2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第15講 函數(shù)與方程教學(xué)案 理
《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第15講 函數(shù)與方程教學(xué)案 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第15講 函數(shù)與方程教學(xué)案 理(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第15講 函數(shù)與方程 題型1 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第50頁(yè)) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………· 1.零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根. 2.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo). ■典題試解尋法…………………
2、……………………………………………………· 【典題1】 (考查數(shù)形結(jié)合法判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù))已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①圖象關(guān)于(1,0)點(diǎn)對(duì)稱;②f(-1+x)=f(-1-x);③當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=則函數(shù)y=f(x)-在區(qū)間[-3,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [思路分析] 函數(shù)y=f(x)-在區(qū)間[-3,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=在[-3,3]上的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)下結(jié)論. [解析] 因?yàn)閒(-1+x)=f(-1-x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,如圖,畫(huà)出
3、f(x)以及g(x)=在[-3,3]上的圖象.由圖可知,兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5,所以函數(shù)y=f(x)-在區(qū)間[-3,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5,故選A. [答案] A 【典題2】 (考查應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù))已知函數(shù)fn(x)=xln x-(n∈N*,e=2.718 28…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (1)求曲線y=f1(x)在點(diǎn)(1,f1(1))處的切線方程; (2)討論函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804105】 [解] (1)因?yàn)閒1(x)=xln x-x2, 所以f1′(x)=ln x+1-2x, 所以f1′(1)=1-2=-1. 又f1(1)=-
4、1,所以曲線y=f1(x)在點(diǎn)(1,f1(1))處的切線方程為y+1=-(x-1),即y=-x.
(2)令fn(x)=0,得xln x-=0(n∈N*,x>0),
所以nln x-x=0.
令g(x)=nln x-x,則函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)與函數(shù)g(x)=nln x-x的零點(diǎn)相同.
因?yàn)間′(x)=-1=,令g′(x)=0,得x=n,
所以當(dāng)x>n時(shí),g′(x)<0;當(dāng)0
5、1<0,所以函數(shù)g(x)=nln x-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0; ②當(dāng)n=2時(shí),g(2)=2ln 2-2<2ln e-2=0,所以函數(shù)g(x)=nln x-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0; ③當(dāng)n≥3時(shí),g(n)=nln n-n=n(ln n-1)≥n(ln 3-1)>n(ln e-1)=0, 因?yàn)間(e2n)=nln e2n-e2n<2n2-4n=2n2-(1+3)n<2n2-<2n2-[1+3n+3n(n-1)]=-n2-1<0,且g(1)<0, 所以由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理,可得函數(shù)g(x)=nln x-x在區(qū)間(1,n)和(n,+∞)內(nèi)都恰有一個(gè)零點(diǎn).所以函數(shù)g(x)=nln x-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
6、 綜上所述,當(dāng)n=1或n=2時(shí),函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;當(dāng)n≥3且n∈N*時(shí),函數(shù)fn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. [類題通法] 1.求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的兩種方法: (1)由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷; (2)由函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值的正負(fù)來(lái)確定. 2.零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論,對(duì)于不可求的零點(diǎn),需要通過(guò)方程轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷. 3.零點(diǎn)討論中的參數(shù),針對(duì)參數(shù)的討論有兩個(gè)方向:一是方程根的個(gè)數(shù);二是參數(shù)對(duì)構(gòu)造的初等函數(shù)圖象形狀的影響. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………· 1.已知函數(shù)f(x)=,則函數(shù)F(x)=f[f(x)]-2f(
7、x)-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.4 B.5
C.6 D.7
A [(數(shù)形結(jié)合思想)令f(x)=t,則函數(shù)F(x)可化為y=f(t)-2t-,則函數(shù)F(x)的零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程f(t)-2t-=0有根的問(wèn)題.令y=f(t)-2t-=0,即f(t)=2t+,如圖(1),由數(shù)形結(jié)合得t1=0,1 8、.3 B.4
C.5 D.6
C [設(shè)函數(shù)g(x)=1+x-+-+…-+,h(x)=cos 2x,則f(x)=g(x)h(x),g′(x)=1-x+x2-x3+…-x2 015+x2 016=(1-x)+x2(1-x)+…+x2 014(1-x)+x2 016.當(dāng)-3≤x≤1時(shí),顯然g′(x)≥0;g′(x)=1+x(x-1)+x3(x-1)+…+x2 015(x-1),當(dāng)1 9、間[-3,3]上有4個(gè)零點(diǎn):-,-,,,所以函數(shù)f(x)=g(x)h(x)在區(qū)間[-3,3]上有5個(gè)零點(diǎn).]
■題型強(qiáng)化集訓(xùn)………………………………………………………………………·
(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T2、T5、T6、T13、T14)
題型2 已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第51頁(yè))
■核心知識(shí)儲(chǔ)備………………………………………………………………………·
已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根或圖象有交點(diǎn))求參數(shù)的值或取值范圍常用的方法:
①直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式,再通過(guò)解方程或不等式確定參數(shù)的值或取值范圍.
②分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求 10、函數(shù)最值問(wèn)題加以解決.
③數(shù)形結(jié)合法:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.
■典題試解尋法………………………………………………………………………·
【典題1】 (考查已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍)(2017·太原二模)已知f(x)=x2ex,若函數(shù)g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有四個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.
C. D.
[思路分析] f(x)=x2ex畫(huà)f(x)的圖象g(x)有四個(gè)零點(diǎn)方程t2-kt+1=0在和各有1解實(shí)數(shù)k的取值范圍.
[解析] (數(shù)形結(jié)合思想)f′(x)=xex(x+2),令f 11、′(x)>0,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2),(0,+∞),令f′(x)<0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0),所以f(-2)=4e-2>0為函數(shù)f(x)的極大值,f(0)=0為函數(shù)f(x)的極小值,故f(x)≥0,作出其函數(shù)圖象如圖所示.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有四個(gè)零點(diǎn),令f(x)=t,則關(guān)于t的方程t2-kt+1=0有兩個(gè)不相同的根,記為t1,t2,且0 12、有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804106】
[思路分析] 方程f(x)=b有三個(gè)不同的根函數(shù)f(x)與函數(shù)y=b有三個(gè)不同的交點(diǎn)依據(jù)m的取值畫(huà)函數(shù)f(x)的圖象求m的取值范圍.
[解析] f(x)=當(dāng)x>m時(shí),f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,其頂點(diǎn)為(m,4m-m2);當(dāng)x≤m時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與直線x=m的交點(diǎn)為Q(m,m).
①當(dāng)即0 13、足4m-m2
14、′(x)<0;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
又f(1)=-e,f(2)=a,取b滿足b<0且b<ln ,
則f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,
故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).
③設(shè)a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
若a≥-,則ln(-2a)≤1,故當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).
若a<-,則ln(-2a)>1,故當(dāng)x∈(1,ln(-2a))時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈ 15、(ln(-2a),+∞)時(shí),f′(x)>0.
因此f(x)在(1,ln(-2a))內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,a的取值范圍為(0,+∞).
[類題通法]
已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn):一是將原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,并進(jìn)行適當(dāng)化簡(jiǎn)、整理;二是構(gòu)造新的函數(shù),把方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題;三是對(duì)新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行畫(huà)圖;四是觀察圖象,得參數(shù)的取值范圍.
■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練………………………………………………………………………·
1. 16、設(shè)[x]表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù),如[2.6]=3,[-3.5]=-3.已知函數(shù)f(x)=[x]2-2[x],若函數(shù)F(x)=f(x)-k(x-2)+2在(-1,4]上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.∪[2,5) B.∪[5,10)
C.∪[5,10) D.∪[5,10)
B [令F(x)=0,得f(x)=k(x-2)-2,作出函數(shù)y=f(x)和y=k(x-2)-2的圖象如圖所示.若函數(shù)F(x)=f(x)-k(x-2)+2在(-1,4]上有兩個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)f(x)和g(x)=k(x-2)-2的圖象在(-1,4]上有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)間(x)過(guò)定點(diǎn)P(2,-2),經(jīng)計(jì)算可得kP 17、A=5,kPB=10,kPO=-1,kPC=-,所以k的取值范圍是∪[5,10).故選B.]
2.已知函數(shù)f(x)=ex,若關(guān)于x的不等式[f(x)]2-2f(x)-a≥0在[0,1]上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804107】
(-∞,e2-2e] [由[f(x)]2-2f(x)-a≥0在[0,1]上有解,可得a≤[f(x)]2-2f(x),即a≤e2x-2ex.令g(x)=e2x-2ex(0≤x≤1),則a≤g(x)max,因?yàn)?≤x≤1,所以1≤ex≤e,則當(dāng)ex=e,即x=1時(shí),g(x)max=e2-2e,即a≤e2-2e,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 18、-∞,e2-2e].]
■題型強(qiáng)化集訓(xùn)…………………………………………………………………·
(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T3、T4、T7、T8、T9、T10、T11、T12)
三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第52頁(yè))
1.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( )
A.- B.
C. D.1
C [法一:(換元法)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1,
令t=x-1,則g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.
∵g(-t)=(- 19、t)2+a(e-t+et)-1=g(t),
∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù).
∵f(x)有唯一零點(diǎn),∴g(t)也有唯一零點(diǎn).
又g(t)為偶函數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)=0,
∴2a-1=0,解得a=.
故選C.
法二:(等價(jià)轉(zhuǎn)化法)f(x)=0?a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.
ex-1+e-x+1≥2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”.
-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”.
若a>0,則a(ex-1+e-x+1)≥2a,
要使f(x)有唯一零點(diǎn),則必有2a=1,即a=.
若a≤0,則f(x)的零點(diǎn)不唯一.
故選C.]
2.(2014 20、·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):07804108】
A.(2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
B [f′(x)=3ax2-6x,
當(dāng)a=3時(shí),f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),
則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)>0;
x∈時(shí),f′(x)<0;
x∈時(shí),f′(x)>0,注意f(0)=1,f=>0,則f(x)的大致圖象如圖(1)所示.
圖(1)
不符合題意,排除A、C.
當(dāng)a=-時(shí),f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3), 21、則當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,x∈時(shí),f′(x)>0,x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)<0,注意f(0)=1,f=-,則f(x)的大致圖象如圖(2)所示.
圖(2)
不符合題意,排除D.]
3.(2017·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
[解] (分類討論思想)(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),
f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
(ⅰ)若a≤0,則f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.
(ⅱ)若a>0, 22、則由f′(x)=0得x=-ln a.
當(dāng)x∈(-∞,-ln a)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(-ln a,+∞)時(shí),f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,-ln a)單調(diào)遞減,在(-ln a,+∞)單調(diào)遞增.
(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).
(ⅱ)若a>0,由(1)知,當(dāng)x=-ln a時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(-ln a)=1-+ln a.
①當(dāng)a=1時(shí),由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí),由于1-+ln a>0,
即f(-ln a)>0,故f(x)沒(méi)有零點(diǎn);
③當(dāng)a∈(0,1)時(shí),1-+ln a<0,即f(-ln a)<0.
又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,
故f(x)在(-∞,-ln a)有一個(gè)零點(diǎn).
設(shè)正整數(shù)n0滿足n0>ln,
則f(n0)=e(ae+a-2)-n0>e-n0>2-n0>0.
由于ln>-ln a,
因此f(x)在(-ln a,+∞)有一個(gè)零點(diǎn).
綜上,a的取值范圍為(0,1).
9
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