2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 6 正態(tài)分布學(xué)案 北師大版選修2-3

6 正態(tài)分布 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.會用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題． 知識點(diǎn)　正態(tài)分布 1．正態(tài)分布 正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為：f(x)＝·exp，x∈(－∞，＋∞)，其中exp{g(x)}＝eg(x)，μ表示________，σ2(σ>0)表示________．通常用X～N(μ，σ2)表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布． 2．正態(tài)分布密度函數(shù)滿足以下性質(zhì) (1)函數(shù)圖像關(guān)于直線________對稱． (2)σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖像的__________． (3)隨機(jī)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 ①P(μ－σ<X<μ＋σ)＝________. ②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝________. ③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝________. 通常服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有________． 類型一　正態(tài)曲線的圖像的應(yīng)用 例1　如圖所示是一個正態(tài)分布，試根據(jù)該圖像寫出正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量總體均值和方差． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　利用圖像求正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的兩個實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對稱軸為x＝μ，二是最大值為.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入f(x)中便可求出相應(yīng)的解析式． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的分布密度函數(shù)圖像如圖所示，則有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 類型二　利用正態(tài)分布的對稱性求概率 例2　設(shè)X～N(1,22)，試求： (1)P(－1<X<3)；(2)P(3<X<5)；(3)P(X>5)． 　 引申探究　 本例條件不變，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值．　 反思與感悟　利用正態(tài)分布求概率的兩個方法 (1)由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故在關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．如： ①P(X<a)＝1－P(X>a)； ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)利用X落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率分別是0.683,0.954,0.997求解． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 (2)設(shè)X～N(6,1)，求P(4<X<5)． 　 　 　 　 　 類型三　正態(tài)分布的應(yīng)用 例3　設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X～N(110,202)，已知試卷滿分150分，這個班的學(xué)生共54人，求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三個區(qū)間內(nèi)的概率，在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想． 跟蹤訓(xùn)練3　有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20,4)．若這批零件共有5 000個，試求： (1)這批零件中尺寸在18～22 mm間的零件所占的百分比； (2)若規(guī)定尺寸在24～26 mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個？ 　 　 　 　 　 1．某市教學(xué)質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成績的分布密度曲線如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，下列說法中正確的是(　　) A．甲科總體的方差最小 B．丙科總體的平均數(shù)最小 C．乙科總體的方差及平均數(shù)都居中 D．甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同 2．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無實(shí)數(shù)根的概率為，則μ等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．不能確定 3．已知服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率分別為68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年級1 000名學(xué)生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N(90,152)，則此次考試成績在區(qū)間(60,120)內(nèi)的學(xué)生大約有(　　) A．997人 B．972人 C．954人 D．683人 4．設(shè)X～N，則X落在(－3.5，－0.5)內(nèi)的概率是(　　) A．95.4% B．99.7% C．4.6% D．0.3% 5．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，求P(X<0)，P(－2<X<2)． 　 　 　 　 1．理解正態(tài)分布的概念和分布密度曲線的性質(zhì)． 2．正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)的值． (2)充分利用分布密度曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這兩個特點(diǎn)． ①分布密度曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等． ②P(X<a)＝1－P(X>a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)， 若b<μ，則P(X<μ－b)＝. 答案精析 知識梳理 知識點(diǎn) 1．均值　方差 2．(1)x＝μ　(2)“胖”“瘦”(3)①68.3% ②95.4%?、?9.7%　0.3% 題型探究 例1　解　從給出的分布密度曲線可知它關(guān)于直線x＝20對稱，最大值是， 所以μ＝20.由＝，解得σ＝. 于是該正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式是 f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，隨機(jī)變量總體的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 跟蹤訓(xùn)練1　A　[分布密度曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)曲線．當(dāng)μ一定時(shí)，σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭．故選A.] 例2　解　因?yàn)閄～N(1,22)， 所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X<3)＝P(1－2<X<1＋2) ＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683. (2)因?yàn)镻(3<X<5)＝P(－3<X<－1)， 所以P(3<X<5)＝[P(－3<X<5)－P(－1<X<3)] ＝[P(1－4<X<1＋4)－P(1－2<X<1＋2)] ＝[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)] ＝×(0.954－0.683)≈0.136. (3)P(X>5)＝P(X<－3)＝[1－P(－3<X<5)]＝[1－P(1－4<X<1＋4)]＝0.023. 引申探究 解　因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(1,22)，所以對應(yīng)的分布密度曲線關(guān)于x＝1對稱．又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，因此＝1，即c＝1. 跟蹤訓(xùn)練2　(1)C (2)解　由已知得μ＝6，σ＝1. ∵P(5<X<7)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683， P(4<X<8)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954. 如圖，由正態(tài)分布的對稱性知， P(4<x<5)＝P(7<x<8)， ∴P(4<x<5)＝[P(4<x<8)－P(5<x<7)] ＝×0.271≈0.136. 例3　解　由題可知μ＝110，σ＝20， P(X>90)＝P(X－110>－20)＝P(X－μ>－σ)， ∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ<X－μ<σ)＋P(X－μ>σ) ＝2P(X－μ<－σ)＋0.683＝1， ∴P(X－μ<－σ)＝0.159， ∴P(X>90)＝1－P(X－μ<－σ) ＝1－0.159＝0.841. ∴54×0.841≈45(人)， 即及格人數(shù)約為45. ∵P(X>130)＝P(X－110>20)＝P(X－μ>σ)， ∴P(X－μ<－σ)＋P(－σ<X－μ<σ)＋P(X－μ>σ)＝0.683＋2P(X－μ>σ)＝1， ∴P(X－μ>σ)≈0.159，即P(X>130)≈0.159. ∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人數(shù)約為8. 跟蹤訓(xùn)練3　解　(1)∵X～N(20,4)， ∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， ∴尺寸在18～22 mm間的零件所占的百分比大約是68.3%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在14～26 mm間的零件所占的百分比大約是99.7%，而尺寸在16～24 mm間的零件所占的百分比大約是95.4%. ∴尺寸在24～26 mm間的零件所占的百分比大約是＝2.15%. 因此尺寸在24～26mm間的零件大約有5 000×2.15%≈107(個)． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．A　2.C　3.C　4.B 5．解　對稱軸為X＝0，故P(X<0)＝0.5， P(－2<X<2)＝P(0－2×1<X<0＋2×1)＝0.954. 8