2019-2020學年高中數(shù)學 第4講 用數(shù)學歸納法證明不等式 2 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例學案 新人教A版選修4-5

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1、二　用數(shù)學歸納法證明不等式舉例 學習目標：1.會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式．(重點)2.會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式，了解貝努利不等式的應(yīng)用條件．(難點) 教材整理　用數(shù)學歸納法證明不等式 閱讀教材P50～P53，完成下列問題． 1．貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實數(shù)，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1＋x)n>1＋nx. 2．在運用數(shù)學歸納法證明不等式時，由n＝k成立，推導n＝k＋1成立時，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進行． 用數(shù)學歸納法證明“2n＞n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始

2、值n0應(yīng)取(　　) A．2　　　　　　 B．3 C．5 D．6 C　[n取1,2,3,4時不等式不成立，起始值為5.] 數(shù)學歸納法證明不等式 【例1】　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求證：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)． [精彩點撥]　先求Sn 再證明比較困難，可運用數(shù)學歸納法直接證明，注意Sn表示前n項的和(n>1)，首先驗證n＝2；然后證明歸納遞推． [自主解答]　(1)當n＝2時，S22＝1＋＋＋＝>1＋， 即n＝2時命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時命題成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋. 當n＝k＋1時， S2k＋1＝1

3、＋＋＋…＋＋＋…＋ >1＋＋＋＋…＋ >1＋＋＝1＋＋＝1＋. 故當n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)(2)知，對n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立． 此題容易犯兩個錯誤，一是由n＝k到n＝k＋1項數(shù)變化弄錯，認為的后一項為，實際上應(yīng)為；二是＋＋…＋共有多少項之和，實際上 2k＋1到2k＋1是自然數(shù)遞增，項數(shù)為2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k. 1．若在本例中，條件變?yōu)椤霸O(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .試問：f(2n－1)與大小關(guān)系如何？試猜想并加以證明． [解]　數(shù)列1,3,7,15，…

4、，通項公式為an＝2n－1，數(shù)列，1，，2，…，通項公式為an＝， ∴猜想：f(2n－1)>. 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立． ②假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N＋)時不等式成立， 即f(2k－1)>， 當n＝k＋1時，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋ ＋…＋＝f(2k－1)＋>＋＝. ∴當n＝k＋1時不等式也成立． 據(jù)①②知對任何n∈N＋原不等式均成立． 【例2】　證明：2n＋2>n2(n∈N＋)． [精彩點撥]　? ? [自主解答]　(1)當n＝1時，左邊＝21＋2＝4；右邊＝1，左邊

5、>右邊； 當n＝2時，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右； 當n＝3時，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右． 因此當n＝1,2,3時，不等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥3且k∈N＋)時，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)． 當n＝k＋1時，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)， ∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0， ∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2， 所以2k＋1＋2>(k＋1)2. 故當n＝k＋1時，原不等式也成立． 根據(jù)(1)(2

6、)知，原不等式對于任何n∈N＋都成立． 1．本例中，針對目標k2＋2k＋1，由于k的取值范圍(k≥1)太大，不便于縮?。虼耍迷黾拥旎襟E(把驗證n＝1擴大到驗證n＝1,2,3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當縮小到k≥3，促使放縮成功，達到目標． 2．利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n＝k到n＝k＋1的變形．為滿足題目的要求，常常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個難點，解決這個難題一是要仔細觀察題目結(jié)構(gòu)，二是要靠經(jīng)驗積累． 2．用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式…＞均成立． [證明]　(1)當n＝2時，左邊＝1＋＝；右邊＝. ∵左

7、邊＞右邊，∴不等式成立； (2)假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時不等式成立， 即…＞. 則當n＝k＋1時， … ＞·＝＝ ＞＝＝. ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立. 不等式中的探索、猜想、證明 【例3】　若不等式＋＋＋…＋>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論． [精彩點撥]　先通過n取值計算，求出a的最大值，再用數(shù)學歸納法進行證明，證明時，根據(jù)不等式特征，在第二步，運用比差法較方便． [自主解答]　當n＝1時，＋＋>，則>，∴a<26. 又a∈N＋，∴取a＝25. 下面用數(shù)學歸納

8、法證明＋＋…＋>. (1)n＝1時，已證． (2)假設(shè)當n＝k時(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，∴當n＝k＋1時， ＋＋…＋＋＋＋ ＝＋ >＋， ∵＋＝>， ∴＋－>0， ∴＋＋…＋>也成立． 由(1)(2)可知，對一切n∈N＋， 都有＋＋…＋>， ∴a的最大值為25. 1．不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究結(jié)論，但結(jié)論必須證明． 2．本題中從n＝k到n＝k＋1時，左邊添加項是＋＋－.這一點必須清楚． 3．設(shè)an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)對大于1的一切正整數(shù)n都成立

9、？證明你的結(jié)論． [解]　假設(shè)g(n)存在，那么當n＝2時， 由a1＝g(2)(a2－1)， 即1＝g(2)，∴g(2)＝2； 當n＝3時，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 即1＋＝g(3)， ∴g(3)＝3， 當n＝4時，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)， 即1＋＋ ＝g(4)， ∴g(4)＝4， 由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)． 下面用數(shù)學歸納法證明： 當n≥2，n∈N＋時， 等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． (1)當n＝2時，a1＝1， g(2)(a2－1)＝2×＝1， 結(jié)論成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥

10、2，k∈N＋)時結(jié)論成立， 即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立， 那么當n＝k＋1時，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak ＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k ＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 ＝(k＋1)＝(k＋1)(ak＋1－1)， 說明當n＝k＋1時，結(jié)論也成立， 由(1)(2)可知 ，對一切大于1的正整數(shù)n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立． 1．數(shù)學歸納法適用于證明的命題的類型是(　　) A．已知?結(jié)論　　　 B．結(jié)論?已知 C．直接證明比較困難 D．與正整數(shù)有關(guān) D　[數(shù)學歸納法證

11、明的是與正整數(shù)有關(guān)的命題．故應(yīng)選D.] 2．用數(shù)學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)時，第一步應(yīng)驗證不等式(　　) A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－ C．1＋＜2－ D．1＋＋＜2－ A　[n0＝2時，首項為1，末項為.] 3．用數(shù)學歸納法證不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 B　[左邊等比數(shù)列求和Sn＝ ＝2＞， 即1－＞，＜， ∴＜，∴n＞7，∴n取8，選B.] 4．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，第一步證明不等式________成立． [解析]　因為n>1，所以第一步n＝2，即證明1＋＋<2成立． [答案]　1＋＋<2 5．試證明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． [證明]　(1)當n＝1時，不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，不等式成立，即 1＋＋＋…＋<2. 那么n＝k＋1時， ＋ <2＋＝ < ＝2. 這就是說，n＝k＋1時，不等式也成立． 根據(jù)(1)(2)可知不等式對n∈N＋成立． - 8 -