蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊 第2章 軸對稱圖形學(xué)案(無答案)
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蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊 第2章 軸對稱圖形學(xué)案(無答案)
蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊 第2章 軸對稱圖形
學(xué)員姓名: 年 級: 八年級 輔導(dǎo)科目:數(shù)學(xué) 學(xué)科教師:
授課日期
授課時段
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授課主題
軸對稱
教學(xué)目標(biāo)
軸對稱性質(zhì),線段、角軸對稱,等腰、等邊、直角三角形軸對稱性
教學(xué)重難點(diǎn)
軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用
教學(xué)內(nèi)容
【知識梳理】
一、軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別
1.軸對稱圖形:如果沿某條直線對折,對折的兩部分能夠完全重合,那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形,這條直線叫做這個圖形的對稱軸;
注:軸對稱圖形是“一個圖形”,一個具有特殊形狀的圖形
2.軸對稱:把一個圖形沿某一條直線折疊,如果能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形成軸對稱,這條直線就是對稱軸,兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)叫做對稱點(diǎn);
注:軸對稱是指“兩個圖形”的位置關(guān)系
3. 軸對稱的性質(zhì):
(1)關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形;
(2)對稱點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分;
(3)軸對稱的兩個圖形,它們的對應(yīng)線段或延長線相交,交點(diǎn)在對稱軸上
二、線段和角的軸對稱性
1.線段的垂直平分線:經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線
2.垂直平分線的性質(zhì):
(1)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等;
(2)和一條線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。
注:線段是軸對稱圖形,它的對稱軸是它的垂直平分線。
3.角平分線:從角的頂點(diǎn)出發(fā)并且平分這個角的射線稱為這個角的角平分線
4.角平分線的性質(zhì):
(1) 角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等;
(2) 到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上。
注:角是軸對稱圖形,它的對稱軸是它的角平分線。
三、 等腰三角形的軸對稱性
1.等腰三角形的定義:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊叫腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角;
2.等腰三角形的性質(zhì):
(1)等腰三角形的兩個底角相等(簡稱“等邊對等角”).
(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.(三線合一)
(3)等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線(頂角平分線、底邊上的高)所在直線就是它的對稱軸.
3.等腰三角形的判定:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊相等(“等角對等邊”);
4.等邊三角形的定義:三邊都相等的三角形叫做等邊三角形;
注:等邊三角形是一種特殊的等腰三角形
5. 等邊三角形的性質(zhì):
(1) 等邊三角形的三個內(nèi)角相等,并且每個角都等于60度;
(2) 等邊三角形每一條邊上都是三線合一;
6. 等邊三角形的判定:
(1) 三個角都相等的三角形是等邊三角形;
(2) 有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。
7. 直角三角形的性質(zhì):
(1) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
典例精講:
軸對稱:
例1:下列圖形中,△A′B′C′與△ABC關(guān)于直線MN成軸對稱的是( ?。?
A.
B.
C.
D.
練習(xí):如圖,在2×2的正方形格紙中,有一個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC,請你找出格紙中所有與△ABC成軸對稱且以格占為頂點(diǎn)的三角形,這樣的三角形共有______個,請在下面所給的格紙中一一畫出.(所給的六個格紙未必全用).
軸對稱圖形的概念
例2:下列交通標(biāo)志中,成軸對稱圖形的是( )
A.
B.
C.
D.
練習(xí):用四塊如圖①所示的正方形瓷磚拼成一個新的正方形,使拼成的圖案是一個軸對稱圖形.請你在圖②、圖③、圖④中各畫一種拼法(要求三種拼法各不相同).
例3:把一張正方形紙片如圖① 、圖②對折兩次后,再如圖③挖去一個三角形小孔,則展開后圖形是
請你畫出展開后的圖形(折痕用虛線畫出)
.
練習(xí):通過找出這組圖形符號中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律,在橫線上填上恰當(dāng)?shù)膱D形.
軸對稱的性質(zhì)
例4:下列結(jié)論正確的是 ( )
A. 全等的兩個的圖形一定是軸對稱圖形
B. 全等的兩個圖形一定成軸對稱
C. 成軸對稱的兩個圖形不一定全等
D. 成軸對稱的兩個圖形一定全等
練習(xí):如圖,正方形ABCD的邊長為4 cm,則圖中陰影部分的面積為________cm2.
垂直平分線
例1:下列說法中正確的是 ( )
A. 線段的垂直平分線就是垂直于線段的直線
B. 線段的垂直平分線就是過該線段中點(diǎn)的直線
C. 線段的垂直平分線就是垂直于該線段且過該線段中點(diǎn)的直線
D. 線段的垂直平分線有無數(shù)條
練習(xí):在軸對稱圖形中,對應(yīng)點(diǎn)的連線段被 垂直平分.
作圖
例2:如圖:已知∠AOB和C、D兩點(diǎn),求作一點(diǎn)P,使PC=PD,且P到∠AOB兩邊的距離相等.
練習(xí):近年來,國家實施“村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革,某縣計劃在張村、李村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P,張、李兩村座落在兩相交公路內(nèi)(如圖所示).醫(yī)療站必須滿足下列條件:①使其到兩公路距離相等;②到張、李兩村的距離也相等,請你通過作圖確定P點(diǎn)的位置。
變式: 近年來,國家實施村村通工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革,某縣計劃在張村,李村與王村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P,張,李,王村坐落在兩相交公路內(nèi)【如圖所示】,醫(yī)療站必須滿足下列條件,到張,李,王村的距離都相等,請你通過作圖確定P點(diǎn)的位置.
線段的軸對稱性
例3:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,PA=7,則PB= 。
練習(xí):點(diǎn)P在∠AOB內(nèi),點(diǎn)M、N分別使點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn),連接M、N分別交OA、OB于E、F兩點(diǎn),若△PEF的周長是20cm,求MN的長.
角的軸對稱性
:例4:已知:如圖AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,且BC=DC求證BE=DF
練習(xí):如圖,△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,BC=12,點(diǎn)O為∠ABC與∠CAB的平分線的交點(diǎn).你能求出點(diǎn)O到邊AB的距離嗎?是多少?
例5:如圖,△ABC中,AB=AC=6,BC=4.5,分別以A、B為圓心,4為半徑畫弧交于兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)的直線交AC于點(diǎn)D,連接BD,則△BCD的周長是______.
等腰三角形的性質(zhì)
例1:如圖,等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠A=40°,線段AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,連接BE,則∠CBE等于( )
A、20° B、70° C、40° D、30°
練習(xí):1、若等腰三角形的一個外角為70°,則它的底角為 .
2、如圖,點(diǎn)M是等腰三角形ABC底邊的中點(diǎn),MD⊥AB,ME⊥AC,請問DM和EM相等嗎?
等腰三角形的判定:
例2:如圖,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9則線段MN的長為
等邊三角形的概念、性質(zhì)及判定
例3:1、下列說法:①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形;②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形;③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形;④三個外角都相等的三角形是等邊三角形.其中正確的有( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
2、如圖,已知△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度數(shù).
直角三角形的性質(zhì)
例4:如圖,已知在△ABC中,BE,CF分別是AC,AB邊上的高,D是BC邊上的中點(diǎn),試說明DE=DF。
例5:如圖,在△ABC中,AD是高,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn).
(1)若四邊形AEDF的周長為24,AB=15,求AC的長;
(2)求證:EF垂直平分AD.
1.等腰三角形底邊上的高與底邊的比是1:2,則它的頂角等于( ?。?
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
2.下列性質(zhì)中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( )
A.內(nèi)角和等于180° B.有一個角的平分線垂直于這個角的對邊
C.有兩個銳角的和等于90° D.有兩條邊的平方和等于第三條邊的平方
3.如圖,在矩形紙片 中, ,點(diǎn) 在邊 上,將 沿直線 折疊,點(diǎn) 恰好落在對角線 上的點(diǎn) 處,若 ,則 的長是( )
A. B.6 C.4 D.5
4.如圖,已知點(diǎn)P是∠AOB角平分線上的一點(diǎn),∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中點(diǎn),DM=4cm,如果點(diǎn)C是OB上一個動點(diǎn),則PC的最小值為( )
A.2 B.2 C.4 D.4
5.如圖,在△ABC中(AB<BC),在BC上截取BD=BA,作∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)P,連接PC,若△ABC的面積為3,則△BPC的面積為________
6.如圖(1),在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,點(diǎn)D、E分別在線段BA、AB的延長線上,且AD=AC,BE=BC,則∠DCE= ;
(2)如圖(2),在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,點(diǎn)D、E分別在邊AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠DCE的度數(shù);
(3)在△ABC中,AB>AC>BC,∠ACB=80°,點(diǎn)D、E分別在直線AB上,且AD=AC,BE=BC,則∠求DCE的度數(shù)(直接寫出答案);
(4)如圖(3),在△ABC中,AB=14,AC=15,BC=13,點(diǎn)D、E在直線AB上,且AD=AC,BE=BC.請根據(jù)題意把圖形補(bǔ)畫完整,并在圖形的下方直接寫出△DCE的面積.(如果有多種情況,圖形不夠用請自己畫出,各種情況用一個圖形單獨(dú)表示).
軸對稱有哪些性質(zhì)?
你對本章還有什么疑問?
課后作業(yè):
1.下列命題中:①兩個全等三角形合在一起是一個軸對稱圖形;②等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線;③等邊三角形一邊上的高就是這邊的垂直平分線;④一條線段可以看著是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形. 正確的說法有( ?。﹤€
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.下列圖形中:①平行四邊形;②有一個角是30°的直角三角形;③長方形;④等腰三角形. 其中是軸對稱圖形有( )個
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部,P1與P關(guān)于OA對稱,P2與P關(guān)于OB對稱,則△P1OP2是 ( ?。?
A.含30°角的直角三角形; B.頂角是30的等腰三角形;
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形.
P
A
E
C
B
D
4.如圖:等邊三角形ABC中,BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)P,則
∠APE的度數(shù)是 ( ?。?
A.45° B.55°
C.60° D.75°
5. 下列關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)敘述錯誤的是( ?。?
A.等腰三角形兩底角相等
B.等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合
C.等腰三角形是中心對稱圖形
D.等腰三角形是軸對稱圖形
6.已知點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,點(diǎn)Q在線段AB的中垂線外,則 ( ?。?
A.PA+PB>QA+QB B.PA+PB<QA+QB
D.PA+PB=QA+QB D.不能確定
7.已知△ABC與△A1B1C1關(guān)于直線MN對稱,且BC與B1C1交與直線MN上一點(diǎn)O,
則 ( )
A.點(diǎn)O是BC的中點(diǎn) B.點(diǎn)O是B1C1的中點(diǎn)
B
A
D
P
O
C
C.線段OA與OA1關(guān)于直線MN對稱
D.以上都不對
8.如圖:已知∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,
PD⊥OA,若PC=4,則PD= ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
9.∠AOB的平分線上一點(diǎn)P到OA的距離
為5,Q是OB上任一點(diǎn),則 ( ?。?
A.PQ>5 B.PQ≥5
C.PQ<5 D.PQ≤5
10.等腰三角形的周長為15cm,其中一邊長為3cm.則該等腰三角形的底長為 ( ?。?
A.3cm或5cm B.3cm或7cm C.3cm D.5cm
11.線段軸是對稱圖形,它有_______條對稱軸.
12.等腰△ABC中,若∠A=30°,則∠B=________.
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若CD=4,則點(diǎn)D到AB的距離是__________.
14.等腰△ABC中,AB=AC=10,∠A=30°,則腰AB上的高等于___________.
15.如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=72°,BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線,它們的交點(diǎn)為F,則圖中等腰三角形有___________個.
16.如圖,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,則∠BAC= °___________.
17.若D為△ABC的邊BC上一點(diǎn),且AD=BD,AB=AC=CD,則∠BAC=____________.
18.△ABC中,AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F,若∠BAC=115°,則∠EAF=___________.
A
C
·
·D
O
B
19.如圖:已知∠AOB和C、D兩點(diǎn),求作一點(diǎn)P,使PC=PD,且P到∠AOB兩邊的距離相等.
20.如圖:AD為△ABC的高,∠B=2∠C,用軸對稱圖形說明:CD=AB+BD.
A
C
D
B
21.有一本書折了其中一頁的一角,如圖:測得AD=30cm,BE=20cm,∠BEG=60°,求折痕EF的長.
22.如圖:△ABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D,
B
C
D
E
A
① 若△BCD的周長為8,求BC的長;
② 若BC=4,求△BCD的周長.
23.等邊△ABC中,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),點(diǎn)Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,問 △APQ是什么形狀的三角形?試說明你的結(jié)論.
A
C
B
Q
P
24. 如圖1,已知矩形ABED,點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn),且AB=2AD.
(1)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)保持圖1中△ABC固定不變,繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中(當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)),試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系?并給予證明;
(3)保持圖2中△ABC固定不變,繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置(當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)).試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系?并給予證明.
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