九年級數(shù)學上學期期中試卷(含解析) 新人教版(IV)

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1、九年級數(shù)學上學期期中試卷(含解析) 新人教版(IV) 一、選擇題(每題3分,共計36分) 1.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( ?。? A. B. C. D. 2.下列函數(shù)解析式中,一定為二次函數(shù)的是(  ) A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1 D.y=x2+ 3.一元二次方程2x2﹣3x+1=0化為(x+a)2=b的形式,正確的是(  ) A. B. C. D.以上都不對 4.已知關于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值范圍是( ?。? A.k>且k≠2 B.k≥且k≠2 C.

2、k>且k≠2 D.k≥且k≠2 5.如圖,將⊙O沿弦AB折疊,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,點P是優(yōu)弧上一點,則∠APB的度數(shù)為( ?。? A.45° B.30° C.75° D.60° 6.某航空公司有若干個飛機場,每兩個飛機場之間都開辟一條航線,一共開辟了15條航線,則這個航空公司共有飛機場( ?。? A.5個 B.6個 C.7個 D.8個 7.將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度,再向右平移3個單位長度后,得到的拋物線的解析式為(  ) A.y=(x﹣1)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x﹣4)2+6 8.在二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3中

3、,當0≤x≤3時,y的最大值和最小值分別是( ?。? A.0,﹣4 B.0,﹣3 C.﹣3,﹣4 D.0,0 9.在同一坐標系中,一次函數(shù)y=ax+2與二次函數(shù)y=x2+a的圖象可能是(  ) A. B. C. D. 10.我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如圖,直線l:y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B,∠OAB=30°,點P在x軸上,⊙P與l相切,當P在線段OA上運動時,使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是( ?。? A.6 B.8 C.10 D.12 11.如圖,已知在⊙O中,AB是弦,半徑OC⊥AB,垂足為點D,要使四邊形OACB為菱形,還需要添加一個

4、條件,這個條件可以是( ?。? A.AD=BD B.OD=CD C.∠CAD=∠CBD D.∠OCA=∠OCB 12.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,對稱軸為x=,且經(jīng)過點(2,0),有下列說法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是拋物線上的兩點,則y1=y2.上述說法正確的是(  ) A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①②   二、填空題(每題4分,共計20分) 13.實數(shù)a,b是關于x的方程2x2+3x+1=0的兩根,則點P(a,b)關于原點對稱的點Q的坐標為 ?。? 14.某商場第一季度的利潤是

5、82.75萬,其中一月份的利潤是25萬,若利潤的平均月增長率為x,可列出方程為: ?。? 15.已知點A(4,y1),B(,y2),C(﹣2,y3)都在二次函數(shù)y=(x﹣2)2﹣m的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系為 ?。? 16.已知實數(shù)m,n滿足3m2+6m﹣5=0,3n2+6n﹣5=0,且m≠n,則=  . 17.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BDE,連接DC交AB于點F,則△ACF與△BDF的周長之和為  cm.   三、解答題(共計64分) 18.用適當?shù)姆椒ń庀旅娴姆匠? ①3x2+x

6、﹣1=0 ②(3x﹣2)2=4(3﹣x)2. 19.如圖,△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3). (1)請畫出△ABC關于原點對稱的△A1B1C1,并寫出A1的坐標; (2)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2. 20.某花店將進貨價為20元/盒的百合花,在市場參考價28~38元的范圍內(nèi)定價36元/盒銷售,這樣平均每天可售出40盒,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進貨價不變的情況下,若每盒下調(diào)1元,則平均每天可多銷售10盒,要使每天的利潤達到750元,應將每盒百合花在售價上下調(diào)多少元? 21.如圖,點D為⊙O上一點,點C在直徑BA

7、的延長線上,且∠CDA=∠CBD. (1)判斷直線CD和⊙O的位置關系,并說明理由. (2)過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E,若AC=2,⊙O的半徑是3,求BE的長. 22.九年級數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表: 售價(元/件) 100 110 120 130 … 月銷量(件) 200 180 160 140 … 已知該運動服的進價為每件60元,設售價為x元. (1)請用含x的式子表示:①銷售該運動服每件的利潤是 (  )元;②月銷量是 ( ?。┘?;(直接寫出結(jié)果) (2)設銷售該運動服的月利潤為y元,那么

8、售價為多少時,當月的利潤最大,最大利潤是多少? 23.探究:如圖1和2,四邊形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,點E、F分別在BC、CD上,∠EAF=45°. (1)①如圖1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,則能證得 EF=BE+DF,請寫出推理過程; ②如圖2,若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足數(shù)量關系  時,仍有EF=BE+DF; (2)拓展:如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的長. 24.如圖,在直角坐標系中,點A的

9、坐標為(﹣2,0),OB=OA,且∠AOB=120°. (1)求經(jīng)過A,O,B三點的拋物線的解析式. (2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使△BOC的周長最???若存在,求出點C的坐標;若不存在,請說明理由. (3)若點M為拋物線上一點,點N為對稱軸上一點,是否存在點M,N使得A,O,M,N構成的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.   xx學年山東省德州市慶云縣九年級(上)期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析   一、選擇題(每題3分,共計36分) 1.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(  ) A. B. C. D.

10、 【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形. 【分析】利用軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義判斷即可. 【解答】解:下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是, 故選B   2.下列函數(shù)解析式中,一定為二次函數(shù)的是(  ) A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1 D.y=x2+ 【考點】二次函數(shù)的定義. 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義,可得答案. 【解答】解:A、y=3x﹣1是一次函數(shù),故A錯誤; B、y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函數(shù),故B錯誤; C、s=2t2﹣2t+1是二次函數(shù),故C正確; D、y=x2+不是二次函數(shù),故D錯誤; 故

11、選:C.   3.一元二次方程2x2﹣3x+1=0化為(x+a)2=b的形式,正確的是( ?。? A. B. C. D.以上都不對 【考點】解一元二次方程-配方法. 【分析】先把常數(shù)項1移到等號的右邊,再把二次項系數(shù)化為1,最后在等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方,然后配方即可. 【解答】解:∵2x2﹣3x+1=0, ∴2x2﹣3x=﹣1, x2﹣x=﹣, x2﹣x+=﹣+, (x﹣)2=; ∴一元二次方程2x2﹣3x+1=0化為(x+a)2=b的形式是:(x﹣)2=; 故選C.   4.已知關于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個不相等

12、的實數(shù)根,則k的取值范圍是( ?。? A.k>且k≠2 B.k≥且k≠2 C.k>且k≠2 D.k≥且k≠2 【考點】根的判別式;一元二次方程的定義. 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k﹣2≠0且△=(2k+1)2﹣4(k﹣2)2>0,然后求出兩個不等式的公共部分即可. 【解答】解:根據(jù)題意得k﹣2≠0且△=(2k+1)2﹣4(k﹣2)2>0, 解得:k>且k≠2. 故選C.   5.如圖,將⊙O沿弦AB折疊,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,點P是優(yōu)弧上一點,則∠APB的度數(shù)為( ?。? A.45° B.30° C.75° D.60° 【考點】圓周角定理;含30度角的直

13、角三角形;翻折變換(折疊問題). 【分析】作半徑OC⊥AB于D,連結(jié)OA、OB,如圖,根據(jù)折疊的性質(zhì)得OD=CD,則OD=OA,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到∠OAD=30°,接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠AOB=120°, 然后根據(jù)圓周角定理計算∠APB的度數(shù). 【解答】解:作半徑OC⊥AB于D,連結(jié)OA、OB,如圖, ∵將⊙O沿弦AB折疊,圓弧恰好經(jīng)過圓心O, ∴OD=CD, ∴OD=OC=OA, ∴∠OAD=30°, 又OA=OB, ∴∠CBA=30°, ∴∠AOB=120°, ∴∠APB=∠AOB=60°. 故選D.   6.某航空公司有若干

14、個飛機場,每兩個飛機場之間都開辟一條航線,一共開辟了15條航線,則這個航空公司共有飛機場(  ) A.5個 B.6個 C.7個 D.8個 【考點】一元二次方程的應用. 【分析】每個飛機場都要與其余的飛機場開辟一條航行,但兩個飛機場之間只開通一條航線.等量關系為:飛機場數(shù)×(飛機場數(shù)﹣1)=15×2,把相關數(shù)值代入求正數(shù)解即可. 【解答】解:設這個航空公司共有飛機場共有x個. x(x﹣1)=15×2, 解得x1=6,x2=﹣5(不合題意,舍去). 答:這個航空公司共有飛機場共有6個. 故選:B.   7.將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度,再向右平移3個單位長度后

15、,得到的拋物線的解析式為( ?。? A.y=(x﹣1)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x﹣4)2+6 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換. 【分析】根據(jù)函數(shù)圖象向上平移加,向右平移減,可得函數(shù)解析式. 【解答】解:將y=x2﹣2x+3化為頂點式,得y=(x﹣1)2+2. 將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度,再向右平移3個單位長度后,得到的拋物線的解析式為y=(x﹣4)2+4, 故選:B.   8.在二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3中,當0≤x≤3時,y的最大值和最小值分別是(  ) A.0,﹣4 B.0,﹣3 C.﹣3,﹣4 D.0,0

16、 【考點】二次函數(shù)的最值. 【分析】首先求得拋物線的對稱軸,拋物線開口向上,在頂點處取得最小值,在距對稱軸最遠處取得最大值. 【解答】解:拋物線的對稱軸是x=1, 則當x=1時,y=1﹣2﹣3=﹣4,是最小值; 當x=3時,y=9﹣6﹣3=0是最大值. 故選A.   9.在同一坐標系中,一次函數(shù)y=ax+2與二次函數(shù)y=x2+a的圖象可能是( ?。? A. B. C. D. 【考點】二次函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象. 【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=x2+a得拋物線開口向上,排除B,根據(jù)一次函數(shù)y=ax+2,得直線與y軸的正半軸相交,排除A;根據(jù)拋物線得a<0,故排除C. 【解答】解

17、:∵二次函數(shù)y=x2+a ∴拋物線開口向上, ∴排除B, ∵一次函數(shù)y=ax+2, ∴直線與y軸的正半軸相交, ∴排除A; ∵拋物線得a<0, ∴排除C; 故選D.   10.我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如圖,直線l:y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B,∠OAB=30°,點P在x軸上,⊙P與l相切,當P在線段OA上運動時,使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是( ?。? A.6 B.8 C.10 D.12 【考點】切線的性質(zhì);一次函數(shù)圖象上點的坐標特征. 【分析】根據(jù)直線的解析式求得OB=4,進而求得OA=12,根據(jù)切線的性質(zhì)求得PM⊥AB

18、,根據(jù)∠OAB=30°,求得PM=PA,然后根據(jù)“整圓”的定義,即可求得使得⊙P成為整圓的點P的坐標,從而求得點P個數(shù). 【解答】解:∵直線l:y=kx+4與x軸、y軸分別交于A、B, ∴B(0,4), ∴OB=4, 在RT△AOB中,∠OAB=30°, ∴OA=OB=×=12, ∵⊙P與l相切,設切點為M,連接PM,則PM⊥AB, ∴PM=PA, 設P(x,0), ∴PA=12﹣x, ∴⊙P的半徑PM=PA=6﹣x, ∵x為整數(shù),PM為整數(shù), ∴x可以取0,2,4,6,8,10,6個數(shù), ∴使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是6. 故選:A.   11.如圖,已知

19、在⊙O中,AB是弦,半徑OC⊥AB,垂足為點D,要使四邊形OACB為菱形,還需要添加一個條件,這個條件可以是( ?。? A.AD=BD B.OD=CD C.∠CAD=∠CBD D.∠OCA=∠OCB 【考點】菱形的判定;垂徑定理. 【分析】利用對角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形,進而求出即可. 【解答】解:∵在⊙O中,AB是弦,半徑OC⊥AB, ∴AD=DB, 當DO=CD, 則AD=BD,DO=CD,AB⊥CO, 故四邊形OACB為菱形. 故選:B.   12.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,對稱軸為x=,且經(jīng)過點(2,0),有下列說法:

20、①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是拋物線上的兩點,則y1=y2.上述說法正確的是( ?。? A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①② 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系. 【分析】①根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸位置、拋物線與y軸交點位置求得a、b、c的符號; ②根據(jù)對稱軸求出b=﹣a; ③把x=2代入函數(shù)關系式,結(jié)合圖象判斷函數(shù)值與0的大小關系; ④求出點(0,y1)關于直線x=的對稱點的坐標,根據(jù)對稱軸即可判斷y1和y2的大小. 【解答】解:①∵二次函數(shù)的圖象開口向下, ∴a<0, ∵二次函數(shù)的圖象交y軸的正半軸于一點, ∴

21、c>0, ∵對稱軸是直線x=, ∴﹣, ∴b=﹣a>0, ∴abc<0. 故①正確; ②∵由①中知b=﹣a, ∴a+b=0, 故②正確; ③把x=2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2b+c, ∵拋物線經(jīng)過點(2,0), ∴當x=2時,y=0,即4a+2b+c=0. 故③錯誤; ④∵(0,y1)關于直線x=的對稱點的坐標是(1,y1), ∴y1=y2. 故④正確; 綜上所述,正確的結(jié)論是①②④. 故選:A   二、填空題(每題4分,共計20分) 13.實數(shù)a,b是關于x的方程2x2+3x+1=0的兩根,則點P(a,b)關于原點對稱的點Q的坐標為?。?

22、,)或(,1) . 【考點】解一元二次方程-因式分解法;關于原點對稱的點的坐標. 【分析】利用因式分解法求出方程2x2+3x+1=0的兩根,由此即可得出點P的坐標,再根據(jù)點P與點Q關于原點對稱,即可得出點Q的坐標. 【解答】解:∵2x2+3x+1=(2x+1)(x+1)=0, ∴或, ∴點P的坐標為(﹣1,﹣)或(﹣,﹣1). ∵點P(a,b)關于原點對稱的點Q, ∴點Q的坐標為(1,)或(,1). 故答案為:(1,)或(,1).   14.某商場第一季度的利潤是82.75萬,其中一月份的利潤是25萬,若利潤的平均月增長率為x,可列出方程為: 25+25(1+x)+25(1

23、+x)2=82.75?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程. 【分析】本題為增長率問題,一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率),如果利潤的平均月增長率為x,那么根據(jù)題意即可得出方程.2.75 【解答】解:設利潤的平均月增長率為x, 又知:第一季度的利潤是82.75萬,其中一月份的利潤是25萬; 所以,可得方程為:25+25(1+x)+25(1+x)2=82.75.   15.已知點A(4,y1),B(,y2),C(﹣2,y3)都在二次函數(shù)y=(x﹣2)2﹣m的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系為 y3>y1>y2?。? 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征. 【分析】

24、先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線x=2,然后比較三個點離直線x=2的遠近得到y(tǒng)1、y2、y3的大小關系. 【解答】解:A(4,y1),B(,y2),在對稱軸的右側(cè),y隨x的增大而增大, ∵<4, ∴y2<y1, ∴點A離直線x=2近,點C離直線x=2最遠, 而拋物線開口向上, 則y3>y1, 故y3>y1>y2, 故答案是:y3>y1>y2.   16.已知實數(shù)m,n滿足3m2+6m﹣5=0,3n2+6n﹣5=0,且m≠n,則= ﹣ . 【考點】根與系數(shù)的關系. 【分析】由m≠n時,得到m,n是方程3x2+6x﹣5=0的兩個不等的根,根據(jù)根與系數(shù)的關系進行求

25、解. 【解答】解:∵m≠n時,則m,n是方程3x2+6x﹣5=0的兩個不相等的根,∴m+n=﹣2,mn=﹣. ∴原式====﹣, 故答案為:﹣.   17.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BDE,連接DC交AB于點F,則△ACF與△BDF的周長之和為 42 cm. 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BDE,可得△ABC≌△BDE,∠CBD=60°,BD=BC=12cm,從而得到△BCD為等邊三角形,得到CD=BC=CD=12cm,在Rt△ACB中,利用勾股定

26、理得到AB=13,所以△ACF與△BDF的周長之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD,即可解答. 【解答】解:∵將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BDE, ∴△ABC≌△BDE,∠CBD=60°, ∴BD=BC=12cm, ∴△BCD為等邊三角形, ∴CD=BC=CD=12cm, 在Rt△ACB中,AB==13, △ACF與△BDF的周長之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42(cm), 故答案為:42.   三、解答題(共計64分) 18.用適當?shù)姆椒ń庀旅娴姆匠? ①3x2+x﹣1=0

27、 ②(3x﹣2)2=4(3﹣x)2. 【考點】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】①求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可. ②方程移項后利用因式分解法求出解即可. 【解答】解:①3x2+x﹣1=0 a=3,b=1,c=﹣1, △=b2﹣4ac=1+12=13>0, x=, ∴x1=,x2=. ②(3x﹣2)2=4(3﹣x)2, 移項得:(3x﹣2)2﹣4(3﹣x)2,=0, 分解因式得:[(3x﹣2)+2(3﹣x)][(3x﹣2)﹣2(3﹣x)]=0, 可得x+4=0或5x﹣8=0, 解得:x1=﹣4,x2=.   19.如圖,△ABC三個頂點

28、的坐標分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3). (1)請畫出△ABC關于原點對稱的△A1B1C1,并寫出A1的坐標; (2)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2. 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換. 【分析】(1)直接利用關于原點對稱點的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案; (2)直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應點位置,進而得出答案. 【解答】解:(1)如圖所示:△A1B1C1,即為所求,A1(﹣2,﹣4); (2)如圖所示:△A2B2C2,即為所求.   20.某花店將進貨價為20元/盒的百合花,在市場參考價28~38元的范圍內(nèi)定價36元/盒銷售,這樣平均

29、每天可售出40盒,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進貨價不變的情況下,若每盒下調(diào)1元,則平均每天可多銷售10盒,要使每天的利潤達到750元,應將每盒百合花在售價上下調(diào)多少元? 【考點】一元二次方程的應用. 【分析】設應將售價下調(diào)x元,利用每一盒的利潤×銷售的數(shù)量=獲得的利潤列出方程解答即可. 【解答】解:設應將售價下調(diào)x元,由題意得 (36﹣20﹣x)(40+10x)=750, 解得:x1=1,x2=11, 當x=11時,36﹣11=25,不在28元~38元的范圍內(nèi),不合題意,舍去, 答:應將每盒百合花在售價下調(diào)1元.   21.如圖,點D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CD

30、A=∠CBD. (1)判斷直線CD和⊙O的位置關系,并說明理由. (2)過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E,若AC=2,⊙O的半徑是3,求BE的長. 【考點】切線的判定與性質(zhì). 【分析】(1)連接OD,根據(jù)圓周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°,求出∠CDA+∠ADO=90°,根據(jù)切線的判定推出即可; (2)根據(jù)勾股定理求出DC,根據(jù)切線長定理求出DE=EB,根據(jù)勾股定理得出方程,求出方程的解即可. 【解答】解:(1)直線CD和⊙O的位置關系是相切, 理由是:連接OD, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°, ∴∠DAB+∠DBA=90°, ∵∠CDA=∠C

31、BD, ∴∠DAB+∠CDA=90°, ∵OD=OA, ∴∠DAB=∠ADO, ∴∠CDA+∠ADO=90°, 即OD⊥CE, 已知D為⊙O的一點, ∴直線CD是⊙O的切線, 即直線CD和⊙O的位置關系是相切; (2)∵AC=2,⊙O的半徑是3, ∴OC=2+3=5,OD=3, 在Rt△CDO中,由勾股定理得:CD=4, ∵CE切⊙O于D,EB切⊙O于B, ∴DE=EB,∠CBE=90°, 設DE=EB=x, 在Rt△CBE中,由勾股定理得:CE2=BE2+BC2, 則(4+x)2=x2+(5+3)2, 解得:x=6, 即BE=6.   22.九

32、年級數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表: 售價(元/件) 100 110 120 130 … 月銷量(件) 200 180 160 140 … 已知該運動服的進價為每件60元,設售價為x元. (1)請用含x的式子表示:①銷售該運動服每件的利潤是 ( x﹣60 )元;②月銷量是 ( 400﹣2x )件;(直接寫出結(jié)果) (2)設銷售該運動服的月利潤為y元,那么售價為多少時,當月的利潤最大,最大利潤是多少? 【考點】二次函數(shù)的應用. 【分析】(1)根據(jù)利潤=售價﹣進價求出利潤,運用待定系數(shù)法求出月銷量; (2)根據(jù)月利潤=每

33、件的利潤×月銷量列出函數(shù)關系式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤. 【解答】解:(1)①銷售該運動服每件的利潤是(x﹣60)元; ②設月銷量W與x的關系式為w=kx+b, 由題意得,, 解得,, ∴W=﹣2x+400; (2)由題意得,y=(x﹣60)(﹣2x+400) =﹣2x2+520x﹣24000 =﹣2(x﹣130)2+9800, ∴售價為130元時,當月的利潤最大,最大利潤是9800元.   23.探究:如圖1和2,四邊形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,點E、F分別在BC、CD上,∠EAF=45°. (1)①如圖1,若∠B、∠ADC都是直角,把△A

34、BE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,則能證得 EF=BE+DF,請寫出推理過程; ②如圖2,若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足數(shù)量關系 ∠B+∠D=180° 時,仍有EF=BE+DF; (2)拓展:如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的長. 【考點】四邊形綜合題. 【分析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,求出∠EAF=∠GAF=45°,根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF,即可求出答案; ②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

35、質(zhì)得出AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,求出C、D、G在一條直線上,根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF,即可求出答案; (2)根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出∠ABC=∠C=45°,BC=4,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD=∠DAE=45°,證△FAD≌△EAD,根據(jù)全等得出DF=DE,設DE=x,則DF=x,BF=CE=3﹣x,根據(jù)勾股定理得出方程,求出x即可. 【解答】(1)①解:如圖1, ∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合, ∴AE=AG,∠BA

36、E=∠DAG,BE=DG, ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠DAG+∠DAF=45°, 即∠EAF=∠GAF=45°, 在△EAF和△GAF中 ∴△EAF≌△GAF(SAS), ∴EF=GF, ∵BE=DG, ∴EF=GF=BE+DF; ②解:∠B+∠D=180°, 理由是: 把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG,使AB和AD重合, 則AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG, ∵∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC+∠ADG=180°, ∴C、D、G在一條直線上, 和①知求法類似,∠EAF=∠GAF=45°,

37、 在△EAF和△GAF中 ∴△EAF≌△GAF(SAS), ∴EF=GF, ∵BE=DG, ∴EF=GF=BE+DF; 故答案為:∠B+∠D=180°; (2)解:∵△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠C=45°,由勾股定理得:BC===4, 把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB,使AB和AC重合,連接DF. 則AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE, ∵∠DAE=45°, ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°, ∴∠FAD=∠DAE=45°, 在△FAD和△EAD

38、中 ∴△FAD≌△EAD, ∴DF=DE, 設DE=x,則DF=x, ∵BC=1, ∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x, ∵∠FBA=45°,∠ABC=45°, ∴∠FBD=90°, 由勾股定理得:DF2=BF2+BD2, x2=(3﹣x)2+12, 解得:x=, 即DE=.   24.如圖,在直角坐標系中,點A的坐標為(﹣2,0),OB=OA,且∠AOB=120°. (1)求經(jīng)過A,O,B三點的拋物線的解析式. (2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使△BOC的周長最???若存在,求出點C的坐標;若不存在,請說明理由. (3)若點M為拋物線上一點,點N

39、為對稱軸上一點,是否存在點M,N使得A,O,M,N構成的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由. 【考點】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)先確定出點B坐標,再用待定系數(shù)法即可; (2)先判斷出使△BOC的周長最小的點C的位置,再求解即可; (3)分OA為對角線和為邊兩種情況進行討論計算. 【解答】解:(1)過點B作BD⊥x軸于點D,由已知可得:OB=OA=2,∠BOD=60°, 在Rt△OBD中,∠ODB=90°,∠OBD=30° ∴OD=1,DB= ∴點B的坐標是(1,). 設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c, 由已知可得:, 解得

40、: ∴所求拋物線解析式為y=. (2)存在, ∵△BOC的周長=OB+BC+CO, 又∵OB=2 ∴要使△BOC的周長最小,必須BC+CO最小, ∵點O和點A關于對稱軸對稱 ∴連接AB與對稱軸的交點即為點C, 且有OC=OA 此時△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+AC; 點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點 設直線AB的解析式為y=kx+b, 將點A(﹣2,0),B(1,)分別代入,得: , 解得:, ∴直線AB的解析式為y=x+ 當x=﹣1時,y=, ∴所求點C的坐標為(﹣1,); (3)如圖, ①當以OA為對角線時, OA與MN互相垂直且平分 ∴點M(﹣1,﹣), ②當以OA為邊時 OA=MN且OA∥MN 即MN=2,MN∥x軸 設N(﹣1,t) 則M(﹣3,t)或(1,t) 將M點坐標代入y=. ∴t= ∴M(﹣3,)或(1,) 綜上:點M的坐標為:M(﹣1,﹣)或(﹣3,)或(1,).

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