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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)課時(shí)作業(yè)(二十九)
一、選擇題
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于( A )
A．4 B．2
C．1 D．－2
解析：由題可知Sn＝2(an－1)，
所以S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2.
又S2＝a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝a1＋2＝4.
2．按數(shù)列的排列規(guī)律猜想數(shù)列，－，，－，…的第10項(xiàng)是( C )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，容易歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，an＝(－1)n＋1·，故a10＝－.
3
2、．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an＝( D )
A．2n－1 B．n2
C. D.
解析：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn＝n2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝＝.
4．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為( B )
A．5 B.
C. D.
解析：∵an＋an＋1＝(n∈N*)，
∴a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，
故a2n＝2，a2n－1＝－2.
∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.
5．已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq
3、，且a2＝－6，那么a10等于( C )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
解析：法一：賦值法：令q＝2，則ap＋2＝ap＋a2，a2＝－6，故數(shù)列{an}的所有偶數(shù)項(xiàng)、所有奇數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列．
∴a10＝a2＋4×(－6)＝－30，故選C.
法二：a10＝a8＋2＝a8＋a2＝a6＋2＋a2＝a6＋2a2＝…＝5a2＝－30.
6．古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10……這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16……這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這
4、一規(guī)律的表達(dá)式為( A )
①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36
A．③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①②③⑤
解析：這些三角形數(shù)的規(guī)律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形數(shù)是這串?dāng)?shù)中相鄰兩數(shù)之和，很容易看到：恰有15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是對(duì)的．
二、填空題
7．用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示：
按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)為_(kāi)_______．
解析：由圖可知，第一條“金魚(yú)”需火柴棒a1＝8，第二條“金魚(yú)”需火柴棒a2＝14，依次類推a3＝20
5、條，an比an－1多6條，∴an－an－1＝6，∴an＝a1＋6(n－1)＝6n＋2.
答案：6n＋2
8．已知數(shù)列{an}滿足ast＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，則a8＝________.
解析：令s＝t＝2，則a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，則a8＝a2×a4＝8.
答案：8
9．已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________.
解析：由已知條件可得Sn＋1＝2n＋1.
則Sn＝2n＋1－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1時(shí)不適合an，故an＝
6、
答案：
三、解答題
10．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－7n＋6.
(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？
(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？
(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)？
解：(1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．
∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)．
11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.求數(shù)列{an
7、}與{bn}的通項(xiàng)公式．
解：∵當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4也適合，
∴{an}的通項(xiàng)公式是an＝4n(n∈N*)．
∵Tn＝2－bn，∴當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝2－b1，b1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，
∴2bn＝bn－1，
∴數(shù)列{bn}是公比為，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列．
∴bn＝n－1.
12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)設(shè)bn＝an＋1－an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
(2)
8、求n為何值時(shí)an最?。?
解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6得，
(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6.
∴bn＋1－bn＝2n－6.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝2(n－1)－6
bn－1－bn－2＝2(n－2)－6
?
b3－b2＝2×2－6
b2－b1＝2×1－6
累加得
bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)
＝n(n－1)－6n＋6
＝n2－7n＋6.
又b1＝a2－a1＝－14，
∴bn＝n2－7n－8(n≥2)，
n＝1時(shí)，b1也適合此式，
故bn＝n2－7n－8.
(2)由bn＝(n－8)(n＋1)得
9、an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，
∴當(dāng)n<8時(shí)，an＋18時(shí)，an＋1>an.
∴當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，an的值最?。?
[熱點(diǎn)預(yù)測(cè)]
13．(1)已知數(shù)列{an}中，a2＝102，an＋1－an＝4n，則數(shù)列{}的最小項(xiàng)是( )
A．第6項(xiàng) B．第7項(xiàng) C．第8項(xiàng) D．第9項(xiàng)
(2)已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1＝1，a2＝2，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且an＋1an＋2≠1，則a1＋a2＋a3＝________，S2 013＝________.
(3)將石子擺成如圖的梯形形狀．稱數(shù)列
10、5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 014項(xiàng)與5的差，即a2 014－5＝( )
A．2 020×2 014 B．2 020×2 013
C．1 010×2 014 D．1 010×2 013
解析：(1)根據(jù)an＋1－an＝4n，得a2－a1＝4，故a1＝98，由于an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4×(n－1)＝98＋2n(n－1)，
所以＝＋2n－2≥2－2＝26，當(dāng)且僅當(dāng)＝2n，即n＝7時(shí)等號(hào)成立．
(2)由1×2×a3＝1＋2＋a3，得a3＝3，a1＋a2＋a3＝6.繼續(xù)依據(jù)遞推關(guān)系得到a4＝1，a5＝2，a6＝3，…，故該數(shù)列是周期為3的數(shù)列，S2 013＝6×＝4 026.
(3)因?yàn)閍n－an－1＝n＋2(n≥2)，a1＝5，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n＋2)＋(n＋1)＋…＋4＋5
＝＋5
所以an＝5＋，
所以a2 014－5＝1 010×2 013.
答案：(1)B (2)6 4 026 (3)D
2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識(shí)課時(shí)作業(yè)(二十九)
