2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算(含解析)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算(含解析) 1.下列命題中,正確的是(  ). A.若|a|=|b|,則a=b或a=-b B.若a·b=0,則a=0或b=0 C.若ka=0,則k=0或a=0 D.若a,b都是非零向量,則|a+b|>|a-b| 解析 對(duì)于A(yíng),顯然不能得知a=b或a=-b,因此選項(xiàng)A不正確;對(duì)于B,易知不正確;對(duì)于C,易知正確;對(duì)于D,注意到(a+b)2-(a-b)2=4a·b,顯然a·b與零的大小關(guān)系不確定,因此選項(xiàng)D不正確.綜上所述,選C. 答案 C 2.給出下列命題: ①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等; ②向量a與b平行,則a與

2、b的方向相同或相反; ③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同; ④兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線(xiàn)向量; ⑤向量與向量是共線(xiàn)向量,則點(diǎn)A,B,C,D必在同一條直線(xiàn)上. 其中不正確命題的序號(hào)是________. 解析?、僦?,∵向量與為相反向量, ∴它們的長(zhǎng)度相等,此命題正確. ②中若a或b為零向量,則滿(mǎn)足a與b平行,但a與b的方向不一定相同或相反,∴此命題錯(cuò)誤. ③由相等向量的定義知,若兩向量為相等向量,且起點(diǎn)相同,則其終點(diǎn)也必定相同,∴該命題正確. ④由共線(xiàn)向量知,若兩個(gè)向量?jī)H有相同的終點(diǎn),則不一定共線(xiàn),∴該命題錯(cuò)誤. ⑤∵共線(xiàn)向量是方向相同或相反的向量,∴若與是共線(xiàn)

3、向量,則A,B,C,D四點(diǎn)不一定在一條直線(xiàn)上,∴該命題錯(cuò)誤. 答案?、冖堍? 1、如圖,在平行四邊形OADB中,設(shè)=a, =b,B= , = .試用a,b表示, 及. 解 由題意知,在平行四邊形OADB中, =B = =( -)=(a-b)=a-b, 則=+=b+a-b=a+b. = =(+)=(a+b)=a+b, =-=(a+b)-a-b=a-b. 2、(1) (xx·四川卷)如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,+=λ ,則λ=________. (2)已知P,A,B,C是平面內(nèi)四點(diǎn),且++=,那么一定有 (  )

4、. A.=2 B.=2 C.=2 D.=2 解析 (1)∵+==2,∴λ=2. (2)∵++==-, ∴=-2=2. 答案 (1)2 (2)D 3、在△OAB中,=a,=b,OD是AB邊上的高,若=λ,則實(shí)數(shù)λ= (  ).                 A. B.C. D. 解析 由=λ,∴||=λ||. 又∵||=|a|cos A=|a|·=, ||=|b-a|,∴λ==.故選C. 答案 C 4.若O,E,F(xiàn)是不共線(xiàn)的任意三點(diǎn),則以下各式中成立的是(  ). A.=+ B.=- C.

5、=-+ D.=-- 解析 由圖可知=-. 答案 B 5.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿(mǎn)足5=+3,則△ABM與△ABC的面積比為(  ). A. B. C. D. 解析  設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由5=+3,得3-3=2-2,即3=2.如圖所示,故C,M,D三點(diǎn)共線(xiàn),且= ,也就是△ABM與△ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為3∶5,則△ABM與△ABC的面積比為,選C. 答案 C 6.在?ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點(diǎn),則=________(用a,b表示). 解析 由=3,得4=3 =3(a+b),=a+b,所以=-=(a+b)-=-a+b.

6、答案?。璦+b 7.在△ABC中,D,E分別為BC,AC邊上的中點(diǎn),G為BE上一點(diǎn),且GB=2GE,設(shè)=a,=b,試用a,b表示,. 解?。?+)=a+b; =+=+=+(+) =+(-)=+=a+b. 8.已知A,B,C 是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn),O是△ABC的重心,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=, 則點(diǎn)P一定為三角形ABC的(  ). A.AB邊中線(xiàn)的中點(diǎn) B.AB邊中線(xiàn)的三等分點(diǎn)(非重心) C.重心 D.AB邊的中點(diǎn) 解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則+=,∴=(+2)=+,即3=+2,也就是=2,∴P,M,C三點(diǎn)共線(xiàn),且P是CM上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn). 答案 B 9. 在△AB

7、C中,E,F(xiàn)分別為AC,AB的中點(diǎn),BE與CF相交于G點(diǎn),設(shè)=a,=b,試用a,b表示. 解 =+=+λ =+(+)=+(-) =(1-λ)+=(1-λ)a+b. 又=+=+m =+(+) =(1-m)+=a+(1-m)b, ∴解得λ=m=,∴=a+b. 考點(diǎn):向量共線(xiàn)定理及其應(yīng)用 1、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn). (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求證:A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn); (2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線(xiàn). (1)證明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b). ∴=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5. ∴,共線(xiàn),又它們有

8、公共點(diǎn)B, ∴A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn). (2)解 假設(shè)ka+b與a+kb共線(xiàn), 則存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又a,b是兩不共線(xiàn)的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1. 2、已知向量a,b不共線(xiàn),且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c與d同向,則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)____. 解析 由于c與d同向,所以c=kd(k>0), 于是λa+b=k[a+(2λ-1)b], 整理得λa+b=ka+(2λk-k)b. 由于a,b不共線(xiàn),所以有 整理得2λ2-λ-1=0,所以λ=1或λ=-. 又因?yàn)閗>0,所以λ>0,故λ=1. 答案 1 3.對(duì)于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的(  ). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 若a+b=0,則a=-b,所以a∥b.若a∥b,則a=λb,a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要條件. 答案 A 4.設(shè)a,b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),則實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)_______. 解析 ∵=+=2a-b,又A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn), ∴存在實(shí)數(shù)λ,使=λ.即∴p=-1. 答案 -1

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