高考數學人教A版理科含答案配套訓練 4.1

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1、 精品資料 4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函數 1． 角的概念 (1)任意角：①定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角． (2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是S＝{β|β＝k360＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么這個角不屬于任何一個象限． 2． 弧度制 (1)定義：把長度等于

2、半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是0. (2)角度制和弧度制的互化：180＝π rad,1＝ rad,1 rad＝. (3)扇形的弧長公式：l＝|α|r，扇形的面積公式：S＝lr＝|α|r2. 3． 任意角的三角函數 任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三個三角函數的初步性質如下表： 三角函數 定義域 第一象限符號 第二象 限符號 第三象 限符號 第四象 限符號 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋

3、 tan α {α|α≠kπ＋， k∈Z} ＋ － ＋ － 4. 三角函數線 如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T. 三角函數線 　 (Ⅰ)　　　　　(Ⅱ) 　 (Ⅲ)　　　　　(Ⅳ) 有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線 1． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)小于90的角是銳角． (　　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然． (　　) (3)終邊相同的角的同一三角

4、函數值相等． (　√　) (4)點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α終邊在第二象限． (　√　) (5)α∈(0，)，則tan α>α>sin α. (　√　) (6)α為第一象限角，則sin α＋cos α>1. (　√　) 2． 下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是 (　　) A．2kπ＋45 (k∈Z) B．k360＋π (k∈Z) C．k360－315(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z) 答案　C 解析　與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不

5、能混用，所以只有答案C正確． 3． 已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數是 (　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 答案　C 解析　設此扇形的半徑為r，弧長為l， 則解得或 從而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 4． 已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝________. 答案　－8 解析　因為sin θ＝＝－， 所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8. 5． 函數y＝的定義域為________． 答案　(k∈Z) 解析　∵2cos x－1≥0，

6、 ∴cos x≥. 由三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)． ∴x∈(k∈Z). 題型一　角及其表示 例1　(1)終邊在直線y＝x上的角的集合是________． (2)如果α是第三象限角，那么角2α的終邊落在________． 思維啟迪　(1)利用終邊相同的角的集合進行表示，注意對結果進行合并； (2)根據α的范圍求2α的范圍，再確定終邊位置． 答案　(1){α|α＝kπ＋，k∈Z} (2)第一、二象限或y軸的非負半軸上 解析　(1)∵在(0，π)內終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為{α|α＝＋kπ，k∈Z}． (2)∵2k

7、π＋π<α<2kπ＋π，k∈Z， ∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z. ∴角2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負半軸上． 思維升華　(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需角． (2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成[0,2π)范圍內的一個角α與2π的整數倍的和，然后判斷角α的象限． 　(1)在直角坐標平面內，對于始邊為x軸非負半軸的角，下列命題中正確的是 (　　) A．第一象限中

8、的角一定是銳角 B．終邊相同的角必相等 C．相等的角終邊一定相同 D．不相等的角終邊一定不同 (2)已知角α＝45，在區(qū)間[－720，0]內與角α有相同終邊的角β＝________. 答案　(1)C　(2)－675或－315 解析　(1)第一象限角是滿足2kπ<α<2kπ＋，k∈Z的角，當k≠0時，它都不是銳角，與角α終邊相同的角是2kπ＋α，k∈Z；當k≠0時，它們都與α不相等，亦即終邊相同的角可以不相等，但不相等的角終邊可以相同． (2)由終邊相同的角關系知β＝k360＋45，k∈Z， ∴取k＝－2，－1，得β＝－675或β＝－315. 題型二　三角函數的概念 例2　(

9、1)已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ等 于 (　　) A．－ B．－ C. D. (2)若sin αtan α<0，且<0，則角α是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 思維啟迪　(1)由于三角函數值與選擇終邊上的哪個點沒有關系，因此知道了終邊所在的直線，可在這個直線上任取一點，然后按照三角函數的定義來計算，最后用倍角公式求值． (2)可以根據各象限內三角函數值的符號判斷． 答案　(1)B

10、　(2)C 解析　(1)取終邊上一點(a,2a)，a≠0，根據任意角的三角函數定義，可得cos θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號，從而α為第二或第三象限角． 由<0可知cos α，tan α異號，從而α為第三或第四象限角，故α為第三象限角． 思維升華　(1)利用三角函數的定義，求一個角的三角函數值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r. (2)根據三角函數定義中x、y的符號來確定各象限內三角函數的符號，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”． 　(1)

11、已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30)，且cos α＝－，則m的值為 (　　) A．－ B. C．－ D. (2)若θ是第二象限角，則________0.(判斷大小) 答案　(1)B　(2)< 解析　(1)∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m>0，∴＝，即m＝. (2)∵θ是第二象限角，∴－10，∴<0. 題型三　扇形的弧長、面積公式的應用 例3　已知一扇形的圓心角為α (α>0)，所在圓的半徑為R. (1)若α＝60，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧

12、所在的弓形的面積； (2)若扇形的周長是一定值C (C>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？ 思維啟迪　(1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關于α的函數． 解　(1)設弧長為l，弓形面積為S弓，則 α＝60＝，R＝10，l＝10＝ (cm)， S弓＝S扇－S△＝10－102sin ＝π－＝50 (cm2)． (2)扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝， ∴S扇＝αR2＝α2 ＝α＝≤. 當且僅當α2＝4，即α＝2時，扇形面積有最大值. 思維升華　涉及弧長和扇形面積的計算時，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結構簡單，易

13、記好用，在使用前，應將圓心角用弧度表示．弧長和扇形面積公式：l＝|α|R，S＝|α|R2. 　已知扇形的周長為4 cm，當它的半徑為________和圓心角為________弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________． 答案　1 cm　2　1 cm2 解析　設扇形圓心角為α，半徑為r，則 2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2. ∴S扇形＝|α|r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1， ∴當r＝1時(S扇形)max＝1，此時|α|＝2. 數形結合思想在三角函數中的應用 典例：(12分)(1)求函數y＝lg(3－4sin2x)的定義域； (2)設θ是第二象限角，

14、試比較sin ，cos ，tan 的大小． 思維啟迪　(1)求定義域，就是求使3－4sin2x>0的x的范圍．用三角函數線求解． (2)比較大小，可以從以下幾個角度觀察： ①θ是第二象限角，是第幾象限角？首先應予以確定．②sin ，cos ，tan 不能求出確定值，但可以畫出三角函數線．③借助三角函數線比較大小． 規(guī)范解答 解　(1)∵3－4sin2x>0， ∴sin2x<， ∴－

15、<θ<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z， ∴是第一或第三象限的角． [6分] (如圖陰影部分)，結合單位圓上的三角函數線可得： ①當是第一象限角時， sin ＝AB，cos ＝OA，tan ＝CT， 從而得，cos

16、馨提醒　(1)第(1)小題的實質是解一個簡單的三角不等式，可以用三角函數圖象，也可以用三角函數線．但用三角函數線更方便．(2)第(2)小題比較大小，由于沒有給出具體的角度，所以用圖形可以更直觀的表示．(3)本題易錯點：①不能確定所在的象限；②想不到應用三角函數線．原因在于概念理解不透，方法不夠靈活. 方法與技巧 1． 在利用三角函數定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點．|OP|＝r一定是正值． 2． 三角函數符號是重點，也是難點，在理解的基礎上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3． 在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數線是一個小技巧．

17、失誤與防范 1． 注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角． 2． 角度制與弧度制可利用180＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 3． 已知三角函數值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況. A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題 1． α＝k180＋45(k∈Z)，則α在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 答案　A 解析　45角在第一象限，角α和45角終

18、邊相同或互為反向延長線，∴角α在第一或第三象限． 2． 若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數為 (　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　設圓半徑為r，則其內接正三角形的邊長為r， 所以r＝αr，∴α＝. 3． 角α的終邊過點P(－1,2)，則sin α等于 (　　) A. B. C．－ D．－ 答案　B 解析　由三角函數的定義， 得sin α＝＝. 4． 若α是第三象限角，則下列各式中不成立的是 (　　) A．sin α＋cos α<0

19、 B．tan α－sin α<0 C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0 答案　B 解析　在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，則可排除A、C、D，故選B. 5． 給出下列命題： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的內角是第一象限角或第二象限角； ③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關； ④若sin α＝sin β，則α與β的終邊相同； ⑤若cos θ<0，則θ是第二或第三象限的角． 其中正確命題的個數是 (　　) A．1 B．2 C．3

20、 D．4 答案　A 解析　由于第一象限角370不小于第二象限角100，故①錯；當三角形的內角為90時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯；③正確；由于sin ＝sin ，但與的終邊不相同，故④錯；當cos θ＝－1，θ＝π時既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤錯．綜上可知只有③正確． 二、填空題 6． 設α為第二象限角，其終邊上一點為P(m，)，且cos α＝m，則sin α的值為________． 答案　 解析　設P(m，)到原點O的距離為r， 則＝cos α＝m， ∴r＝2，sin α＝＝＝. 7． 已知角α的終邊上一點的坐標為(sin ，cos )，則

21、角α的最小正值為________． 答案　π 解析　∵tan α＝＝＝－， 且sin >0，cos <0， ∴α在第四象限，由tan α＝－，得α的最小正值為π. 8． y＝ 的定義域為________． 答案　{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} 解析　∵sin x≥，作直線y＝交單位圓于A、B兩點，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為 {x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 三、解答題 9． 已知角θ的終邊經過點P(－，m) (m≠0)且sin θ＝m，試判斷角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的

22、值． 解　由題意，得r＝， 所以sin θ＝＝m. 因為m≠0，所以m＝，故角θ是第二或第三象限角． 當m＝時，r＝2，點P的坐標為(－，)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－； 當m＝－時，r＝2，點P的坐標為(－，－)，角θ是第三象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝. 10．一個扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數和弦長AB. 解　設圓的半徑為r cm，弧長為l cm， 則解得 ∴圓心角α＝＝2弧度． 如圖，過O作OH⊥AB于H，則∠AOH＝1弧度． ∴AH＝1sin 1＝sin 1(

23、cm)，∴AB＝2sin 1(cm)． B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 1． 設集合M＝{x|x＝180＋45，k∈Z}，N＝{x|x＝180＋45，k∈Z}，那么(　　) A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? 答案　B 解析　方法一　由于M＝{x|x＝180＋45，k∈Z}＝{…，－45，45，135，225，…}，N＝{x|x＝180＋45，k∈Z}＝{…，－45，0，45，90，135，180，225，…}， 顯然有M?N. 方法二　由于集合M中，x＝180＋45＝k90＋45 ＝45(2k＋1)，2

24、k＋1是奇數； 而集合N中，x＝180＋45＝k45＋45＝(k＋1)45，k＋1是整數，因此必有M?N. 2． 已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝＋＋的值為 (　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　B 解析　由α＝2kπ－(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限， 又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1. 3． 函數y＝＋ 的定義域是_____________________________________．

25、答案　(k∈Z) 解析　由題意知即 ∴x的取值范圍為＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z. 4． 已知扇形AOB的周長為8. (1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??； (2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB. 解　設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α， (1)由題意可得 解得或 ∴α＝＝或α＝＝6. (2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l2r ≤()2＝()2＝4， 當且僅當2r＝l，即α＝＝2時，扇形面積取得最大值4. ∴r＝2，∴弦長AB＝2sin 12＝4sin 1. 5． 已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合；

26、 (2)求終邊所在的象限； (3)試判斷tan sin cos 的符號． 解　(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y軸的負半軸上； 由tan α>0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合為 {α|(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z}． (2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋<0，cos <0， 所以tan sin cos 取正號； 當在第四象限時，tan <0，sin <0，cos >0， 所以tan sin cos 也取正號． 因此，tan sin cos 取正號．