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1、2022年高一數(shù)學 4.7二倍角的正弦余弦正切(第三課時) 大綱人教版必修
●教學目標
(一)知識目標
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式:
(1)sin2α=2sinαcosα
(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
(3)tan2α=
(二)能力目標
(1)靈活應(yīng)用和、差、倍角公式;
(2)掌握和差化積與積化和差的方法(不要求記憶).
(三)德育目標
(1)培養(yǎng)學生聯(lián)系變化的觀點;
(2)提高學生的思維能力.
●教學重點
和角化歸的二倍角公式的變形式的理解與應(yīng)用.
●教學難點
二倍角公式的變形式的靈活應(yīng)用.
●教學方法
2、
引導學生推得二倍角公式的變形式,從而使學生加深對二倍角公式的理解與應(yīng)用.(啟發(fā)誘導式)
●教具準備
幻燈片三張
第一張(§4.7.3 A):
sin2=(α為任意角)
cos2=(α為任意角)
tan2=(α≠kπ+,k∈Z)
第二張(§4.7.3 B):
sinα·cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cosα·sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)];
cosα·cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sinα·sinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
(α、β為任意角)
第三張(§4.7.3 C):
3、sinθ+sin=2sin·cos;
sinθ-sin=2cos·sin;
cosθ+cos=2cos·cos;
cosθ-cos=-2sin·sin.
(θ、為任意角)
●教學過程
Ⅰ.課題導入
[師]現(xiàn)在我們進一步探討和角、差角、倍角公式的應(yīng)用.
先看本章開始所提問題,在章頭圖中,令∠AOB=θ,則AB=asinθ,OA=acosθ,所以矩形ABCD的面積
S=asinθ·2acosθ=a2·2sinθcosθ=a2sin2θ≤a2
當sin2θ=1,即2θ=90°,θ=45°時,a2sin2θ=a2=S
不難看出,這時A、D兩點與O點的距離都是a,矩形的面積最大,于
4、是問題得到 解決.
Ⅱ.講授新課
[師]再看下面的例題
[例1]求證sin2=
分析:此等式中的α可作為的2倍.
證明:在倍角公式cos2α=1-2sin2α中以α代替2α,以代替α,即得
cosα=1-2sin2
∴sin2=
[師]請同學們試證以下兩式:
(1)cos2=
(2)tan2=
[生]證明:(1)在倍角公式cos2α=2cos2α-1中以α代替2α、以代替α,即得cosα=2cos2-1
∴cos2=
(2)由tan2= = cos2=
得tan2
(打出幻燈片§4.7.3 A,讓學生觀察)
[師]這是我們剛才所推證的三式,不難看
5、出這三式有兩個共同特點:
(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即半角的三角函數(shù);
(2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達到“降次”的目的).
這一組式子也可稱為半角公式,但不要求大家記憶,只要理解并掌握這種推證方法.
另外,在這三式中,如果知道cosα的值和角的終邊所在象限,就可以將右邊開方,從而求得sin、cos與tan.
下面,再來看一例子.
[例2]求證:sinα·cosβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
分析:只要將S(α+β)、S(α-β)公式相加,即可推證.
證明:由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ①
6、
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ②
①+②得:
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
即:sinα·cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
[師]請同學們試證下面三式:
(1)cosα·sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
(2)cosα·cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]
(3)sinα·sinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
[生]思考片刻,自證.
證明:(1)由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ①
sin(α-β)=sinαcosβ
7、-cosαsinβ ②
①-②得:sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ
即:cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
(2)由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ①
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ②
①+②得:cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
即:cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]
(3)由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ①
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαs
8、inβ ②
①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
即:sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
(打出幻燈片§4.7.3 B,讓學生對照)
[師]不難看出,這一組式子也有一共同特點,即,左式均是乘積形式,右式均為和差形式,利用這一式可將乘積形式轉(zhuǎn)化為和差形式,也可稱為積化和差公式.
[師]和差形式是否可以化為乘積的形式呢?看這一例子.
[例3]求證sinθ+sin=2sincos分析:θ可有+代替, =-
證明:左式=sinθ+sin
=sin[+]+sin[-]
=sincos+cossin+sincos-co
9、ssin
=2sincos=右邊
[師]請同學們再證下面三式.
(1)sinθ-sin=2cos·sin;
(2)cosθ+cos=2cos·cos;
(3)cosθ-cos=-2sin·sin.
[生]證明:(1)令θ=+
=-
則左邊=sinθ-sin
=sin[+]-sin[-]
=sincos+cossin-sincos+cossin
=2cossin=右邊
(2)左邊=cosθ+cos
=cos[+]+cos[-]
=coscos-sinsin+coscos+sinsin
=2coscos=右邊
(3)左邊=cosθ-cos
=cos[+]-cos[
10、-]
=coscos-sinsin-coscos-sinsin
=-2sinsin=右邊.
(打出幻燈片§4.7.3 C)
[師]這組式子的特點是左式為和差形式,右式為積的形式,所以這組式子也可稱為和差化積公式,只要求掌握這種推導方法,不要求記憶.
Ⅲ.課堂練習
[生](板演練習)課本P46 1.
證明:tan=
∵=
∵
∴原式得證.
[師]若發(fā)現(xiàn)題目中所出現(xiàn)的角有二倍關(guān)系,不妨考慮使用二倍角公式.
Ⅳ.課時小結(jié)
通過這節(jié)課的學習,要掌握推導積化和差、和差化積公式的方法,雖不要求記憶,但要知道它們的互化關(guān)系.另外,要注意半角公式的推導與正確使用.當然,這些都是在熟練掌握二倍角公式的基礎(chǔ)上完成的.
Ⅴ.課后作業(yè)
(一)課本P47習題4.7 3.
(二)1.預(yù)習內(nèi)容
課本P48~P49
2.預(yù)習提綱
(1)怎樣利用單位圓畫正弦曲線?
(2)余弦曲線與正弦曲線的關(guān)系如何?
●板書設(shè)計
§4.7.3 二倍角的正弦、余弦、正切(三)
例1 例2 例3