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1、
空間圖形的基本關(guān)系與公理
建議用時(shí):45分鐘
一、選擇題
1.a(chǎn),b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個(gè)命題中,真命題是( )
A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面
B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交
C.若a∥b,則a,b與c所成的角相等
D.若a⊥b,b⊥c,則a∥c
C [若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若a⊥b,b⊥c,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.]
2.給出下列說(shuō)法:①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面;②三條平行直線共面;③有三個(gè)公
2、共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合;④三條直線兩兩相交,可以確定1個(gè)或3個(gè)平面.其中正確的序號(hào)是( )
A.① B.①④
C.②③ D.③④
B [①顯然正確;②錯(cuò)誤,三條平行直線可能確定1個(gè)或3個(gè)平面;③若三個(gè)點(diǎn)共線,則兩個(gè)平面相交,故③錯(cuò)誤;④顯然正確.故選B.]
3.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是( )
A B C D
D [A,B,C圖中四點(diǎn)一定共面,D中四點(diǎn)不共面.]
4.如圖所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,則平面ABC與平面β的交線是( )
A.
3、直線AC
B.直線AB
C.直線CD
D.直線BC
C [由題意知,D∈l,lβ,所以D∈β,
又因?yàn)镈∈AB,所以D∈平面ABC,
所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上.
又因?yàn)镃∈平面ABC,C∈β,
所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上,
所以平面ABC∩平面β=CD.]
5.(2019·陜西省第三次聯(lián)考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn),則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
B [如圖,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連接A1D、AD、A1B,易知∠A1AB即為異面
4、直線AB與CC1所成的角(或其補(bǔ)角).
設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為1,
則AD=,A1D=,A1B=,
由余弦定理,得cos∠A1AB===.故選B.]
二、填空題
6.四條線段順次首尾相連,它們最多可確定________個(gè)平面.
4 [首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面,所以最多可以確定4個(gè)平面.]
7.在四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn).若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______.
或 [如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接OE,OF.
因?yàn)镺E∥AC,OF∥BD,
所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為
5、AC與BD所成的角,而AC,BD所成角為60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.當(dāng)∠EOF=60°時(shí),EF=OE=OF=.當(dāng)∠EOF=120°時(shí),取EF的中點(diǎn)M,則OM⊥EF,EF=2EM=2×=.]
8.(2019·長(zhǎng)白山模擬)下列命題中不正確的是________.(填序號(hào))
①?zèng)]有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線;
②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面;
③一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條直線不可能平行;
④一條直線和兩條異面直線都相交,則它們可以確定兩個(gè)平面.
①② [沒(méi)有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面,故①錯(cuò);命題②錯(cuò),此時(shí)兩直線有可能相交;命題③正確,因?yàn)?/p>
6、若直線a和b異面,c∥a,則c與b不可能平行,用反證法證明如下:若c∥b,又c∥a,則a∥b,這與a,b異面矛盾,故c與b不平行;命題④正確,若c與兩異面直線a,b都相交,可知,a,c可確定一個(gè)平面,b,c也可確定一個(gè)平面,這樣,a,b,c共確定兩個(gè)平面.]
三、解答題
9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求AC與A1D所成角的大??;
(2)若E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),求A1C1與EF所成角的大小.
[解] (1)如圖,連接B1C,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,易知A1D ∥B1C,從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角.
因?yàn)锳B1=A
7、C=B1C,
所以∠B1CA=60°.
即A1D與AC所成的角為60°.
(2)連接BD,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1.
因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),
所以EF∥BD,所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.
10.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BC綊AD,BE綊FA,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點(diǎn).
(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;
(2)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面?為什么?
[解] (1)證明:由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD,可得GH綊AD.又BC綊AD,∴GH綊BC.
∴四邊
8、形BCHG為平行四邊形.
(2)∵BE綊AF,G為FA的中點(diǎn),
∴BE綊FG,
∴四邊形BEFG為平行四邊形,∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF與CH共面.
又D∈FH,∴C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.
1.已知A,B,C,D是空間四點(diǎn),命題甲:A,B,C,D四點(diǎn)不共面,命題乙:直線AC和BD不相交,則甲是乙成立的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
A [若A,B,C,D四點(diǎn)不共面,則直線AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直線AC和BD不相交,當(dāng)直線AC和BD平行時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)
9、共面,所以甲是乙成立的充分不必要條件.]
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,則AB1與BC1所成角的大小為
( )
A.30° B.60°
C.75° D.90°
D [將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCD-A1B1C1D1,連接C1D,BD,則C1D∥B1A,∠BC1D為所求角或其補(bǔ)角.設(shè)BB1=,則BC=CD=2,∠BCD=120°,BD=2,又因?yàn)锽C1=C1D=,所以∠BC1D=90°.]
3.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:
①AB⊥EF;②AB與CM所成的角為60°;③EF與MN是異面直線;
10、④MN∥CD.
以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是________.
①③ [如圖,①AB⊥EF,正確;②顯然AB∥CM,所以不正確;③EF與MN是異面直線,所以正確;④MN與CD異面,并且垂直,所以不正確,則正確的是①③.]
4.(2019·上海高考改編)如圖,在正三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=.
(1)若PB的中點(diǎn)為M,BC的中點(diǎn)為N,求AC與MN夾角的余弦值;
(2)求P-ABC的體積.
[解] (1)∵M(jìn),N分別為PB,BC的中點(diǎn),
∴MN∥PC,
則∠PCA為AC與MN所成角,
在△PAC中,由PA=PC=2,AC=,
可得cos∠PC
11、A
===,
∴AC與MN夾角的余弦值為.
(2)過(guò)P作底面垂線,垂足為O,則O為底面三角形的中心,連接AO并延長(zhǎng),交BC于N,則AN=,
AO=AN=1.
∴PO==.
∴VP-ABC=××××=.
1.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,在鱉臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為( )
A. B.-
C. D.-
A [如圖所示,分別取AB,AD,BC,BD的中點(diǎn)E,F(xiàn),G,O,連接EF,F(xiàn)O,OG,GE,GF,
則EF∥BD,EG∥AC,F(xiàn)O⊥OG,
12、∴∠FEG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成的角.
設(shè)AB=2a,則EG=EF=a,F(xiàn)G==a,
∴△EFG是等邊三角形,∴∠FEG=60°,
∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為,故選A.]
2.如圖所示,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),將此正方形沿EF折成直二面角后,異面直線AF與BE所成角的余弦值為_(kāi)_______.
[如圖,取BC的中點(diǎn)H,連接FH,AH,所以BE∥FH,所以∠AFH即為異面直線AF與BE所成的角.過(guò)A作AG⊥EF于G,
則G為EF的中點(diǎn).連接HG,HE,則△HGE是直角三角形.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則EF=,HE=,EG=,AG=,所以HG==,
所以AH==.
由余弦定理知cos∠AFH===.]