2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二 4-2-3 直線與圓的方程的應用 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二 4-2-3 直線與圓的方程的應用 教案 教學目標 1.知識與技能： （1）理解直線與圓的位置的種類，重點是利用直線和圓的位置關系解決實際問題； （2）利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系，會用“數(shù)形結合”的數(shù)學思想解決問題； （3）會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系，會用代數(shù)的方法來判斷直線與圓的位置關系。 2.過程與方法：加深對數(shù)形結合思想和待定系數(shù)法的理解；增強應用數(shù)學的意識。 從高考發(fā)展的趨勢看，高考越來越重視學生的分析問題、解決問題的能力。因此，要求學生在學習中遇到問題時，不要急于求成，而要根據(jù)問題提供的信息回憶所學知識，涉及到轉化思想，數(shù)形結合的思想，應用平面解析幾何的相關知識。 經(jīng)歷公理的推導過程，體驗由特殊到一般、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。使學生初步學會把一些實際問題轉化為直線和圓的位置關系的問題,關鍵是要使該問題是否滿足直線和圓的位置關系以及它們之間的關系，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力 3.情感態(tài)度價值觀： （1）空間教學的核心問題是讓學生了解圓的特征，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價身邊的一些現(xiàn)象； （2）用有現(xiàn)實意義的實例，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。培養(yǎng)學生掌握“理論來源于實踐，并把理論應用于實踐”的辨證思想 重點難點 1.教學重點：利用平面直角坐標系中點到直線的距離公式求圓心到直線的距離； 2.教學難點：會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系，會用代數(shù)的方法來判斷直線與圓的位置關系。 教學過程： 導入新課 如圖1,某城市中的高空觀覽車的高度是100 m, 圖1 在離觀覽車約150 m處有一建筑物,某人在離建筑物100 m的地方剛好可以看到觀覽車,你根據(jù)上述數(shù)據(jù),如何求出該建筑物的高度？要解決這個問題,我們繼續(xù)研究直線與圓的方程的應用,教師板書課題:直線與圓的方程的應用. 推進新課 新知探究 提出問題 ①你能說出直線與圓的位置關系嗎？ ②解決直線與圓的位置關系,你將采用什么方法？ ③閱讀并思考教科書上的例4,你將選擇什么方法解決例4的問題？ ④你能分析一下確定一個圓的方程的要點嗎？ ⑤你能利用“坐標法”解決例5嗎？ 活動：學生回憶,教師引導,教師提問,學生回答,學生之間可以相互交流討論,學生有困難教師點撥.教師引導學生考慮解決問題的思路,要全面考慮,發(fā)散思維.①學生回顧學習的直線與圓的位置關系的種類；②解決直線與圓的位置關系,可以采取兩種方法；③首先考慮問題的實際意義,如果本題出在初中,我們沒有考慮的余地,只有幾何法,在這里當然可以考慮用坐標法,兩種方法比較可知哪個簡單；④回顧圓的定義可知確定一個圓的方程的條件；⑤利用“坐標法”解決問題的關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?再利用代數(shù)與幾何元素的相互轉化得到結論. 討論結果：①直線與圓的位置關系有三類:相交、相切、相離. ②解決直線與圓的位置關系,將采用代數(shù)和幾何兩種方法,多數(shù)情況下采用圓心到直線的距離與半徑的關系來解決. ③閱讀并思考教科書上的例4,先用代數(shù)方法及坐標法,再用幾何法,作一比較. ④你能分析一下確定一個圓的方程的要點,圓心坐標和半徑,有時關于D、E、F的三個獨立的條件也可. ⑤建立適當?shù)淖鴺讼?具體解法我們在例題中展開. 應用示例 例1 講解課本4.2節(jié)例4,解法一見課本. 圖2 解法二：如圖2,過P2作P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10. 在Rt△AOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2設拱圓所在的圓的半徑為r,則有r2=(r-4)2+102. 解得r=14.5. 在Rt△CP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2. 因為|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25. 又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A2P2的長度約為3.86 cm. 點評：通過課本解法我們總結利用坐標法解決幾何問題的步驟是：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論. 把兩種解法比較可以看出坐標法通俗易懂,幾何法較難想,繁瑣,因此解題時要有所選擇. 變式訓練 已知圓內接四邊形的對角線互相垂直,求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半. 圖3 解:如圖3,以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA、DB所在直線分別為x軸、y軸,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺? 系,設A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 過四邊形ABCD的外接圓的圓心O1分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E, 則M、N、E分別為線段AC、BD、AD的中點,由線段的中點坐標公式,得 =xm=,=yn=,xE=,yE=. 所以|O1E|=. 又|BC|=,所以|O1E|=|BC|. 點評:用坐標法解決幾何問題時,先用坐標和方程表示相應的幾何元素、點、直線、圓.將幾何問題轉化為代數(shù)問題,然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題,最后解釋代數(shù)運算結果的幾何意義,得到幾何問題的結論. 例2 有一種大型商品,A、B兩地都有出售,且價格相同,某地居民從兩地之一購得商品后回運的運費是：每單位距離A地的運費是B地運費的3倍,已知A、B兩地相距10 km,居民選擇A或B地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低.求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民應如何選擇購貨地點. 活動：學生先審題,然后思考或討論,學生有困難教師可以提示引導,建立適當?shù)淖鴺讼?這里以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標系較簡單,假設一點距A地近,且費用低,列方程或不等式. 解:以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標系,則A(－5,0),B(5,0).設某地P的坐標為(x,y),且P地居民選擇A地購買商品的費用較低,并設A地的運費為3a元/km,則B地運費為a元/km.由于P地居民購買商品的總費用滿足條件：價格+A地運費≤價格+B地運費, 即3a≤a,整理得(x+)2+y2≤()2. 所以以點C(-,0)為圓心,為半徑的圓就是兩地居民購貨的分界線.圓內的居民從A地購貨費用較低,圓外的居民從B地購貨費用較低,圓上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等,因此可以隨意從A、B兩地之一購貨. 點評:在學習中要注意聯(lián)系實際,重視數(shù)學在生產(chǎn)、生活和相關學科中的應用,解決有關實際問題時,關鍵要明確題意,掌握建立數(shù)學模型的基本方法. 拓展提升 某種體育比賽的規(guī)則是:進攻隊員與防守隊員均在安全線l的垂線AC上(C為垂足),且距C分別為2a和a(a＞0)的點A和B,進攻隊員沿直線AD向安全線跑動,防守隊員沿直線方向向前攔截,設AD和BM交于M,若在M點,防守隊員比進攻隊員先到或同時到,則進攻隊員失敗,已知進攻隊員的速度是防守隊員速度的兩倍,且他們雙方速度不變,問進攻隊員的路線AD應為什么方向才能取勝? 圖4 解:如圖4,以l為x軸,C為原點建立直角坐標系,設防守隊員速度為v,則進攻隊員速度為2v,設點M坐標為(x,y),進攻隊員與防守隊員跑到點M所需時間分別為t1=,t2=. 若t1＜t2,則|AM|＜2|BM|,即. 整理,得x2+(y-a)2＞(a)2,這說明點M應在圓E:x2+(y-a)2=(a)2以外,進攻隊員方能取勝.設AN為圓E的切線,N為切點,在Rt△AEN中,容易求出∠EAN=30,所以進攻隊員的路線AD與AC所成角大于30即可. 反饋練習：課本P132，練習1，2。 歸納小結： （1）利用“坐標法”解決問題需要準備什么工作？ （2）如何建立直角坐標系，才能易于解決平面幾何問題？ （3）用“坐標法”解決幾何問題的關鍵是什么？ （4）建立不同的平面直角坐標系，對解決問題有什么直接的影響？ 作業(yè)：課本P132，練習3，4。