九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題突破講練 二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用試題 （新版）青島版.doc

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二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用 二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用 1. 可用二次函數(shù)解決的幾何問題特點(diǎn)：與面積相關(guān)。 2. 可用二次函數(shù)解決的幾何問題類型：三角形、四邊形、圓等。 3. 建立二次函數(shù)模型的依據(jù)：三角形、四邊形、圓的面積公式。 方法歸納 （1）在圓的問題中，設(shè)半徑或直徑為自變量，則圓面積是半徑或直徑的二次函數(shù)。 （2）在矩形中，設(shè)一邊為自變量，另一邊用自變量表示，則其面積是這一邊長(zhǎng)的二次函數(shù)。 （3）在三角形或一般四邊形中，通常設(shè)一邊為自變量，用自變量表示這條邊上的高，則其面積是這一邊長(zhǎng)的二次函數(shù)。 總結(jié)： 1. 能夠根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立二次函數(shù)模型。 2. 會(huì)利用二次函數(shù)解決與幾何圖形相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題。 例題1 如圖所示，有一塊直角三角形的鐵板，要在其內(nèi)部作一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè)AB＝x m，長(zhǎng)方形的面積為y m2，要使長(zhǎng)方形的面積最大，其邊長(zhǎng)x應(yīng)為（ ） A. 4m B. 3m C. 2m D. m 解析：根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝大三角形的面積－兩個(gè)小三角形的面積確定x與y之間的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)值y最大時(shí)自變量x的取值即可。 答案：根據(jù)題意得：y＝30－（5－x）－x（12－），整理得y＝－x2＋12x＝－[x2－5x＋（）2－]＝－（x－）2＋15．∵－＜0，∴長(zhǎng)方形面積有最大值，當(dāng)長(zhǎng)方形面積最大時(shí)，邊長(zhǎng)x應(yīng)為m，故選D。 點(diǎn)撥：求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a的絕對(duì)值是較小的整數(shù)時(shí)，用配方法較好，如y＝－x2－2x＋5，y＝3x2－6x＋1等用配方法求解比較簡(jiǎn)單。 例題2 某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(zhǎng)（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和）為15m．當(dāng)半圓的半徑等于多少時(shí)，窗戶通過的光線最多？（結(jié)果精確到0.01m）此時(shí)，窗戶的面積是多少？（精確到0.01m2） 解析：先將圖形分割成半圓和矩形，分別表示各部分的面積，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。本題的突破口是找出圓的半徑與小矩形豎直邊長(zhǎng)之間的關(guān)系。 答案：設(shè)半圓的半徑為r m，小矩形的豎直邊長(zhǎng)為y m，大矩形水平邊長(zhǎng)為2rm。 則4y＋7r＋πr＝15，∴y＝。 設(shè)窗戶的面積為S，則S＝πr2＋2ry＝πr2＋2r＝－3.5r2＋7.5r， 因?yàn)椋?.5＜0，所以S有最大值。 當(dāng)r＝－≈1.07（m）時(shí)，S最大值＝≈4.02（m2）。 即當(dāng)半徑約為1.07m時(shí)，窗戶通過的光線最多，此時(shí)窗戶的面積約為4.02m2。 點(diǎn)撥：二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合時(shí)，往往題目并未明確表示二次函數(shù)的關(guān)系式，二次函數(shù)的關(guān)系式可能隱藏在幾何圖形中，這時(shí)我們需要根據(jù)題中所給的信息設(shè)出自變量和函數(shù)，推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系式，再求出相應(yīng)最值。 建立三角形或四邊形的面積與邊長(zhǎng)之間的二次函數(shù)關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是找出三角形或四邊形的高，用面積公式建立二次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)所給幾何圖形的邊長(zhǎng)與高之間的關(guān)系不明顯時(shí)，常常把幾何圖形分割成三角形或四邊形，或利用等積式將問題轉(zhuǎn)化， 滿分訓(xùn)練 某水渠的橫截面呈拋物線形，水面的寬度為AB（單位：米），現(xiàn)以AB所在直線為x軸，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O。已知AB＝8米，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2－4。 （1）求a的值； （2）點(diǎn)C（－1，m）是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD，BC，BD，求△BCD的面積。 解：（1）∵AB＝8，由拋物線的性質(zhì)可知OB＝4，∴B（4，0），把B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得：16a－4＝0，解得：a＝； （2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，∵a＝，∴y＝x2－4，令x＝－1，∴m＝（－1）2－4＝－，∴C（－1，－），∵C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴D的坐標(biāo)為（1，），則CE＝DF＝，S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝OBDF＋OBCE＝4＋4＝15，∴△BCD的面積為15平方米。 分析：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法函數(shù)解析式。解答這類問題時(shí)注意充分利用圖象中的某些特殊點(diǎn)，如頂點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)等。理解線段的長(zhǎng)度與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵。 一、選擇題 1. 設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為x（x＞0），面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（ ） A. y＝x2 B. y＝x2 C. y＝x2 D. y＝x2 2. 長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為24cm，其中一邊為x（其中x＞0），面積為ycm2，則這樣的長(zhǎng)方形中y與x的關(guān)系可以寫為（ ） A. y＝x2 B. y＝（12－x2） C. y＝（12－x）?x D. y＝2（12－x） 3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y＝a（x－3）2＋k與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且AB∥x軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 20 *4. 在平面直角坐標(biāo)系中，如果橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，將二次函數(shù)y＝－x2＋6x－的圖象與x軸所圍成的封閉圖形染成紅色，則在此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 **5. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，≤a≤3b，AE＝AH＝CF＝CG，則四邊形EFGH的面積的最大值是（ ） A. （a＋b）2 B. （a＋b）2 C. （a＋b）2 D. （a＋b）2 **6. 數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師向同學(xué)們講學(xué)校正在規(guī)劃籌建周長(zhǎng)為400m的跑道的消息，鼓勵(lì)同學(xué)們?cè)囍o要建的跑道畫一個(gè)示意圖。要求跑道的兩端是半圓形，中間是直線跑道，且跑道中間矩形面積最大。下面是四位同學(xué)給出的示意圖，你認(rèn)為正確的是（ ） 二、填空題 7. 在半徑為4cm的圓中，挖去一個(gè)半徑為x cm的圓面，剩下一個(gè)圓環(huán)的面積為y cm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為__________。 8. 如圖，已知等腰直角△ABC的直角邊長(zhǎng)與正方形MNPQ的邊長(zhǎng)均為20厘米，AC與MN在同一直線上，開始時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)N重合。讓△ABC以每秒2厘米的速度向左運(yùn)動(dòng)，最終點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，則重疊部分面積y（厘米2）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式為__________。 *9. 如圖，△ABC是直角三角形，∠A＝90，AB＝8cm，AC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則三角形APQ的最大面積是__________。 **10. 如圖所示，從邊長(zhǎng)為5的正方形紙片ABCD中剪去直角△EBF（點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上）。若EB＋BF＝，則五邊形AEFCD的面積的最小值是__________。 三、解答題 11. 某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生單人桌的抽屜部分是長(zhǎng)方體。其中，抽屜底面周長(zhǎng)為180cm，高為20cm。請(qǐng)通過計(jì)算說明，當(dāng)?shù)酌娴膶抶為何值時(shí)，抽屜的體積y最大？最大為多少？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）。 12. 已知拋物線y＝x2－2x＋m－1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且與y軸交于A點(diǎn)，如圖，設(shè)它的頂點(diǎn)為B。 （1）求m的值； （2）過A作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)C，求證：△ABC是等腰直角三角形。 *13. 如圖，四邊形ABCD是矩形，A、B兩點(diǎn)在x軸的正半軸上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y＝－x2＋6x上。設(shè)OA＝m（0＜m＜3），矩形ABCD的周長(zhǎng)為l，求l與m的函數(shù)解析式。 **14. 用長(zhǎng)為12m的籬笆，一邊利用足夠長(zhǎng)的墻圍出一塊苗圃。如圖，圍出的苗圃是五邊形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E。設(shè)CD＝DE＝x m，五邊形ABCDE的面積為S m2。問：怎樣設(shè)計(jì)才能使圍出的苗圃面積最大，最大面積是多少？ **15. 用長(zhǎng)度為20m的金屬材料制成如圖所示的金屬框，下部為矩形，上部為等腰直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為2x m。當(dāng)該金屬框圍成的圖形面積最大時(shí)，圖形中矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)各為多少？請(qǐng)求出金屬框圍成的圖形的最大面積。  1. D 解析：作出BC邊上的高AD?！摺鰽BC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為x，∴CD＝x，AD＝x，∴y＝xAD＝x2． 2. C 解析：∵長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為24cm，其中一邊為x（其中x＞0），∴長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)為12－x，∴y＝（12－x）?x．故選C。 3. C 解析：由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x＝3，所以AB＝6，所以等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為18。 *4. C 解析：拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（，0）、（，0），當(dāng)x＝2時(shí)y＝－4＋12－＝，所以紅色區(qū)域內(nèi)在直線x＝2上的整點(diǎn)有（2，0）和（2，1）；當(dāng)x＝3時(shí)y＝，且拋物線的對(duì)稱軸是x＝3，所以紅色區(qū)域內(nèi)在直線x＝3上的整點(diǎn)有（3，0）、（3，1）、（3，2）；由拋物線的對(duì)稱性可知在紅色區(qū)域內(nèi)直線x＝4上的整點(diǎn)有兩個(gè)。所以滿足題意的整點(diǎn)共7個(gè)。本題可用數(shù)形結(jié)合法，畫出圖象，結(jié)果一目了然。 **5. B 解析：設(shè)AE＝AH＝CF＝CG＝x，則BE＝DG＝a－x，BF＝DH＝b－x，設(shè)四邊形EFGH的面積為y，依題意，得y＝ab－x2－（a－x）（b－x），即y＝－2x2＋（a＋b）x，∵－2＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值為＝（a＋b）2。故選B。 **6. B 解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，半圓的半徑是r m，中間的矩形區(qū)域面積是S m2，根據(jù)題意知2x＋2πr＝400。所以S＝2rx＝r（400－2πr）＝－2πr2＋400r，即S是r的二次函數(shù)，其圖象開口向下，當(dāng)r＝－＝時(shí)，S取得最大值。此時(shí)x＝＝100（m），所以，應(yīng)設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)為100m，寬約為2r＝≈63.7m時(shí)，矩形面積最大，故選B。 7. y＝－πx2＋16π 解析：半徑為4的圓的面積是16π，半徑為x的圓的面積是πx2，所以函數(shù)解析式為y＝－πx2＋16π。 8. y＝（20－2t）2 解析：由題意可知重疊部分為等腰直角三角形，且AM＝20－2t，所以重疊部分的面積y＝（20－2t）2。 9. 16cm2 解析：根據(jù)題意，點(diǎn)P沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，∴AP＝2t，AQ＝t，S△APQ＝t2，∵0＜t≤4，∴三角形APQ的最大面積是16。 10. 23 解析：本題即是求△EBF面積的最大值，設(shè)其面積為y，y＝BEBF，因?yàn)镋B＋BF＝，設(shè)BE＝x，則BF＝－x，所以y＝x（－x）＝－x2＋x。由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x＝時(shí)y取得最大值為y＝。所以五邊形AEFCD的面積的最小值是25－＝。 11. 解：已知抽屜底面寬為x cm，則底面長(zhǎng)為1802－x＝（90－x）cm。由題意得：y＝x（90－x）20＝－20（x2－90x）＝－20（x－45）2＋40500，當(dāng)x＝45時(shí)，y有最大值，最大值為40500。答：當(dāng)抽屜底面寬為45cm時(shí)，抽屜的體積最大，最大體積為40500cm3。 12. 解：（1）拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，說明△＝0，即（－2）2－4（m－1）＝0，∴m＝2。（2）由（1）得拋物線的解析式是y＝x2－2x＋1，∴A（0，1），B（1，0），∴△AOB是等腰直角三角形。又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45，A，C是拋物線上一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形。 *13. 解：把x＝m代入拋物線y＝－x2＋6x中，得AD＝－m2＋6m，把y＝－m2＋6m代入拋物線y＝－x2＋6x中，得－m2＋6m＝－x2＋6x，解得x1＝m，x2＝6－m，∴C的橫坐標(biāo)是6－m，故AB＝6－m－m＝6－2m，∴矩形的周長(zhǎng)l＝2（－m2＋6m）＋2（6－2m），即l＝－2m2＋8m＋12。 **14. 解：連接EC，作DF⊥EC，垂足為F，∵∠DCB＝∠CDE＝∠DEA，∠EAB＝∠CBA＝90，∴∠DCB＝∠CDE＝∠DEA＝120，∵DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE＝30，∴∠CEA＝∠ECB＝90，∴四邊形EABC為矩形，∵DE＝x m，∴AE＝6－x，DF＝x，EC＝x，S＝－x2＋6x（0＜x＜6）。∴當(dāng)x＝4m時(shí)，S最大＝12m2。 **15. 解：根據(jù)題意等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為x m，矩形的一邊長(zhǎng)為2x m。所以S＝2x[10－2x－x]＋xx＝－（3＋2）x2＋20x，（0＜x＜10－5）。當(dāng)x＝＝30－20時(shí)，金屬框圍成的面積最大，此時(shí)矩形的一邊長(zhǎng)2x＝60－40（m），相鄰邊長(zhǎng)為10－（2＋）10（3－2）＝10－10（m），S最大＝100（3－2）＝300－200（m2）。