2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大(?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc
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1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.理解函數(shù)的最值的概念.(難點)2.了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.(易混點)3.會用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值.(重點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.函數(shù)的最大(小)值的存在性 一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值. 思考:函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么? [提示]函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念,最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值;最小值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值. 函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的,函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的,函數(shù)的極值可以有多個,但最值只能有一個;極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值則可以在端點取得;有極值的未必有最值,有最值的未必有極值;極值有可能成為最值,最值只要不在端點必定是極值. 當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點時,若在這一點處f(x)有極大值(或極小值),則可以判定f(x)在該點處取得最大值(或最小值),這里(a,b)也可以是無窮區(qū)間. 2.求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟 (1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個就是最大值,最小的一個就是最小值. [基礎(chǔ)自測] 1.思考辨析 (1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值.( ) (2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.( ) (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得.( ) [答案] (1) (2)√ (3) 2.函數(shù)f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上( ) A.無最值 B.有極值 C.有最大值 D.有最小值 A [f′(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,無極值,也無最值.] 3.函數(shù)f(x)=在區(qū)間[2,4]上的最小值為( ) A.0 B. C. D. C [f′(x)==,當(dāng)x∈[2,4]時,f′(x)<0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上是單調(diào)遞減函數(shù),故當(dāng)x=4時,函數(shù)f(x)有最小值.] 4.已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2,2]),f(x)的最小值為1,則m=________. 【導(dǎo)學(xué)號:31062058】 [解析] f′(x)=-3x2+6x,x∈[-2,2]. 令f′(x)=0,得x=0,或x=2, 當(dāng)x∈(-2,0)時,f′(x)<0, 當(dāng)x∈(0,2)時,f′(x)>0, ∴當(dāng)x=0時,f(x)有極小值,也是最小值. ∴f(0)=m=1. [答案] 1 [合 作 探 究攻 重 難] 求函數(shù)的最值 角度1 不含參數(shù)的函數(shù)最值 求下列各函數(shù)的最值. (1)f(x)=3x3-9x+5,x∈[-2,2]; (2)f(x)=sin 2x-x,x∈. [解] (1)f′(x)=9x2-9=9(x+1)(x-1), 令f′(x)=0得x=-1或x=1. 當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)變化狀態(tài)如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 f′(x) / + 0 - 0 + / f(x) -1 11 -1 11 從表中可以看出,當(dāng)x=-2時或x=1時,函數(shù)f(x)取得最小值-1. 當(dāng)x=-1或x=2時,函數(shù)f(x)取得最大值11. (2)f′(x)=2cos 2x-1,令f′(x)=0,得cos 2x=, 又∵x∈,∴2x∈[-π,π]. ∴2x=.∴x=. ∴函數(shù)f(x)在上的兩個極值分別為 f=-,f=-+. 又f=-,f=. 比較以上函數(shù)值可得f(x)max=,f(x)min=-. 角度2 含參數(shù)的函數(shù)最值 a為常數(shù),求函數(shù)f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號:31062059】 [解] f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a≤0,則f′(x)≤0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=0時,有最大值f(0)=0.若a>0,則令f′(x)=0,解得x=. ∵x∈[0,1],則只考慮x=的情況. (1)若0<<1,即0<a<1, 則當(dāng)x=時,f(x)有最大值f()=2a.(如下表所示) x 0 (0,) (,1) 1 f′(x) + 0 - f(x) 0 2a 3a-1 (2)若≥1,即a≥1時,則當(dāng)0≤x≤1時,f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時,f(x)有最大值f(1)=3a-1. 綜上可知,當(dāng)a≤0,x=0時,f(x)有最大值0; 當(dāng)0<a<1,x=時,f(x)有最大值2a; 當(dāng)a≥1,x=1時,f(x)有最大值3a-1. [規(guī)律方法] 1.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值,需注意以下幾點 (1)對函數(shù)進行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗f′(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi). (2)研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點函數(shù)值. (3)比較極值與端點函數(shù)值的大小,確定最值. 2.由于參數(shù)的取值范圍不同會導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化,從而導(dǎo)致最值的變化,所以解決含參數(shù)的函數(shù)最值問題常常需要分類討論,并結(jié)合不等式的知識進行求解. [跟蹤訓(xùn)練] 1.已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值. [解] f′(x)=3x2-2ax. 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=. ①當(dāng)≤0,即a≤0時, f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增, 從而f(x)max=f(2)=8-4a. ②當(dāng)≥2,即a≥3時, f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減, 從而f(x)max=f(0)=0. ③當(dāng)0<<2,即0<a<3時,f(x)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增, 從而f(x)max= 綜上所述,f(x)max= 已知函數(shù)的最值求參數(shù) 已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值為3,最小值為-29,求a,b的值. 【導(dǎo)學(xué)號:31062060】 [解] 由題設(shè)知a≠0,否則f(x)=b為常函數(shù),與題設(shè)矛盾. 求導(dǎo)得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). (1)當(dāng)a>0,且x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) + 0 - f(x) -7a+b b -16a+b 由表可知,當(dāng)x=0時,f(x)取得極大值b,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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