九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專(zhuān)題突破講練 a、b、c對(duì)拋物線y＝ax2＋bx＋c的影響試題 （新版）青島版.doc

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a、b、c對(duì)拋物線y＝ax2＋bx＋c的影響 拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象及性質(zhì)與系數(shù)a、b、c的關(guān)系制表 a、b、c的代數(shù)式 作用 說(shuō)明 a （1）a的正、負(fù)決定拋物線的開(kāi)口方向； （2）︱a︱的大小決定拋物線的開(kāi)口大小，︱a︱越大，開(kāi)口越??；︱a︱越小，開(kāi)口越大 a＞0 開(kāi)口向上 a＜0 開(kāi)口向下 c 確定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c） c＞0 交點(diǎn)在y軸的正半軸 c＝0 交點(diǎn)在原點(diǎn) c＜0 交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸 － 確定對(duì)稱(chēng)軸的位置，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－ a、b同號(hào) 對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè) a、b異號(hào) 對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè) b2－4ac 確定拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù) b2－4ac＞0 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) b2－4ac＝0 拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn) b2－4ac＜0 拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn) 方法歸納：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c。若a＋b＋c＞0，則x＝1時(shí)y＞0；若a－b＋c＞0，則x＝－1時(shí)y＞0。 （2）a、b的符號(hào)決定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的位置。當(dāng)b＝0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；當(dāng)ab＞0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；當(dāng)ab＜0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)。 總結(jié)： 1. 根據(jù)a、b、c的符號(hào)判斷二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象的位置。 2. 根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，a、b、c的符號(hào)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。 例題1 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，給出下列說(shuō)法：①ac＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＝0；④當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大；⑤當(dāng)y＞0時(shí)，－1＜x＜3。其中，正確的說(shuō)法有（ ） A. ②③ B. ①③ C. ②⑤ D. ③④⑤ 解析：根據(jù)圖象開(kāi)口向下和與y軸的交點(diǎn)位置，求出a＜0，c＞0，即可判斷①；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)－＝1可判定②；把x＝1代入拋物線，根據(jù)縱坐標(biāo)y的值可判斷③；根據(jù)圖象的性質(zhì)（部分圖象的延伸方向）可判斷④；根據(jù)圖象在x軸的上方時(shí)，y＞0，即可求出x的取值范圍。 答案：∵拋物線的開(kāi)口向下，與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①錯(cuò)誤；由圖象可知：－＝1，∴2a＋b＝0，∴②正確；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c＞0，∴③錯(cuò)誤；由圖象可知：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減小，∴④錯(cuò)誤；根據(jù)圖象，當(dāng)－1＜x＜3時(shí)，y＞0，∴⑤正確；正確的說(shuō)法有②⑤。 點(diǎn)撥：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，注意：根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向即可得到a的正負(fù)，根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求出c的值，根據(jù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)得出2a和b的關(guān)系式，把x＝1或－1代入即可求出a＋b＋c和a－b＋c的值，題型較好，但有一定的難度。 例題2 已知一元二次方程7x2－（k＋13）x－k＋2＝0的兩實(shí)數(shù)根x1、x2滿足0＜x1＜1，1＜x2＜2，求k的取值范圍。 解析：畫(huà)出二次函數(shù)y＝7x2－（k＋13）x－k＋2的草圖，根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)確定不等式。 答案：令y＝7x2－（k＋13）x－k＋2，則由已知條件可知，此拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0）、（x2，0），0＜x1＜1，1＜x2＜2，并且開(kāi)口向上，根據(jù)這些特點(diǎn)，畫(huà)出其大致圖象，如圖所示，由圖象可得，即。解這個(gè)不等式組得－2＜k＜。 點(diǎn)撥：本題用到了建模的思想，即建立二次函數(shù)模型，用函數(shù)知識(shí)解決方程問(wèn)題，同時(shí)本題還運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，把變化的“數(shù)”用“形”清楚地顯示出來(lái)。 觀察二次函數(shù)的圖象時(shí)，重點(diǎn)是“六點(diǎn)一軸一方”。所謂“六點(diǎn)”是指拋物線與x軸兩交點(diǎn)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）、與y軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)、x＝1時(shí)對(duì)應(yīng)的拋物線上的點(diǎn)（－1，y（－1））、（1，y（1）），“一軸”即對(duì)稱(chēng)軸，“一方”就是開(kāi)口方向。其中開(kāi)口方向決定a的符號(hào)，對(duì)稱(chēng)軸及a的符號(hào)決定b的符號(hào)，c的符號(hào)由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置決定，b2－4ac的符號(hào)由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定，點(diǎn)（－1，y（－1））決定a－b＋c的符號(hào)，點(diǎn)（1，y（1））決定a＋b＋c的符號(hào)，同時(shí)應(yīng)注意上述說(shuō)法反過(guò)來(lái)也成立。 例：若x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x1＋x2＝－，x1?x2＝。把它稱(chēng)為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理。如果設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0）。利用根與系數(shù)的關(guān)系定理可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：AB＝︱x1－x2︱＝＝＝＝。 參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題： 設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形。 （1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求b2－4ac的值； （2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b2－4ac的值。 解：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，過(guò)C作CE⊥AB于E，則AB＝2CE?！邟佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，△＝b2－4ac＞0，則︱b2－4ac︱＝b2－4ac。∵a＞0，∴AB＝＝，又∵CE＝︱︱＝，∴＝2，∴＝，∴b2－4ac＝，∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4； （2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可得CE＝AB，∴＝，∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12。 分析：本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)及根與系數(shù)的關(guān)系定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等。解題關(guān)鍵是建立拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與拋物線和x軸兩交點(diǎn)間線段長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系。 （答題時(shí)間：30分鐘） 一、選擇題 1. 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A. a＞0 B. 當(dāng)－1＜x＜3時(shí)，y＞0 C. c＜0 D. 當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大 *2. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋8x＋b的圖象可能是（ ） *3. 如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，下列結(jié)論：①abc＞0；②4a－2b＋c＜0；③2a－b＜0。其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 0個(gè) **4. 已知b＜0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象如下列四個(gè)圖之一所示。根據(jù)圖象分析，a的值等于（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D．2 **5. 如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，－2），且頂點(diǎn)在第三象限，設(shè)P＝a－b＋c，則P的取值范圍是（ ） A. －4＜P＜0 B. －4＜P＜－2 C. －2＜P＜0 D. －1＜P＜0 **6. 小軒從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①ab＞0；②a＋b＋c＜0；③b＋2c＞0；④a－2b＋4c＞0；⑤a＝b。你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有（ ） A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) 二、填空題 7. 如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）和一次函數(shù)y2＝dx＋e（d≠0）的圖象相交于點(diǎn)A（m，n）和點(diǎn)B（p，q）。當(dāng)y1＜y2時(shí)，用m、p表示x的取值范圍是__________。 8. 若二次函數(shù)y＝x2－6x＋c的圖像過(guò)A（－1，y1）、B（2，y2）、C（3＋，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是__________。 *9. 若關(guān)于x的函數(shù)y＝kx2＋2x－1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_________。 **10. 已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m（am＋b）（m是不等于1的實(shí)數(shù)）。其中正確結(jié)論的序號(hào)有__________。 三、解答題 11. 已知拋物線y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）過(guò)點(diǎn)A（1，0），頂點(diǎn)為B，且拋物線不經(jīng)過(guò)第三象限。 （1）使用a、c表示b； （2）判斷點(diǎn)B所在象限，并說(shuō)明理由。 *12. 我們知道，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是y＝ax2＋bx（a≠0）。 （1）對(duì)于這樣的拋物線：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a＝__________；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，a與m之間的關(guān)系式是__________； （2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過(guò)原點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝kx（k≠0）上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b。 *13. 已知拋物線y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B在原點(diǎn)O兩側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A，C在一次函數(shù)y2＝x＋n的圖象上，線段AB長(zhǎng)為16，線段OC長(zhǎng)為8，當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí)，求自變量x的取值范圍。 **14. 已知二次函數(shù)y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m為常數(shù)，且a≠0）。 （1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)； （2）設(shè)該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D。 ①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值： ②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值。  一、選擇題 1. B 解析：A. 拋物線的開(kāi)口方向向下，則a＜0，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B. 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，拋物線與x軸的一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1，則拋物線與x軸的另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，所以當(dāng)－1＜x＜3時(shí)，y＞0。故本選項(xiàng)正確；C. 該拋物線與y軸交于正半軸，則c＞0，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D. 根據(jù)圖示知，當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。 *2. C 解析：x＝0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值均為y＝b，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)的圖象與y軸相交于同一點(diǎn)，故B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由A、C選項(xiàng)可知，拋物線開(kāi)口方向向上，所以a＞0，所以一次函數(shù)y＝ax＋b經(jīng)過(guò)第一、三象限，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確。故選C。 *3. C 解析：由圖可知c＞0，a＜0，－＜0，∴b＜0，∴abc＞0，①正確；當(dāng)x＝－2時(shí)y＜0，即4a－2b＋c＜0，②正確；由對(duì)稱(chēng)軸－＞－1得1－＞0，∵a＜0，∴2a－b＜0，③正確。 **4. C 解析：由圖可知，第1、2兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，所以x＝－＝0，解得b＝0，與已知中b＜0相矛盾；第3個(gè)圖拋物線開(kāi)口向上，a＞0，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，a2－1＝0，解得a1＝1，a2＝－1（舍去），對(duì)稱(chēng)軸x＝－＝－＞0，所以b＜0，符合題意，故a＝1，第4個(gè)圖拋物線開(kāi)口向下，a＜0，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，a2－1＝0，解得a1＝1（舍去），a2＝－1，對(duì)稱(chēng)軸x＝－＝－＞0，所以b＞0，不符合題意，綜上所述，a的值等于1。故選C。 **5. A 解析：∵二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，∴a＞0，∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左邊，∴－＜0， ∴b＞0，∵圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，－2），過(guò)（1，0）點(diǎn)，代入得：a＋b－2＝0， ∴a＝2－b，b＝2－a，∴y＝ax2＋（2－a）x－2，把x＝－1代入得：y＝a－（2－a）－2＝2a－4，即y＝a－b＋c＝P。∵b＞0，∴b＝2－a＞0，∴a＜2，∵a＞0，∴0＜a＜2，∴0＜2a＜4，∴－4＜2a－4＜0，即－4＜P＜0，故選A。 **6. D 解析：①如圖，∵拋物線開(kāi)口方向向下，∴a＜0。∵對(duì)稱(chēng)軸x＝－＝－，∴b＝a＜0，∴ab＞0，且有3b＝2a，a＝b。故①和⑤正確；②如圖，當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，即a＋b＋c＜0。故②正確；③如圖，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c＞0，∴2a－2b＋2c＞0，又3b＝2a，∴3b－2b＋2c＞0，即b＋2c＞0。故③正確；④如圖，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＞0，即a－b＋c＞0。拋物線與y軸交于正半軸，則c＞0。∵b＜0，∴c－b＞0，∴（a－b＋c）＋（c－b）＋2c＞0，即a－2b＋4c＞0。故④正確。綜上所述，正確的結(jié)論是①②③④⑤，共5個(gè)。故選D。 二、填空題 7. m＜x＜p 解析：直接觀察圖象即可。 8. y1＞y3＞y2 解析：因?yàn)榇藪佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸是x＝3，開(kāi)口向上，所以A、B在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，因?yàn)?－（－1）＞（3＋）－3＞3－2，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知y1＞y3＞y2。 *9. k＝0或k＝－1 解析：函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，有兩個(gè)可能：（1）當(dāng)k＝0時(shí)，是一次函數(shù)，符合題意；（2）當(dāng)k≠0時(shí)，△＝4＋4k＝0，解得k＝－1，所以k＝0或k＝－1。 **10. ①③④ 解析：由圖象可知，a＜0，c＞0，－＞0，所以b＞0，因此，abc＜0，①正確；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＜0，所以a－b＋c＜0，即b＞a＋c，所以②錯(cuò)誤；由對(duì)稱(chēng)軸－＝1，得b＝－2a，又∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在－1與0之間，∴另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)必大于2，∴當(dāng)x＝2時(shí)y＝4a＋2b＋c＞0，③正確；對(duì)于④，∵由①②知b＝－2a且b＞a＋c，所以2b＞2a＋2c，∴2c＜3b，④正確；⑤∵x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c（最大值），x＝m時(shí)，y＝am2＋bm＋c，∵m≠1，∴a＋b＋c＞am2＋bm＋c，∴a＋b＞m（am＋b）成立?！啖蒎e(cuò)誤，選①③④。 三、解答題 11. 解：（1）∵拋物線y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）經(jīng)過(guò)A（1，0），代入可得b＝－a－c； （2）B在第四象限。理由如下：∵拋物線y1＝ax2＋bx＋c（a≠0，a≠c）過(guò)點(diǎn)A（1，0），∴x1＝1，x2＝，a≠c，所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過(guò)第三象限，所以a＞0，且頂點(diǎn)在第四象限。 *12. 解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），∴，解得。即當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a＝－1；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，，解得。則a與m之間的關(guān)系式是：a＝－或am＋1＝0。 （2）∵a≠0，∴y＝ax2＋bx＝a（x＋）2－，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（－，－）。又∵該頂點(diǎn)在直線y＝kx（k≠0）上，∴k（－）＝－。∵b≠0，∴b＝2k。 *13. 解：根據(jù)OC長(zhǎng)為8可得一次函數(shù)中n的值為8或－8。分類(lèi)討論：①n＝8時(shí)，易得A（－6，0），如圖1，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，且與x軸交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩側(cè)，∴拋物線開(kāi)口向下，則a＜0，∵AB＝16，且A（－6，0），∴B（10，0），而A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴對(duì)稱(chēng)軸直線x＝＝2，要使y1隨著x的增大而減小，而a＜0，∴x＞2；②n＝－8時(shí)，易得A（6，0），如圖2，∵拋物線過(guò)A、C兩點(diǎn)，且與x軸交點(diǎn)A，B在原點(diǎn)兩側(cè)，∴拋物線開(kāi)口向上，則a＞0，∵AB＝16，且A（6，0），∴B（－10，0），而A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴對(duì)稱(chēng)軸直線x＝＝－2，要使y1隨著x的增大而減小，且a＞0，∴x＜－2。 **14. （1）證明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am。因?yàn)楫?dāng)a≠0時(shí)，[－（2am＋a）]2－4a（am2＋am）＝a2＞0，所以方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。所以不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。 （2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－）2－，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，－）。當(dāng)y＝0時(shí)，a（x－m）2－a（x－m）＝0，解得x1＝m，x2＝m＋1，所以AB＝1。當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，1︱－︱＝1，解得a＝－8或a＝8。 ②當(dāng)x＝0時(shí)，y＝am2＋am，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，am2＋am）?！鰽BC的面積與△ABD的面積相等有三種情況：拋物線與y軸交點(diǎn)正好是頂點(diǎn)、拋物線與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)在x軸的異側(cè)，無(wú)論哪種情況均有1︱－︱＝1︱am2＋am︱，即︱－︱＝︱am2＋am︱，所以m＝－，或m＝，或m＝。