中考數(shù)學精學巧練備考秘籍第5章圖形的性質第29課時特殊的平行四邊形.doc
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中考數(shù)學精學巧練備考秘籍第5章圖形的性質第29課時特殊的平行四邊形 【精學】 考點一、矩形 1、矩形的概念 有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。 2、矩形的性質 (1)具有平行四邊形的一切性質 (2)矩形的四個角都是直角 (3)矩形的對角線相等 (4)矩形是軸對稱圖形 3、矩形的判定 (1)定義:有一個角是直角的平行四邊形是矩形 (2)定理1:有三個角是直角的四邊形是矩形 (3)定理2:對角線相等的平行四邊形是矩形 4、矩形的面積 S矩形=長寬=ab 考點二、菱形 1、菱形的概念 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 2、菱形的性質 (1)具有平行四邊形的一切性質 (2)菱形的四條邊相等 (3)菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角 (4)菱形是軸對稱圖形 3、菱形的判定 (1)定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 (2)定理1:四邊都相等的四邊形是菱形 (3)定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 4、菱形的面積 S菱形=底邊長高=兩條對角線乘積的一半 考點三、正方形 1、正方形的概念 有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。 2、正方形的性質 (1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質 (2)正方形的四個角都是直角,四條邊都相等 (3)正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角 (4)正方形是軸對稱圖形,有4條對稱軸 (5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形,兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形 (6)正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。 3、正方形的判定 (1)判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義,途徑有兩種: 先證它是矩形,再證有一組鄰邊相等。 先證它是菱形,再證有一個角是直角。 (2)判定一個四邊形為正方形的一般順序如下: 先證明它是平行四邊形; 再證明它是菱形(或矩形); 最后證明它是矩形(或菱形) 4、正方形的面積 設正方形邊長為a,對角線長為b S正方形= 【巧練】 題型一、矩形的性質及判定的應用 例1.(20xx廣東廣州)如圖,矩形的對角線相交于點,若, 求的度數(shù). 【答案】∠ABD=60. 【解析】 試題分析:根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得:AO=BO,則△AOB為等邊三角形,進而得到∠ABD=60. 試題解析: ∵ 四邊形ABCD為矩形 ∴AO=BO 又∵AB=AO ∴AB=AO=BO ∴△ABD為等邊三角形 ∴∠ABD=60 題型二、菱形的性質及判定的應用 例2.(20xx?蘭州)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2,DE=2,則四邊形OCED的面積( ) A.2 B.4 C.4 D.8 【答案】A 【分析】連接OE,與DC交于點F,由四邊形ABCD為矩形得到對角線互相平分且相等,進而得到OD=OC,再由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到ODEC為平行四邊形,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形得到四邊形ODEC為菱形,得到對角線互相平分且垂直,求出菱形OCEF的面積即可. 【解答】解:連接OE,與DC交于點F, ∵四邊形ABCD為矩形, ∴OA=OC,OB=OD,且AC=BD,即OA=OB=OC=OD, ∵OD∥CE,OC∥DE, ∴四邊形ODEC為平行四邊形, ∵OD=OC, ∴四邊形ODEC為菱形, ∴DF=CF,OF=EF,DC⊥OE, ∵DE∥OA,且DE=OA, ∴四邊形ADEO為平行四邊形, ∵AD=2,DE=2, ∴OE=2,即OF=EF=, 在Rt△DEF中,根據(jù)勾股定理得:DF==1,即DC=2, 則S菱形ODEC=OE?DC=22=2. 故選A 【點評】此題考查了矩形的性質,菱形的判定與性質,以及勾股定理,熟練掌握矩形的性質是解本題的關鍵. 題型三、正方形的性質及判定的應用 例3.(20xx?郴州)如圖,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF為直角三角形,∠AEB=∠CFD=90,AE=CF=5,BE=DF=12,則EF的長是( ?。? A.7 B.8 C.7 D.7 【答案】C 【分析】由正方形的性質得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90,AB=BC=CD=AD,由SSS證明△ABE≌△CDF,得出∠ABE=∠CDF,證出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH,由AAS證明△ABE≌△ADG,得出AE=DG,BE=AG,同理:AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12,得出EG=GF=FH=EF=7,證出四邊形EGFH是正方形,即可得出結果. 【解答】解:如圖所示: ∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90,AB=BC=CD=AD, ∴∠BAE+∠DAG=90, 在△ABE和△CDF中, , ∴△ABE≌△CDF(SSS), ∴∠ABE=∠CDF, ∵∠AEB=∠CFD=90, ∴∠ABE+∠BAE=90, ∴∠ABE=∠DAG=∠CDF, 同理:∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH, ∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90, 即∠DGA=90, 同理:∠CHB=90, 在△ABE和△ADG中, , ∴△ABE≌△ADG(AAS), ∴AE=DG,BE=AG, 同理:AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12, ∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7, ∵∠GEH=180﹣90=90, ∴四邊形EGFH是正方形, ∴EF=EG=7; 故選:C. 【點評】本題考查了正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質;熟練掌握正方形的判定與性質,證明三角形全等是解決問題的關鍵. 【限時突破】 1.(20xx河北)關于ABCD的敘述,正確的是( ) A.若AB⊥BC,則ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,則ABCD是正方形 C.若AC=BD,則 ABCD是矩形 D.若AB=AD,則ABCD是正方形 2.(20xx山東棗莊)如圖,四邊形ABCD是菱形,,,于H,則DH等于( ) A. B. C.5 D.4 3.(20xx?攀枝花)下列關于矩形的說法中正確的是( ?。? A.對角線相等的四邊形是矩形 B.矩形的對角線相等且互相平分 C.對角線互相平分的四邊形是矩形 D.矩形的對角線互相垂直且平分 4.(20xx?綏化)如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,則四邊形OCED的周長為( ?。? A.4 B.8 C.10 D.12 5.(20xx黑龍江龍東)如圖,在平行四邊形ABCD中,延長AD到點E,使DE=AD,連接EB,EC,DB請你添加一個條件 ,使四邊形DBCE是矩形. 6.(20xx吉林省市)如圖,在平面直角坐標系中,正方形ABCD的對稱中心與原點重合,頂點A的坐標為(﹣1,1),頂點B在第一象限,若點B在直線y=kx+3上,則k的值為 . 7.(20xx山東省市)如圖,在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,連接BE,則tan∠EBC= . 8. (20xx四川達州)如圖,在?ABCD中,已知AD>AB. (1)實踐與操作:作∠BAD的平分線交BC于點E,在AD上截取AF=AB,連接EF;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法) (2)猜想并證明:猜想四邊形ABEF的形狀,并給予證明. 9.(20xx山東濱州)如圖,BD是△ABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC于點E,F(xiàn),G,連接ED,DG. (1)請判斷四邊形EBGD的形狀,并說明理由; (2)若∠ABC=30,∠C=45,ED=2,點H是BD上的一個動點,求HG+HC的最小值. 【答案解析】 1.【答案】C. 【解析】 試題分析:根據(jù)矩形的判定可得A、C項應是矩形;根據(jù)菱形的判定可得B、D項應是菱形,故答案選C. 2.【答案】A. 【解析】 試題分析:如圖,四邊形ABCD是菱形,AC=8,BD =6,根據(jù)菱形的性質可得OA=4,OB=3,由勾股定理可得AB =5,再由,即可求得故答案選A. 3.【分析】根據(jù)矩形的性質和判定定理逐個判斷即可. 【解答】解:A、對角線相等的平行四邊形才是矩形,故本選項錯誤; B、矩形的對角線相等且互相平分,故本選項正確; C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,不一定是矩形,故本選項錯誤; D、矩形的對角線互相平分且相等,不一定垂直,故本選項錯誤; 故選B. 【點評】本題考查了矩形的性質和判定的應用,能熟記矩形的性質和判定定理是解此題的關鍵. 4.【分析】由四邊形ABCD為矩形,得到對角線互相平分且相等,得到OD=OC,再利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形DECO為平行四邊形,利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形得到四邊形DECO為菱形,根據(jù)AC的長求出OC的長,即可確定出其周長 【解答】解:∵四邊形ABCD為矩形, ∴OA=OC,OB=OD,且AC=BD, ∴OA=OB=OC=OD=2, ∵CE∥BD,DE∥AC, ∴四邊形DECO為平行四邊形, ∵OD=OC, ∴四邊形DECO為菱形, ∴OD=DE=EC=OC=2, 則四邊形OCED的周長為2+2+2+2=8, 故選B 【點評】此題考查了矩形的性質,以及菱形的判定與性質,熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵. 5.【分析】利用平行四邊形的判定與性質得到四邊形DBCE為平行四邊形,結合“對角線相等的平行四邊形為矩形”來添加條件即可. 【解答】解:添加EB=DC.理由如下: ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC,且AD=BC, ∴DE∥BC, 又∵DE=AD, ∴DE=BC, ∴四邊形DBCE為平行四邊形. 又∵EB=DC, ∴四邊形DBCE是矩形. 故答案是:EB=DC. 6.【答案】﹣2. 【解析】 試題分析:∵正方形ABCD的對稱中心與原點重合,頂點A坐標為(-1,1),∴B(1,1) 1).∵點B在直線y=kx+3上,∴1=k+3,解得k=一2 考點:1.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征;2.正方形的性質. 7.【答案】. 【解析】 試題分析:作EF⊥BC于F,如圖,設DE=CE=a,∵△CDE為等腰直角三角形,∴CD=CE=a,∠DCE=45,∵四邊形ABCD為正方形,∴CB=CD=a,∠BCD=90,∴∠ECF=45,∴△CEF為等腰直角三角形,∴CF=EF=CE=a,在Rt△BEF中,tan∠EBF===,即∠EBC=. 故答案為:. 8.【分析】(1)由角平分線的作法容易得出結果,在AD上截取AF=AB,連接EF;畫出圖形即可; (2)由平行四邊形的性質和角平分線得出∠BAE=∠AEB,證出BE=AB,由(1)得:AF=AB,得出BE=AF,即可得出結論. 【解答】解:(1)如圖所示: (2)四邊形ABEF是菱形;理由如下: ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB, ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB, ∴BE=AB, 由(1)得:AF=AB, ∴BE=AF, 又∵BE∥AF, ∴四邊形ABEF是平行四邊形, ∵AF=AB, ∴四邊形ABEF是菱形. 9.【答案】(1)四邊形EBGD是菱形,理由見解析;(2). 【解析】 試題分析:(1)四邊形EBGD是菱形,根據(jù)已知條件易證△EFD≌△GFB,可得ED=BG,所以BE=ED=DG=GB,即可判定四邊形EBGD是菱形.(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,連接EC交BD于點H,此時HG+HC最小,在RT△EMC中,求出EM、MC即可解決問題. 試題解析:(1)四邊形EBGD是菱形. 理由:∵EG垂直平分BD, ∴EB=ED,GB=GD, ∴∠EBD=∠EDB, ∵∠EBD=∠DBC, ∴∠EDF=∠GBF, 在△EFD和△GFB中, , ∴△EFD≌△GFB, ∴ED=BG, ∴BE=ED=DG=GB, ∴四邊形EBGD是菱形. (2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,連接EC交BD于點H,此時HG+HC最小, 在RT△EBM中,∵∠EMB=90,∠EBM=30,EB=ED=2, ∴EM=BE=, ∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC, ∴EM∥DN,EM=DN=,MN=DE=2, 在RT△DNC中,∵∠DNC=90,∠DCN=45, ∴∠NDC=∠NCD=45, ∴DN=NC=, ∴MC=3, 在RT△EMC中,∵∠EMC=90,EM=.MC=3, ∴EC===10. ∵HG+HC=EH+HC=EC, ∴HG+HC的最小值為10. 考點:平行四邊形的判定和性質;菱形的判定和性質;角平分線的性質;垂直平分線的性質;勾股定理. 11 / 11- 配套講稿:
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