技巧性解題手段．通過“等積形補(bǔ)”，它能把一些不規(guī)則的，復(fù)雜的圖形變成常用的標(biāo)準(zhǔn)圖形，從而減少了繁雜的計算，提高了解答的正確率．因?yàn)檫@類問題能夠充分考查學(xué)生對圖形的辨析能力，思路寬，解題方法多，十分吻合新課程改革的要求，故倍受命題人青睞． 四、單位面積法 〖例 9〗圖中的虛線網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，若每個小正方形的面積都為1，則陰影部分面積為 ． 〖分析〗正方形網(wǎng)格是這類問題中最常用的一種，這里主要用圖形的切割或外擴(kuò)成矩形進(jìn)行面積組合． 〖解答〗如圖把ABCD外擴(kuò)入一個矩形之中， 則S陰 =S矩形EFCG-S△EAB-S△BCF-S△CDG-S△DEA ． 〖例10〗圖中的虛線網(wǎng)格是正三角形網(wǎng)格，四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，若每個小正三角形的面積都為1，則陰影部分面積為 ． 〖分析〗正三角形網(wǎng)格是正形網(wǎng)格的一種變形，解題的手法與正方形網(wǎng)格相似，但在組合時通常沿網(wǎng)格線進(jìn)行切割，一般可擴(kuò)成等腰梯形或平行四邊形． 〖解答〗如圖把ABCD外擴(kuò)入一個等腰梯形之中， 則S陰 =S梯形AMNP-S△MAB-S△BCN-S△CDN-S△DPA． 【小結(jié)】“單位面積法” 是針對網(wǎng)格面積問題的一種重要解題手段．這里關(guān)鍵是要充分利用構(gòu)成網(wǎng)格的單位圖形，把要求的陰影圖形依托網(wǎng)格線進(jìn)切割或外擴(kuò)，并把所分割出來的圖形與單位圖形行面積對比，從而解決問題． 以上所介紹的四種方法是處理陰影圖形面積的主要方法．在此要提醒的是，解題時還需要注意認(rèn)真審題，拾階而上，切不可把簡單問題復(fù)雜化．