蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 軸對(duì)稱(chēng)圖形學(xué)案（無(wú)答案）

蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 軸對(duì)稱(chēng)圖形 學(xué)員姓名： 年 級(jí)： 八年級(jí) 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 授課日期 授課時(shí)段 - 授課主題 軸對(duì)稱(chēng) 教學(xué)目標(biāo) 軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，線(xiàn)段、角軸對(duì)稱(chēng)，等腰、等邊、直角三角形軸對(duì)稱(chēng)性 教學(xué)重難點(diǎn) 軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容 【知識(shí)梳理】 一、軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別 1.軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果沿某條直線(xiàn)對(duì)折，對(duì)折的兩部分能夠完全重合，那么就稱(chēng)這樣的圖形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸； 注：軸對(duì)稱(chēng)圖形是“一個(gè)圖形”，一個(gè)具有特殊形狀的圖形 2.軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿某一條直線(xiàn)折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線(xiàn)就是對(duì)稱(chēng)軸，兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)； 注：軸對(duì)稱(chēng)是指“兩個(gè)圖形”的位置關(guān)系 3. 軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)： （1）關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形； （2）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線(xiàn)被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分； （3）軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或延長(zhǎng)線(xiàn)相交，交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上 二、線(xiàn)段和角的軸對(duì)稱(chēng)性 1.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn) 2.垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)： （1）線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； （2）和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。 注：線(xiàn)段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是它的垂直平分線(xiàn)。 3.角平分線(xiàn)：從角的頂點(diǎn)出發(fā)并且平分這個(gè)角的射線(xiàn)稱(chēng)為這個(gè)角的角平分線(xiàn) 4.角平分線(xiàn)的性質(zhì)： （1） 角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； （2） 到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上。 注：角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是它的角平分線(xiàn)。 三、 等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性 1.等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊叫腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角； 2.等腰三角形的性質(zhì)： （1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）. （2）等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合.（三線(xiàn)合一） （3）等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，底邊上的中線(xiàn)（頂角平分線(xiàn)、底邊上的高）所在直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸. 3.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等（“等角對(duì)等邊”）； 4.等邊三角形的定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形； 注：等邊三角形是一種特殊的等腰三角形 5. 等邊三角形的性質(zhì)： （1） 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，并且每個(gè)角都等于60度； （2） 等邊三角形每一條邊上都是三線(xiàn)合一； 6. 等邊三角形的判定： （1） 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； （2） 有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。 7. 直角三角形的性質(zhì)： （1） 直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半。 典例精講： 軸對(duì)稱(chēng)： 例1：下列圖形中，△A′B′C′與△ABC關(guān)于直線(xiàn)MN成軸對(duì)稱(chēng)的是（　?。? A． B． C． D． 練習(xí)：如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，請(qǐng)你找出格紙中所有與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)且以格占為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有______個(gè)，請(qǐng)?jiān)谙旅嫠o的格紙中一一畫(huà)出．（所給的六個(gè)格紙未必全用）． 軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念 例2：下列交通標(biāo)志中，成軸對(duì)稱(chēng)圖形的是(　　) A． B． C． D． 練習(xí)：用四塊如圖①所示的正方形瓷磚拼成一個(gè)新的正方形，使拼成的圖案是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．請(qǐng)你在圖②、圖③、圖④中各畫(huà)一種拼法（要求三種拼法各不相同）． 例3：把一張正方形紙片如圖① 、圖②對(duì)折兩次后，再如圖③挖去一個(gè)三角形小孔，則展開(kāi)后圖形是 請(qǐng)你畫(huà)出展開(kāi)后的圖形（折痕用虛線(xiàn)畫(huà)出） ． 練習(xí)：通過(guò)找出這組圖形符號(hào)中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律,在橫線(xiàn)上填上恰當(dāng)?shù)膱D形. 軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) 例4：下列結(jié)論正確的是 （ ） A． 全等的兩個(gè)的圖形一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形 B． 全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱(chēng) C． 成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形不一定全等 D． 成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等 練習(xí)：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4 cm，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______cm2． 垂直平分線(xiàn) 例1：下列說(shuō)法中正確的是 （ ） A． 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)就是垂直于線(xiàn)段的直線(xiàn) B． 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)就是過(guò)該線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn) C． 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)就是垂直于該線(xiàn)段且過(guò)該線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn) D． 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)有無(wú)數(shù)條 練習(xí)：在軸對(duì)稱(chēng)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)段被 垂直平分. 作圖 例2：如圖：已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等． 練習(xí)：近年來(lái)，國(guó)家實(shí)施“村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計(jì)劃在張村、李村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P，張、李兩村座落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）.醫(yī)療站必須滿(mǎn)足下列條件：①使其到兩公路距離相等；②到張、李兩村的距離也相等，請(qǐng)你通過(guò)作圖確定P點(diǎn)的位置。 變式： 近年來(lái),國(guó)家實(shí)施村村通工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革,某縣計(jì)劃在張村,李村與王村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P,張,李,王村坐落在兩相交公路內(nèi)【如圖所示】，醫(yī)療站必須滿(mǎn)足下列條件，到張,李,王村的距離都相等,請(qǐng)你通過(guò)作圖確定P點(diǎn)的位置. 線(xiàn)段的軸對(duì)稱(chēng)性 例3:點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，PA=7，則PB= 。 練習(xí)：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別使點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接M、N分別交OA、OB于E、F兩點(diǎn),若△PEF的周長(zhǎng)是20cm，求MN的長(zhǎng). 角的軸對(duì)稱(chēng)性 :例4：已知:如圖AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=DC求證BE=DF 練習(xí)：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，點(diǎn)O為∠ABC與∠CAB的平分線(xiàn)的交點(diǎn)．你能求出點(diǎn)O到邊AB的距離嗎？是多少？ 例5：如圖，△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分別以A、B為圓心，4為半徑畫(huà)弧交于兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，連接BD，則△BCD的周長(zhǎng)是______． 等腰三角形的性質(zhì) 例1：如圖，等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠A=40°，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于( ) A、20° B、70° C、40° D、30° 練習(xí)：1、若等腰三角形的一個(gè)外角為70°，則它的底角為 . 2、如圖，點(diǎn)M是等腰三角形ABC底邊的中點(diǎn)，MD⊥AB，ME⊥AC，請(qǐng)問(wèn)DM和EM相等嗎？ 等腰三角形的判定： 例2：如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為 等邊三角形的概念、性質(zhì)及判定 例3:1、下列說(shuō)法：①有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線(xiàn)的等腰三角形是等邊三角形；④三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.其中正確的有（ ） A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 2、如圖，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F． （1）求證：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度數(shù)． 直角三角形的性質(zhì) 例4：如圖，已知在△ABC中，BE,CF分別是AC，AB邊上的高，D是BC邊上的中點(diǎn)，試說(shuō)明DE=DF。 例5：如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)． （1）若四邊形AEDF的周長(zhǎng)為24，AB=15，求AC的長(zhǎng)； （2）求證：EF垂直平分AD． 1.等腰三角形底邊上的高與底邊的比是1：2，則它的頂角等于（　　） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 2.下列性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（   ） A.內(nèi)角和等于180° B.有一個(gè)角的平分線(xiàn)垂直于這個(gè)角的對(duì)邊 C.有兩個(gè)銳角的和等于90° D.有兩條邊的平方和等于第三條邊的平方 3.如圖，在矩形紙片 中， ，點(diǎn) 在邊 上，將 沿直線(xiàn) 折疊，點(diǎn) 恰好落在對(duì)角線(xiàn) 上的點(diǎn) 處，若 ，則 的長(zhǎng)是（  ） A. B.6 C.4 D.5 4.如圖，已知點(diǎn)P是∠AOB角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中點(diǎn)，DM=4cm，如果點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值為（　　） A.2 B.2 C.4 D.4 5.如圖，在△ABC中（AB＜BC），在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分線(xiàn)與AD相交于點(diǎn)P，連接PC，若△ABC的面積為3，則△BPC的面積為_(kāi)_______  6.如圖（1），在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，點(diǎn)D、E分別在線(xiàn)段BA、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AD=AC，BE=BC，則∠DCE= ； （2）如圖（2），在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，點(diǎn)D、E分別在邊AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)； （3）在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，點(diǎn)D、E分別在直線(xiàn)AB上，且AD=AC，BE=BC，則∠求DCE的度數(shù)（直接寫(xiě)出答案）； （4）如圖（3），在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，點(diǎn)D、E在直線(xiàn)AB上，且AD=AC，BE=BC．請(qǐng)根據(jù)題意把圖形補(bǔ)畫(huà)完整，并在圖形的下方直接寫(xiě)出△DCE的面積．（如果有多種情況，圖形不夠用請(qǐng)自己畫(huà)出，各種情況用一個(gè)圖形單獨(dú)表示）． 軸對(duì)稱(chēng)有哪些性質(zhì)？ 你對(duì)本章還有什么疑問(wèn)？ 課后作業(yè)： 1．下列命題中：①兩個(gè)全等三角形合在一起是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；②等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是底邊上的中線(xiàn)；③等邊三角形一邊上的高就是這邊的垂直平分線(xiàn)；④一條線(xiàn)段可以看著是以它的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形. 正確的說(shuō)法有（　?。﹤€(gè) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．下列圖形中：①平行四邊形；②有一個(gè)角是30°的直角三角形；③長(zhǎng)方形；④等腰三角形. 其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形有（　?。﹤€(gè) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 3．已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，P1與P關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，P2與P關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，則△P1OP2是 （　?。? A．含30°角的直角三角形； B．頂角是30的等腰三角形； C．等邊三角形 D．等腰直角三角形. P A E C B D 4．如圖：等邊三角形ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則 ∠APE的度數(shù)是 （　　） A．45° B．55°　　 C．60° D．75° 5. 下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是（　?。? A．等腰三角形兩底角相等 B．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)、頂角的平分線(xiàn)互相重合 C．等腰三角形是中心對(duì)稱(chēng)圖形 D．等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 6．已知點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)外，則 （　?。? A．PA+PB＞QA+QB B．PA+PB＜QA+QB D．PA+PB＝QA+QB D．不能確定 7．已知△ABC與△A1B1C1關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)，且BC與B1C1交與直線(xiàn)MN上一點(diǎn)O， 則 （　?。? A．點(diǎn)O是BC的中點(diǎn) B．點(diǎn)O是B1C1的中點(diǎn) B A D P O C C．線(xiàn)段OA與OA1關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng) D．以上都不對(duì) 8．如圖：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA，若PC=4，則PD=　（ ） 　A．4 B．3 C．2 D．1 9．∠AOB的平分線(xiàn)上一點(diǎn)P到OA的距離 為5，Q是OB上任一點(diǎn)，則 （　?。? A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5 10．等腰三角形的周長(zhǎng)為15cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm．則該等腰三角形的底長(zhǎng)為 （　?。? 　A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm 11．線(xiàn)段軸是對(duì)稱(chēng)圖形，它有_______條對(duì)稱(chēng)軸． 12．等腰△ABC中，若∠A=30°，則∠B=________． 13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，則點(diǎn)D到AB的距離是__________． 14．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，則腰AB上的高等于___________． 15．如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)，它們的交點(diǎn)為F，則圖中等腰三角形有___________個(gè)． 16．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，則∠BAC= °___________． 17．若D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且AD=BD，AB=AC=CD，則∠BAC=____________． 18．△ABC中，AB、AC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)E、F，若∠BAC=115°，則∠EAF=___________． A C · ·D O B 19．如圖：已知∠AOB和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等． 20．如圖：AD為△ABC的高，∠B=2∠C，用軸對(duì)稱(chēng)圖形說(shuō)明：CD=AB+BD． A C D B 21．有一本書(shū)折了其中一頁(yè)的一角，如圖：測(cè)得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的長(zhǎng)． 22．如圖：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分線(xiàn)DE交AB、AC于E、D， B C D E A ① 若△BCD的周長(zhǎng)為8，求BC的長(zhǎng)； ② 若BC=4，求△BCD的周長(zhǎng)． 23．等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，問(wèn) △APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論． A C B Q P 24. 如圖1，已知矩形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD． （1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由； （2）保持圖1中△ABC固定不變，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線(xiàn)MN到圖2中（當(dāng)垂線(xiàn)段AD、BE在直線(xiàn)MN的同側(cè)），試探究線(xiàn)段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明； （3）保持圖2中△ABC固定不變，繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線(xiàn)MN到圖3中的位置（當(dāng)垂線(xiàn)段AD、BE在直線(xiàn)MN的異側(cè)）．試探究線(xiàn)段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？并給予證明． 18 / 18