2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 6 正態(tài)分布學(xué)案 北師大版選修2-3

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1、 6 正態(tài)分布 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)　正態(tài)分布 1．正態(tài)分布 正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為：f(x)＝·exp，x∈(－∞，＋∞)，其中exp{g(x)}＝eg(x)，μ表示________，σ2(σ>0)表示________．通常用X～N(μ，σ2)表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布． 2．正態(tài)分布密度函數(shù)滿足以下性質(zhì) (1)函數(shù)圖像關(guān)于直線________對(duì)稱． (2)σ(σ>0

2、)的大小決定函數(shù)圖像的__________． (3)隨機(jī)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 ①P(μ－σ

3、分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的兩個(gè)實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對(duì)稱軸為x＝μ，二是最大值為.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入f(x)中便可求出相應(yīng)的解析式． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的分布密度函數(shù)圖像如圖所示，則有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 類型二　利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率 例2　設(shè)X～N(1,22)，試求： (1)P(－15)． 　 引申探究　 本例條件不

4、變，若P(X>c＋1)＝P(Xa)； ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)利用X落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率分別是0.683,0.954,0.997求解． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．

5、0.2 (2)設(shè)X～N(6,1)，求P(4

6、密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20,4)．若這批零件共有5 000個(gè)，試求： (1)這批零件中尺寸在18～22 mm間的零件所占的百分比； (2)若規(guī)定尺寸在24～26 mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？ 　 　 　 　 　 1．某市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的分布密度曲線如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．甲科總體的方差最小 B．丙科總體的平均數(shù)最小 C．乙科總體的方差及平均數(shù)都居中 D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同 2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服

7、從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無(wú)實(shí)數(shù)根的概率為，則μ等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．不能確定 3．已知服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率分別為68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年級(jí)1 000名學(xué)生的某次考試成績(jī)X服從正態(tài)分布N(90,152)，則此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(60,120)內(nèi)的學(xué)生大約有(　　) A．997人 B．972人 C．954人 D．683人 4．設(shè)X～N，則X落在(－3.5，－0.5)內(nèi)的概率是(　　) A．95.4%

8、 B．99.7% C．4.6% D．0.3% 5．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，求P(X<0)，P(－2a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)， 若b<

9、μ，則P(X<μ－b)＝. 答案精析 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn) 1．均值　方差 2．(1)x＝μ　(2)“胖”“瘦”(3)①68.3% ②95.4%?、?9.7%　0.3% 題型探究 例1　解　從給出的分布密度曲線可知它關(guān)于直線x＝20對(duì)稱，最大值是， 所以μ＝20.由＝，解得σ＝. 于是該正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式是 f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，隨機(jī)變量總體的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 跟蹤訓(xùn)練1　A　[分布密度曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)曲線．當(dāng)μ一定時(shí)，σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高

10、且較陡峭．故選A.] 例2　解　因?yàn)閄～N(1,22)， 所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－15)＝P(X<－3)＝[1－P(－3

11、 解　因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(1,22)，所以對(duì)應(yīng)的分布密度曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱．又P(X>c＋1)＝P(X90)＝P(X－110>－20)＝P(X－μ>－

12、σ)， ∵P(X－μ<－σ)＋P(－σσ) ＝2P(X－μ<－σ)＋0.683＝1， ∴P(X－μ<－σ)＝0.159， ∴P(X>90)＝1－P(X－μ<－σ) ＝1－0.159＝0.841. ∴54×0.841≈45(人)， 即及格人數(shù)約為45. ∵P(X>130)＝P(X－110>20)＝P(X－μ>σ)， ∴P(X－μ<－σ)＋P(－σσ)＝0.683＋2P(X－μ>σ)＝1， ∴P(X－μ>σ)≈0.159，即P(X>130)≈0.159. ∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人數(shù)約為8. 跟蹤

13、訓(xùn)練3　解　(1)∵X～N(20,4)， ∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， ∴尺寸在18～22 mm間的零件所占的百分比大約是68.3%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在14～26 mm間的零件所占的百分比大約是99.7%，而尺寸在16～24 mm間的零件所占的百分比大約是95.4%. ∴尺寸在24～26 mm間的零件所占的百分比大約是＝2.15%. 因此尺寸在24～26mm間的零件大約有5 000×2.15%≈107(個(gè))． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．A　2.C　3.C　4.B 5．解　對(duì)稱軸為X＝0，故P(X<0)＝0.5， P(－2