九年級數(shù)學上學期期中試卷（含解析） 新人教版2 (12)

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2015-2016學年重慶市江津區(qū)三校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分） 1．下列交通標志既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．方程x2=1的解是（　　） A．x=1 B．x1=﹣1，x2=1 C．x1=0，x2=1 D．x=﹣1 3．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（　?。? A．y=mx2+1（m≠0） B．y=ax2+bx+c C．y=（x﹣2）2﹣x2 D．y=3x﹣1 4．拋物線y=（x+1）2﹣2的對稱軸是（　?。? A．直線x=1 B．直線x=3 C．直線x=﹣1 D．直線x=﹣3 5．如圖，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉，使得OA與OC重合，得到△OCD，則旋轉的角度是（　?。? A．150 B．120 C．90 D．60 6．下列所給的方程中，沒有實數(shù)根的是（　?。? A．x2+x=0 B．5x2﹣4x﹣1=0 C．3x2﹣4x+1=0 D．4x2﹣5x+2=0 7．已知關于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一個根為x=3，則實數(shù)k的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 8．九年級（1）班的全體同學，在新年來臨之際，在賀卡上寫上自己的心愿和祝福贈送給其他同學各一張，全班共互贈了5112張，設全班有x名同學，那么根據(jù)題意列出的方程是（　?。? A．x（x+1）=5112 B．x（x﹣1）=5112 C．x（x+1）=51122 D．x（x﹣1）=51122 9．在同一直角坐標系中，函數(shù)y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 10．將正方體骰子（相對面上的點數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖1．在圖2中，將骰子向右翻滾90，然后在桌面上按逆時針方向旋轉90，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)是（　?。? A．6 B．5 C．3 D．2 11．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為x=2．下列結論中正確的是（　?。? A．abc＞0 B．5a+c＞0 C．4a﹣b=0 D．9a+3b+c＜0 12．如圖，O是等邊△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60得到線段BO′，下列結論： ①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60得到； ②點O與O′的距離為4； ③∠AOB=150； ④四邊形AO BO′的面積為6+3； ⑤S△AOC+S△AOB=6+． 其中正確的結論是（　?。? A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分） 13．若關于x的一元二次方程（m+1）x2+2x﹣m2+1=0的一個根為0，則m的值　?。? 14．拋物線y=﹣x2+（b+1）x﹣3的頂點在y軸上，則b的值為　?。? 15．若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是　?。? 16．如圖，把矩形OABC放在直角坐標系中，OC在x軸上，OA在y軸上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC繞著原點順時針旋轉90得到矩形ODEF，則E的坐標為　　． 17．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則不等式ax2+bx+c＜0的解集是　?。? 18．如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1=x2（x≥0）與y2=（x≥0）于B、C兩點，過點C作y軸的平行線交y1于點D，直線DE∥AC，交y2于點E，則=　　． 　 三、解答題（本大題2個小題，共14分） 19．如圖，方格紙中的每個小方格都是正方形，△ABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標系 （1）以原點O為對稱中心，畫出與△ABC關于原點O對稱的△A1B1C1，并寫出A1的坐標． （2）將原來的△ABC繞著點B順時針旋轉90得到△A2B2C2，試在圖上畫出△A2B2C2的圖形． 20．已知a、b、c為實數(shù)，且，求方程ax2+bx+c=0的根． 　 四、解答題（本大題4個小題，共10分） 21．解方程： （1）（x﹣2）2=2﹣x （2）（3x﹣2）2=（4﹣x）2． 22．先化簡，再求值：（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解． 23．在“母親節(jié)”期間，某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構．根據(jù)市場調查，這種許愿瓶一段時間內的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的對應關系如圖所示： （1）試判斷y與x 之間的函數(shù)關系，并求出函數(shù)關系式； （2）若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)關系式； （3）在（2）的前提下，若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大的利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤． 24．操作：如圖①，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120的等腰三角形，以D為頂點作一個60角： （1）角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．探究：線段BM、MN、NC之間的關系，并加以證明． （2）若角的兩邊分別交AB、CA的延長線于M、N兩點，連接MN．在圖②中畫出圖形，再直接寫出線段BM、MN、NC之間的關系． 　 五、解答題（本大題2個小題，共24分） 25．小明在課外學習時遇到這樣一個問題： 定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”． 求函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉函數(shù)”． 小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2﹣3x﹣2可知，a1=1，b1=﹣3，c1=﹣2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉函數(shù)”． 請參考小明的方法解決下面問題： （1）直接寫出函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉函數(shù)”； （2）若函數(shù)y=﹣x2+mx﹣3與y=x2﹣3nx+n互為“旋轉函數(shù)”，求的值； （3）已知函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）的圖象與x軸交于點A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，試證明經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）互為“旋轉函數(shù)”． 26．已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 　  2015-2016學年重慶市江津區(qū)三校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分） 1．下列交通標志既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤； B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故錯誤； C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故錯誤； D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確． 故選D． 【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合． 　 2．方程x2=1的解是（　　） A．x=1 B．x1=﹣1，x2=1 C．x1=0，x2=1 D．x=﹣1 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】直接利用開平方法解方程得出即可． 【解答】解：x2=1 解得：x1=1，x2=﹣1． 故選：B． 【點評】此題主要考查了直接開平方法解方程，正確開平方是解題關鍵． 　 3．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（　?。? A．y=mx2+1（m≠0） B．y=ax2+bx+c C．y=（x﹣2）2﹣x2 D．y=3x﹣1 【考點】二次函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)形如y=ax2+bx+c （a是不等于零的常數(shù)）是二次函數(shù)，可得答案． 【解答】解：A、是二次函數(shù)，故A正確； B、當a=0時，函數(shù)是一次函數(shù)，故B錯誤； C、化簡，得y=﹣2x+4是一次函數(shù)，故C錯誤； D、y=3x﹣1是一次函數(shù)，故D錯誤； 故選：A． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義，注意二次函數(shù)的二次項的系數(shù)不能等于零． 　 4．拋物線y=（x+1）2﹣2的對稱軸是（　?。? A．直線x=1 B．直線x=3 C．直線x=﹣1 D．直線x=﹣3 【考點】二次函數(shù)的性質． 【分析】由拋物線的頂點式可得到拋物線的頂點坐標，從而可得到拋物線的對稱軸． 【解答】解：∵拋物線y=（x+1）2﹣2的頂點坐標為（﹣1，﹣2）， ∴拋物線的對稱軸是x=﹣1． 故選C． 【點評】本題考查的是拋物線的頂點坐標、對稱軸，屬于基本題，應熟練掌握． 　 5．如圖，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉，使得OA與OC重合，得到△OCD，則旋轉的角度是（　?。? A．150 B．120 C．90 D．60 【考點】旋轉的性質；等邊三角形的性質；等腰直角三角形． 【分析】∠AOC就是旋轉角，根據(jù)等邊三角形的性質，即可求解． 【解答】解：旋轉角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60+90=150． 故選A． 【點評】本題主要考查了旋轉的性質，正確理解旋轉角是解題的關鍵． 　 6．下列所給的方程中，沒有實數(shù)根的是（　?。? A．x2+x=0 B．5x2﹣4x﹣1=0 C．3x2﹣4x+1=0 D．4x2﹣5x+2=0 【考點】根的判別式． 【分析】分別計算出判別式△=b2﹣4ac的值，然后根據(jù)△的意義分別判斷即可． 【解答】解：A、△=12﹣410=1＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根； B、△=（﹣4）2﹣45（﹣1）=36＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根； C、△=（﹣4）2﹣431=4＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根； D、△=（﹣5）2﹣442=﹣7＜0，所以方程沒有實數(shù)根． 故選D． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根． 　 7．已知關于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一個根為x=3，則實數(shù)k的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立． 【解答】解：因為x=3是原方程的根，所以將x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1． 故選：A． 【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義． 　 8．九年級（1）班的全體同學，在新年來臨之際，在賀卡上寫上自己的心愿和祝福贈送給其他同學各一張，全班共互贈了5112張，設全班有x名同學，那么根據(jù)題意列出的方程是（　?。? A．x（x+1）=5112 B．x（x﹣1）=5112 C．x（x+1）=51122 D．x（x﹣1）=51122 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設全班有x名同學，根據(jù)全班互贈賀卡，每人向本班其他同學各贈送一張，全班共相互贈送了5112張可列出方程． 【解答】解：∵全班有x名同學， ∴每名同學要送出賀卡（x﹣1）張； 又∵是互送賀卡， ∴總共送的張數(shù)應該是x（x﹣1）=5112． 故選：B． 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，關鍵是理解題意后，類比數(shù)線段來做，互贈張數(shù)就像總線段條數(shù)，人數(shù)類似線段端點數(shù)． 　 9．在同一直角坐標系中，函數(shù)y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷k的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤． 【解答】解：A、由一次函數(shù)y=kx+k的圖象可得：k＞0，此時二次函數(shù)y=kx2﹣kx的圖象應該開口向上，錯誤； B、由一次函數(shù)y=kx+k圖象可知，k＞0，此時二次函數(shù)y=kx2﹣kx的圖象頂點應在y軸的負半軸，錯誤； C、由一次函數(shù)y=kx+k可知，y隨x增大而減小時，直線與y軸交于負半軸，錯誤； D、正確． 故選：D． 【點評】本題考查的是一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，應該熟記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標． 　 10．將正方體骰子（相對面上的點數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖1．在圖2中，將骰子向右翻滾90，然后在桌面上按逆時針方向旋轉90，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)是（　?。? A．6 B．5 C．3 D．2 【考點】規(guī)律型：圖形的變化類． 【專題】壓軸題． 【分析】先向右翻滾，然后再逆時針旋轉叫做一次變換，那么連續(xù)3次變換是一個循環(huán)．本題先要找出3次變換是一個循環(huán)，然后再求10被3整除后余數(shù)是1，從而確定第1次變換的第1步變換． 【解答】解：根據(jù)題意可知連續(xù)3次變換是一循環(huán)．所以103=3…1．所以是第1次變換后的圖形． 故選B． 【點評】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的． 　 11．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為x=2．下列結論中正確的是（　?。? A．abc＞0 B．5a+c＞0 C．4a﹣b=0 D．9a+3b+c＜0 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 【專題】數(shù)形結合． 【分析】由拋物線的對稱軸x=﹣=2可得4a+b=0；由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸可得c＞0，由拋物線的對稱軸x=﹣=2＞0可得ab＜0，則abc＜0；由圖可知由于拋物線與x軸的左交點在﹣2到﹣1之間，根據(jù)拋物線的軸對稱性可得拋物線與x軸的右交點在5到6之間，因而當x=3時，y=9a+3b+c＞0，當x=﹣1時，y=a﹣b+c＞0，結合4a+b=0可得5a+c＞0． 【解答】解：由拋物線的對稱軸x=﹣=2可得4a+b=0，故C錯誤； 由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸可得c＞0， 由拋物線的對稱軸x=﹣=2＞0可得ab＜0，則abc＜0，故A錯誤； 由于拋物線與x軸的左交點在﹣2到﹣1之間，根據(jù)拋物線的軸對稱性可得： 拋物線與x軸的右交點在5到6之間， 因而當x=3時，y=9a+3b+c＞0，故D錯誤； 當x=﹣1時，y=a﹣b+c＞0， 由4a+b=0即b=﹣4a可得，a﹣（﹣4a）+c＞0，則5a+c＞0，故B正確． 故選B． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，運用數(shù)形結合的思想是解決本題的關鍵． 　 12．如圖，O是等邊△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60得到線段BO′，下列結論： ①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60得到； ②點O與O′的距離為4； ③∠AOB=150； ④四邊形AO BO′的面積為6+3； ⑤S△AOC+S△AOB=6+． 其中正確的結論是（　?。? A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【考點】幾何變換綜合題． 【分析】證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60得到，故結論①正確； 由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確； 在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150，故結論③正確； S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故結論④錯誤； 如圖②，將△AOB繞點A逆時針旋轉60，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉化為S△COO″+S△AOO″，計算可得結論⑤正確． 【解答】解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60， ∴∠1=∠3， 又∵OB=O′B，AB=BC， 在△BO′A和△BOC中， ， ∴△BO′A≌△BOC（SAS）， 又∵∠OBO′=60， ∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60得到， 故結論①正確； 如圖①，連接OO′， ∵OB=O′B，且∠OBO′=60， ∴△OBO′是等邊三角形， ∴OO′=OB=4． 故結論②正確； ∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5． 在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90， ∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90+60=150， 故結論③正確； S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=34+42=6+4， 故結論④錯誤； 如圖②所示，將△AOB繞點A逆時針旋轉60，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點． 易知△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形， 則S△AOC+S△AOB=S四邊形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=34+32=6+， 故結論⑤正確． 綜上所述，正確的結論為：①②③⑤． 故選：C． 【點評】本題考查了旋轉變換中等邊三角形，直角三角形的性質．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構成的三角形是直角三角形，這是本題的要點．在判定結論⑤時，將△AOB向不同方向旋轉，體現(xiàn)了結論①﹣結論④解題思路的拓展應用． 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分） 13．若關于x的一元二次方程（m+1）x2+2x﹣m2+1=0的一個根為0，則m的值　1?。? 【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義． 【分析】把x=0代入已知方程得到關于m的一元二次方程，通過解方程求得m的值；注意二次項系數(shù)不為零，即m+1≠0． 【解答】解：把x=0代入（m+1）x2+2x﹣m2+1=0，得 ﹣m2+1=0， 解得m=1或m=﹣1． 又m+1≠0． 則m≠﹣1． 故m=1． 故答案是：1． 【點評】本題考查了一元二次方程的解定義和一元二次方程的定義．注意：本題中所求得的m的值必須滿足：m+1≠0這一條件． 　 14．拋物線y=﹣x2+（b+1）x﹣3的頂點在y軸上，則b的值為　﹣1?。? 【考點】二次函數(shù)的性質． 【專題】計算題． 【分析】由拋物線的頂點在y軸上可得頂點的橫坐標為0，即﹣=0，就可求出b的值． 【解答】解：由題可得：﹣ =0， 解得b=﹣1． 故答案為﹣1． 【點評】本題考查的是y軸上點的坐標特征、拋物線的頂點坐標公式，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（﹣，），應熟練掌握． 　 15．（2015?泗洪縣校級模擬）若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是　k≥﹣1且k≠0?。? 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列出關于k的不等式組，求出k的取值范圍即可． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個實數(shù)根， ∴， 解得k≥﹣1且k≠0． 故答案為：k≥﹣1且k≠0． 【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac的關系是解答此題的關鍵． 　 16．如圖，把矩形OABC放在直角坐標系中，OC在x軸上，OA在y軸上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC繞著原點順時針旋轉90得到矩形ODEF，則E的坐標為?。?，2）　． 【考點】坐標與圖形變化-旋轉． 【分析】據(jù)旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得OD=OA，OF=OC，再根據(jù)點E在第一象限寫出點E的坐標即可． 【解答】解：∵矩形OABC繞著原點順時針旋轉90得到矩形ODEF， ∴OD=OA=4，OF=OC=2， 又∵點E在第一象限， ∴點E的坐標為（4，2）． 故答案為：（4，2）． 【點評】題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉，熟記旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關鍵． 　 17．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則不等式ax2+bx+c＜0的解集是　﹣1＜x＜3　． 【考點】二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可得出結論． 【解答】解：∵由函數(shù)圖象可知，當﹣1＜x＜3時，函數(shù)圖象在x軸的下方， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3． 故答案為：﹣1＜x＜3． 【點評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式式，能利用數(shù)形結合求不等式的解集是解答此題的關鍵． 　 18．如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1=x2（x≥0）與y2=（x≥0）于B、C兩點，過點C作y軸的平行線交y1于點D，直線DE∥AC，交y2于點E，則=　5﹣?。? 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】設A點坐標為（0，a），利用兩個函數(shù)解析式求出點B、C的坐標，然后求出BC的長度，再根據(jù)CD∥y軸，利用y1的解析式求出D點的坐標，然后利用y2求出點E的坐標，從而得到DE的長度，然后求出比值即可得解． 【解答】解：設A點坐標為（0，a），（a＞0）， 則x2=a，解得x=， ∴點B（，a），=a， 則x=， ∴點C（，a）， ∴BC=﹣． ∵CD∥y軸， ∴點D的橫坐標與點C的橫坐標相同，為， ∴y1=（）2=5a， ∴點D的坐標為（，5a）． ∵DE∥AC， ∴點E的縱坐標為5a， ∴=5a， ∴x=5， ∴點E的坐標為（5，5a）， ∴DE=5﹣， ∴==5﹣． 故答案是：5﹣． 【點評】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)平行與x軸的點的縱坐標相同，平行于y軸的點的橫坐標相同，求出用點A的縱坐標表示出各點的坐標是解題的關鍵． 　 三、解答題（本大題2個小題，共14分） 19．如圖，方格紙中的每個小方格都是正方形，△ABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標系 （1）以原點O為對稱中心，畫出與△ABC關于原點O對稱的△A1B1C1，并寫出A1的坐標． （2）將原來的△ABC繞著點B順時針旋轉90得到△A2B2C2，試在圖上畫出△A2B2C2的圖形． 【考點】作圖-旋轉變換；關于原點對稱的點的坐標． 【專題】作圖題． 【分析】（1）連接AO并延長至A1，使A1O=AO，連接BO并延長至B1，使B1O=BO，連接CO并延長至C1，使C1O=CO，然后順次連接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；再根據(jù)平面直角坐標系的特點寫出點A1的坐標即可； （2）根據(jù)旋轉變換先找出點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可． 【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求三角形， 點A1的坐標是A1（6，﹣1）； （2）△A2B2C2即為所求作的三角形． 【點評】本題考查了利用關于原點對稱作圖與利用旋轉變換作圖，準確找出對應點的坐標位置是解題的關鍵． 　 20．已知a、b、c為實數(shù)，且，求方程ax2+bx+c=0的根． 【考點】解一元二次方程-公式法；非負數(shù)的性質：絕對值；非負數(shù)的性質：偶次方；非負數(shù)的性質：算術平方根． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)已知等式，利用非負數(shù)的性質求出a，b，c的值，代入方程計算即可求出解． 【解答】解：∵ +|b+1|+（c+3）2=0， ∴a=1，b=﹣1，c=﹣3， 原方程為x2﹣x﹣3=0， 這里a=1，b=﹣1，c=﹣3， ∴x=． 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，以及非負數(shù)的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 　 四、解答題（本大題4個小題，共10分） 21．解方程： （1）（x﹣2）2=2﹣x （2）（3x﹣2）2=（4﹣x）2． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題；一元二次方程及應用． 【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）方程開方轉化為兩個一元一次方程，求出解即可． 【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2+（x﹣2）=0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣2+1）=0， 解得：x1=2，x2=1； （2）開方得：3x﹣2=4﹣x或3x﹣2=x﹣4， 解得：x1=1.5，x2=﹣1． 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及直接開平方法，熟練掌握各種解法是解本題的關鍵． 　 22．先化簡，再求值：（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解． 【考點】分式的化簡求值；一元二次方程的解． 【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再根據(jù)a是方程x2+x﹣3=0的解得出a2+a=3，再代入原式進行計算即可． 【解答】解：原式= =? = = ∵a是方程x2+x﹣3=0的解， ∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3， ∴原式=． 【點評】本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵． 　 23．在“母親節(jié)”期間，某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構．根據(jù)市場調查，這種許愿瓶一段時間內的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的對應關系如圖所示： （1）試判斷y與x 之間的函數(shù)關系，并求出函數(shù)關系式； （2）若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)關系式； （3）在（2）的前提下，若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大的利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤． 【考點】二次函數(shù)的應用． 【分析】（1）觀察可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù)，設出一次函數(shù)解析式，把其中兩點代入即可求得該函數(shù)解析式，進而把其余兩點的橫坐標代入看縱坐標是否與點的縱坐標相同； （2）銷售利潤=每個許愿瓶的利潤銷售量； （3）根據(jù)進貨成本可得自變量的取值，結合二次函數(shù)的關系式即可求得相應的最大利潤． 【解答】解：（1）y是x的一次函數(shù)，設y=kx+b圖象過點（10，300），（12，240）， ， 解得． 故y與x 之間的函數(shù)關系為：y=﹣30x+600， 當x=14時，y=180；當x=16時，y=120， 即點（14，180），（16，120）均在函數(shù)y=﹣30x+600的圖象上． ∴y與x之間的函數(shù)關系式為y=﹣30x+600； （2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600 即w與x之間的函數(shù)關系式為w=﹣30x2+780x﹣3600； （3）由題意得6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15． w=﹣30x2+780x﹣3600圖象對稱軸為x=﹣=13， ∵a=﹣30＜0， ∴拋物線開口向下，當x≥15時，w隨x增大而減小， ∴當x=15時，w最大=1350． 即以15元/個的價格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤1350元． 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用；注意結合自變量的取值求得二次函數(shù)的最值問題． 　 24．操作：如圖①，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120的等腰三角形，以D為頂點作一個60角： （1）角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．探究：線段BM、MN、NC之間的關系，并加以證明． （2）若角的兩邊分別交AB、CA的延長線于M、N兩點，連接MN．在圖②中畫出圖形，再直接寫出線段BM、MN、NC之間的關系． 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】（1）延長NC到E，使CE=BM，連接DE，先證△CDE≌△BDM，再證△DMN≌△DEN； （2）在CA上截取CE=BM，連接DE，先證△MBD≌△ECD，再證△NMD≌△NED； 【解答】解：（1）MN=BM+CN． 如圖1，延長NC到E，使CE=BM，連接DE， ∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120， ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60+30=90， ∴∠DCE=180﹣∠ACD=180﹣∠ABD=90， 在△CDE和△BDM中， ， ∴△CDE≌△BDM（SAS）， ∴∠CDE=∠BDM，DE=DM， ∴∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120﹣60=60， 在△DMN和△DEN中， ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+CN=BM+CN． （2）MN=CN﹣BM． 如圖2，在CA上截取CE=BM，連接DE， 在△MBD和△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴DM=DE，∠MDB=∠EDC， ∵∠MDN=∠MDB+∠BDN=∠CDE+∠BDN=60， ∴∠EDN=60=∠MDN， 在△NMD和△NED中， ， ∴△NMD≌△NED（SAS）， ∴NE=MN， ∴MN=CN﹣CE=CN﹣BM． 【點評】本題主要考查了等邊三角形和等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質，難度適中．對于線段和差等式的證明，截長補短是關鍵． 　 五、解答題（本大題2個小題，共24分） 25．小明在課外學習時遇到這樣一個問題： 定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”． 求函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉函數(shù)”． 小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2﹣3x﹣2可知，a1=1，b1=﹣3，c1=﹣2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉函數(shù)”． 請參考小明的方法解決下面問題： （1）直接寫出函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉函數(shù)”； （2）若函數(shù)y=﹣x2+mx﹣3與y=x2﹣3nx+n互為“旋轉函數(shù)”，求的值； （3）已知函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）的圖象與x軸交于點A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分別是A1，B1，C1，試證明經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）互為“旋轉函數(shù)”． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2=﹣1，b2=﹣3，c2=﹣2，從而求出函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉函數(shù)”； （2）根據(jù)旋轉函數(shù)的定義意得，從而得到m=﹣15，n=3，進而求出求的值； （3）根據(jù)題意得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），從而求出兩個函數(shù)解析式，進而得到兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”． 【解答】解：（1）在y=x2﹣3x﹣2中，a1=1，b1=﹣3，c1=﹣2， ∵a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0， ∴a2=﹣1，b2=﹣3，c2=﹣2， 可得函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉函數(shù)”為y=﹣x2﹣3x+2； （2）根據(jù)題意得， ∴m=﹣15，n=3． ∴（m+n）2015=[（﹣15）+3]2015=﹣1， （3）題意得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2）， 又y=﹣（x+1）（x﹣4）即y=﹣x2+x+2，經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)為 y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2， ∵a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0， ∴兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”． 【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，熟悉待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，明確確旋轉函數(shù)的定義是解題的關鍵． 　 26．已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點坐標（0，﹣3），把點B，C的坐標代入y=ax2+2ax+c，求出a點坐標即可求出函數(shù)解析式； （2）圖，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N．設M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表達式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD，轉化為二次函數(shù)求最值； （3）①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形． 【解答】解：（1）∵OC=3OB，B（1，0）， ∴C（0，﹣3）． 把點B，C的坐標代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3， ∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+2x﹣3． （2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直線AC的解析式為y=﹣x﹣3， 如圖1，過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M，N． 設M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3）， DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+， ∴﹣1＜0， ∴當x=時，DM有最大值， ∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=43+3DM，此時四邊形ABCD面積有最大值為6+=． （3）存在． 討論：①如圖2，過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1， 此時四邊形ACP1E1為平行四邊形． ∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3 ∴x1=2，x2=﹣2． ∴P1（﹣2，﹣3）． ②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形， ∵C（0，﹣3）， ∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0 解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣， 此時存在點P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）， 綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是： P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）． 【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，平行四邊形的判定與性質等知識，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵，在解答（3）時要注意進行分類討論．