浙江省紹興縣楊汛橋鎮(zhèn)八年級數(shù)學(xué)下冊 專題提升二 以平行四邊形為背景的計算與證明試題 （新版）浙教版

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1、 專題提升二 以平行四邊形為背景的計算與證明 類型一 平行四邊形相關(guān)的探究性問題 1． 如圖，在ABCD 中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)． 則在下列四個圖形中，陰影部分的面積與其他三個陰影部分面積不相等的是（ ） 2. 如圖，四邊形ABCD中，ABDC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF，BE相交于M，DF，EC相交于N，則圖中平行四邊形共有（ ） A. 3個 B. 5個 C. 8個 D. 9個 3. 已知：△ABC中，AB=a. 如圖1，若A1、B1分別是CA、CB的中點(diǎn)，

2、則A1B1=；如圖2，若A1、A2、B1、B2分別是CA、CB的三等分點(diǎn)，則A1B1+A2B2=a=a；如圖3，若A1、A2、A3、B1、B2、B3分別是CA、CB的四等分點(diǎn)，則A1B1+A2B2+A3B3=a=a；如圖4，若A1、A2、A3、…A9、B1、B2、B3、…B9分別是CA、CB的十等分點(diǎn)，則A1B1+A2B2+A3B3+…+A9B9= . 4. （1）證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；[要求根據(jù)圖1寫出已知、求證、證明；在證明過程中，至少有兩處寫出推理依據(jù)（“已知”除外）]； （2）如圖2，在ABCD中，對角線交點(diǎn)為O，A

3、1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，A2、B2、C2、D2分別是OA1、OB1、OC1、OD1的中點(diǎn)，…以此類推. 若ABCD的周長為1，直接用算式表示各平行四邊形的周長之和l； （3）借助圖形3反映的規(guī)律，猜猜l可能是多少？ 類型二 平行四邊形相關(guān)的折疊問題 5. 如圖，D，E分別為△ABC的AC，BC的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處. 若∠CDE=48°，則∠APD等于 . 6． 如圖，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE＝BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B′，C′

4、處，線段EC′與線段AF交于點(diǎn)G，連結(jié)DG，B′G. 求證：（1）∠1＝∠2； （2）DG＝B′G. 7. 如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長交OC于E． （1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形； （2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長． 類型三 平行四邊形相關(guān)的分類討論問題 8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（-2，5），B（-3，-1），C（1，-1）

5、，在坐標(biāo)系中找一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ． 9． 已知：如圖，在ABCD中，∠BCD的平分線CE交AD于E，∠ABC的平分線BG 交CE于F，交AD于G． （1）試找出圖中的等腰三角形，并選擇一個加以說明； （2）試說明：AE=DG； （3）若BG將AD分成3∶2的兩部分，且AD=10，求ABCD的周長. 10. 如圖，在長方形ABCD中，AD=12，AE=4，BF=6，點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q同時以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動

6、，點(diǎn)Q停止運(yùn)動時，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)運(yùn)動時間為幾秒時，以點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形． 11. 已知四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，給出下列四個論斷： ①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC． 請你從中選擇兩個論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結(jié)論，完成下列各題： ①構(gòu)造一個真命題，畫圖并給出證明； ②構(gòu)造一個假命題，舉反例加以說明． 12. 在ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，求ABCD的周長. 參考答案 專題提升二 以平行四邊形為背景

7、的計算與證明 1—2. DC 3. a 4. （1）已知：在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn).求證：DE∥BC且DE=BC.證明：如圖，延長DE至F，使EF=DE，∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，在△ADE和△CFE中，DE=EF，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等），∠A=ECF（全等三角形對應(yīng)角相等），∴AD∥CF. ∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn). ∴AD=BD，∴BD=CF且BD∥CF. ∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴DF∥BC且DF=BC（平行四邊形的對邊平行且相等），∵D

8、E=EF=DF，∴DE∥BC且DE=BC. （2）∵A1、B1、C1、D1分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，∴A1B1=AB，B1C1=BC，C1D1=CD，A1D1=AD，∴A1B1C1D1的周長=×1=，同理可得， A2B2C2D2的周長=×=， A3B3C3D3的周長=×=，…，∴各平行四邊形的周長之和l=1++++….（3）由圖可知，+++…=1（無限接近于1），所以l=1++++…=2（無限接近于2）. 5. 48° 6. （1）在ABCD中，AB∥CD，∴∠2＝∠FEC. 由折疊的性質(zhì)，得∠1＝∠FEC， ∴∠1＝∠2. （2）由（1）知：∠1＝∠2，∴EG＝GF.

9、∵AB∥CD，∴∠DEG＝∠EGF. 由折疊的性質(zhì)，得EC′∥FB′，BF＝B′F，∴∠B′FG＝∠EGF，∴∠B′FG＝∠DEG. ∵DE＝BF，∴DE＝B′F，∴△DEG≌△B′FG，∴DG＝B′G. 7. （1）證明：∵∠OAB=90°，∴AB⊥OA，又∵△OBC為等邊三角形，∴∠COB=60°，∴∠COA=∠COB+∠AOB=90°，∴CO⊥OA，即AB∥CE，∵∠AOB=30°，∴∠OBA=60°，∵DB=DO=4，∴DB=AB=4，∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，∴∠ADB=60°，∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC，∴四邊

10、形ABCE是平行四邊形； （2）設(shè)OG的長為x，∵OC=OB=8，∴CG=8-x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，即（8-x）2=x2+（4）2，解得：x=1，即OG=1． 8. （2，5）或（-6，5）或（0，-7） 9. （1）△ABG，△DCE是等腰三角形． 在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC，又BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠CBG，∴∠ABG=∠AGB，則AB=AG，∴△ABG是等腰三角形；（2）由（1）可得AB=AG=CD=DE，∴AE=DG； （3）假設(shè)AG∶GD=3∶2，∵AD=10，∴AB=AG=A

11、D=6，∴平行四邊形的周長為2（10+6）=32；當(dāng)AG∶GD=2∶3時，則AB=AG=AD=4，∴平行四邊形的周長為2（10+4）=28． 所以平行四邊形ABCD的周長為32或28． 10. 設(shè)運(yùn)動時間為t，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E時，t=4，運(yùn)動到點(diǎn)D時，t=12，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)F時，t=3，運(yùn)動到點(diǎn)B時，t=6. 如圖1，當(dāng)P運(yùn)動到A和E之間，Q運(yùn)動到C和F之間，此時0＜t≤3，則PE=4-t，F(xiàn)Q=6-2t，∴4-t=6-2t，解得：t=2.如圖2，當(dāng)P運(yùn)動到A和E之間，Q運(yùn)動到B和F之間，此時3＜t≤4，則PE=4-t，QF=2t-6，∴4-t=2t-6，解得：t=. 當(dāng)P運(yùn)動到E和D之間

12、，Q運(yùn)動到B和F之間，此時4＜t≤6，則PE=t-4，QF=2t-6，∴t-4=2t-6，解得t=2，與4＜t≤6不符. 綜上所述，當(dāng)運(yùn)動時間t=或2秒時，以點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. 11. （1）如圖1，當(dāng)滿足①OA=OC；④AD∥BC兩個條件時，四邊形ABCD為平行四邊形. 證明：∵AD∥BC ∴∠OAD=∠OCB. 又OA=OC，∠AOD=∠COB，∴△OAD與△OCB全等，AD=BC，故四邊形ABCD為平行四邊形（AD與BC平行且相等）（答案不唯一） （2）假命題：如圖2，當(dāng)滿足②AB=CD；④AD∥BC兩個條件時，四邊形ABCD為平行四邊形. 顯然存在等腰梯形滿足上述的兩個條件. 12. 分兩種情況討論.①如圖1，在ABCD中，∵BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，∴AE=4，CD=AB=5，∴EC==2，BE==3，∴AD=BC=BE+EC=3+2=5，∴ABCD的周長=5+5+5+5=20；②如圖2. 在ABCD中，∵BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，∴AE=4，CD=AB=5，∴EC==2，BE==3，∴AD=BC=BE-EC=3-2=1，∴ABCD的周長=1+1+5+5=12. 綜上所述， ABCD的周長為20或12. 7