2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十四 概率(含解析)
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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十四 概率(含解析) 重點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率 1.頻率與概率 (1)頻率:在相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)m為事件A的頻數(shù),那么事件A出現(xiàn)的頻率,頻率的取值范圍為. (2)概率:對于給定的隨機(jī)事件,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近,我們把這個(gè)常數(shù)記為P(A),稱為事件A的概率. 頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別,不可混為一談,頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化,概率卻是一個(gè)常數(shù),它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí),頻率向概率靠近.只要試驗(yàn)次數(shù)足夠多,所得頻率就近似地當(dāng)做隨機(jī)事件的
2、概率. 2.事件的關(guān)系及運(yùn)算 (1)對于事件A和事件B,如果事件A發(fā)生,事件B一定發(fā)生,稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B). (2)若事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件B也發(fā)生,稱事件A等于事件B. (3)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,稱該事件為事件A與事件B的并事件(或和事件),記作(或). (4)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A且事件B都發(fā)生,則稱該事件為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作AB(或). (5)若為不可能事件,則稱事件A與事件B互斥. (6)若為不可能事件,而為必然事件,則稱A與B為對立事件. 3.概率的性質(zhì) (1),其
3、中必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0. (2)若事件A與事件B互斥,則. (3)若事件A與事件B對立,則 [高考??冀嵌萞 角度1 某射手在同一條件下進(jìn)行射擊,結(jié)果如下表所示: 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 1000 擊中靶心的次數(shù)m 8 19 44 90 178 455 906 擊中靶心的頻率 (1)計(jì)算表中擊中靶心的各個(gè)頻率; (2)這個(gè)運(yùn)動員擊中靶心的概率約是多少? 解析:本題考查頻率與概率. (1)依據(jù)頻率的計(jì)算公式,可以依次計(jì)算出表中擊中靶心的的頻率.
4、 (2)由(2)知,射擊的次數(shù)不同,計(jì)算得到的頻率值也不同,但隨著射擊次數(shù)的增多,頻率都在常數(shù)0.9的附近擺動,所以擊中靶心的概率約為0.9 角度2 (1)以下命題: ①將一枚硬幣拋擲兩次,設(shè)事件A:“兩次都出現(xiàn)正面”,事件B:“兩次都出現(xiàn)反面”,則事件A與事件B是對立事件; ②在命題①中,事件A與事件B是互斥事件; ③在10件產(chǎn)品中有3件是次品,從中任取3件,事件A:“所取3件中最多有2件是次品”,事件B:“所取3件中至少有2件是次品”,則事件A與事件B是互斥事件. 正確命題的個(gè)數(shù)為 A.0 B.1 C.2 D.3
5、 (2)盒中有4只白球,5只黑球,從中任意取出一只球. ①“取出的球是黃球”是什么事件?它的概率是多少? ②“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少? ③“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少? 解析:本題考查隨機(jī)事件與隨機(jī)事件的概率. (1)將一枚硬幣拋擲兩次,除去A、B的結(jié)果,還可能出現(xiàn)“一次正面,一次反面”或“一次反面,一次正面”兩種情況,因此①不正確,②正確;對于③,A與B有可能出現(xiàn)共同結(jié)果“1件正品,2件次品”,即事件A與事件B不是互斥事件,故③不正確.故選B (2)①“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下不可能發(fā)生,是不可能事件,概率為0 ②
6、“取出的球是白球”是隨機(jī)事件,概率是 ③“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生,是必然事件,概率為1 重點(diǎn)2 古典概型 1.古典概率模型:(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè); (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型. 并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型,例如,在適宜的條件下種下一粒種子并觀察它是否“發(fā)芽”,這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間為{發(fā)芽,不發(fā)芽},而“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會一般是不均等的. 2.古典概型的概率公式: 3.學(xué)會用最原始的方法計(jì)算基本事件個(gè)數(shù),許多古典概型的試題其基本
7、事件個(gè)數(shù)的計(jì)算沒有直接的公式可以套用,這時(shí)就要回歸到最原始的方法解基本事件的個(gè)數(shù),一般就是列舉法,通過列舉把所有的基本事件找出來,在列舉時(shí)注意借助于圖表、坐標(biāo)系等進(jìn)行. 4.對于求較復(fù)雜事件的古典概型的概率問題,可以利用分類討論的方法求出總體包含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件包含的基本事件的個(gè)數(shù),然后將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和,或者先求對立事件的概率,進(jìn)而用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕剩? [高考常考角度] 角度1 有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為(
8、) A. B. C. D. 解析:(理科解法)由題知,故選A. (文理解法)記三個(gè)興趣小組分別為1,2,3,甲參加1組記為“甲1” 則基本事件為“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9種 記事件A為“甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組”,其中事件A包含的基本事件有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3個(gè).因此,故選A 角度2甲乙兩人一起去游“xx西安世園會”,他們約定,各自獨(dú)立地從1到6號景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽,每個(gè)景點(diǎn)參觀1小
9、時(shí),則最后1小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是( ) A. B. C. D. 點(diǎn)評:本題抓住主要條件,去掉次要條件(例如參觀時(shí)間)可以簡化解題思路,然后把問題簡化為兩人所選的游覽景點(diǎn)路線的排列問題.理科使用排列組合反而復(fù)雜 解析:(理科解法)甲、乙兩人各自獨(dú)立任選4個(gè)景點(diǎn)的情形共有種;最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的情形有種,所以. (文理科解法)若用{1,2,3,4,5,6}代表6處景點(diǎn),顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6},共36種;其中滿足題意的“同一景點(diǎn)相遇”包括{1,1}、{2,2
10、}、{3,3}、…、{6,6},共6個(gè)基本事件, 故所求的概率為,故選D 對一些情境較為簡單、基本事件個(gè)數(shù)不是太多的古典概型問題,用枚舉法即可求事件發(fā)生的概率,但應(yīng)特別注意:枚舉時(shí)要嚴(yán)防遺漏,絕不重復(fù). 角度3 電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00:00到23:59,每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成,則一天中任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為( ) A. B. C. D. 解析:本題考查古典概型概率的求解,數(shù)字之和為23的只有09:59,18:59,19:49,19:58四種可能,一天顯示的時(shí)間總共24×60 =1 440種,故所求概率為
11、,故選C 點(diǎn)評:本題中,如何得出隨機(jī)事件“任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為23”所包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵.在小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和最大為10,即19點(diǎn),最小為0;在分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和最大為14,即每個(gè)小時(shí)段的第59分鐘.要想使四個(gè)數(shù)字之和等于23,只有以下兩種情形:當(dāng)分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和等于14時(shí),小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和只能等于9,也即只有9點(diǎn)和1 8點(diǎn);當(dāng)分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和等于13時(shí),即每個(gè)小時(shí)段的第49分鐘和第58分鐘,小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和只能等于10,即19點(diǎn). 角度4 (理科)已知一組拋物線其中為2,4,6,8中任取的一個(gè)數(shù),為1,3,5,7中任取的一個(gè)數(shù),從這些拋物線中任意抽取
12、兩條,它們在與直線交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是( ) A. B. C. D. 解析:本題結(jié)合拋物線、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考查古典概型概率的求解.這一組拋物線共條,從中任意抽取兩條,共有種不同的方法.它們在與直線交點(diǎn)處的切線的斜率 若,只有一種情形,(2+1),不合題意; 若,有兩種情形,(2+3,4+1),從中取出兩條,有種取法; 若,有三種情形,(2+5,4+3,6+1)從中取出兩條,有種取法; 若,有四種情形,(2+7,4+5,6+3,8+1)從中取出兩條,有種取法; 若,有三種情形,(4+7,6+5,8+3)從中取出兩條
13、,有種取法; 若,有兩種情形,(8+5,6+7)從中取出兩條,有種取法; 若,只有一種情形,(8+7),不合題意 由分類加法計(jì)數(shù)原理知任取兩條拋物線且滿足題目要求的情形共有 故所求概率為,故選B 本題中所有的拋物線共16條,這些拋物線在處的斜率可以是3,5,7,9,11,13,15,按照這個(gè)斜率對16條拋物線進(jìn)行分類,每一類中取出的兩條拋物線在與直線交點(diǎn)處的切線斜率是相等的,隨機(jī)事件的總數(shù)就是所有這些取法之和,而基本事件的總數(shù)就是在條拋物線中選取兩條. 角度5甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女. (Ⅰ)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名,寫出
14、所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師性別相同的概率; (Ⅱ)若從報(bào)名的6名教師中任選2名,寫出所有可能的結(jié)果,并求選出的2名教師來自同一學(xué)校的概率. 解析:(Ⅰ)甲校兩男教師分別用A、B表示,女教師用C表示;乙校男教師用D表示,兩女教師分別用E、F表示.從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為: (A,D),(A,E),(A,F(xiàn)),(B,D),(B,E),(B,F(xiàn)),(C,D),(C,E),(C,F(xiàn))共9種, 從中選出的兩名教師性別相同的結(jié)果有:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F(xiàn))共4種, 選出的兩名教師性別相同的概率為 (Ⅱ)從甲校和乙校報(bào)名的教師中任選2名的
15、所有可能的結(jié)果為: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F(xiàn))(B,C)(B,D)(B,E)(B,F(xiàn))(C,D)(C,E)(C,F(xiàn))(D,E)(D,F(xiàn))(E,F(xiàn))共15種, 從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有: (A,B)(A,C)(B,C)(D,E)(D,F(xiàn))(E,F(xiàn))共6種, 選出的兩名教師來自同一學(xué)校的概率為. 重點(diǎn)3 幾何概型 1.幾何概型:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. 2.幾何概型的概率公式: 3.均勻隨機(jī)數(shù):在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù),其中每一個(gè)數(shù)產(chǎn)生的機(jī)會是一樣的
16、,通過模擬一些試驗(yàn),可以代替我們做大量的重復(fù)試驗(yàn),從而求得幾何概型的概率,一般地,利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器的rand()函數(shù)可以產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù).a(chǎn)~b之間的均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生:利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x= rand(),然后利用伸縮和平移變換x= rand()*(b-a)+a,就可以產(chǎn)生a~b之間的均勻隨機(jī)數(shù). 4.幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn):一是無限性,即在一次試驗(yàn)中,基本事件的個(gè)數(shù)可以是無限的;二是等可能性,即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的.因此,用幾何概型和用古典概型求解概率問題的思路是相同的,同屬于“比例解法”.即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的
17、圖形面積(體積、長度)”與“試驗(yàn)的基本事件所占的總面積(總體積、總長度)”之比來表示. 5.幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型,兩者的共同點(diǎn)是基本事件是等可能的,不同點(diǎn)是基本事件數(shù)前者是無限的(基本事件可以抽象為點(diǎn)),后者是有限的.對于幾何概型而言,這些點(diǎn)盡管是無限的,但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的,根據(jù)等可能性,其中某個(gè)點(diǎn)落在某區(qū)域上的概率與該區(qū)域的幾何度量成正比,而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān). 6.幾種常見的幾何概型概率的求法: (1)設(shè)線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點(diǎn),此點(diǎn)落在線段l上的概率為 (2)設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點(diǎn),此點(diǎn)落在區(qū)域g
18、上的概率為 (3)設(shè)空間區(qū)域v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域v上任投一點(diǎn),此點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為 7.化解幾何概型問題要從以下三方面做起: (1)明確幾何概型的意義.幾何概型是基本事件個(gè)數(shù)有無限個(gè),每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等的一個(gè)概率模型,這個(gè)概率模型的顯著特點(diǎn)是每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例. (2)記住幾何概型的計(jì)算公式.幾何概型的計(jì)算就是找隨機(jī)事件所占有的幾何度量值和整個(gè)基本事件所占有的幾何度量值的比值.即如果整個(gè)基本事件占有的幾何度量值為M,隨機(jī)事件A所占有的幾何度量值為N,則事件A發(fā)生的概率 (3)掌握轉(zhuǎn)化策略.很多幾何概型往往要通過一定的
19、手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計(jì)算上來,在解決問題時(shí)要善于根據(jù)問題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化,如把從兩個(gè)區(qū)間內(nèi)取出的實(shí)數(shù)看作坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo),將問題轉(zhuǎn)化為平面上的區(qū)域問題等,這種轉(zhuǎn)化策略是化解幾何概型試題難點(diǎn)的關(guān)鍵. [高考常考角度] 角度1 已知菱形ABCD的邊長為2,則該菱形內(nèi)的點(diǎn)到菱形的頂點(diǎn)A,B的距離均不小于1的概率是( ) A. B. C. D. 解析:本題考查幾何概型的意義以及幾何概型概率的求解. 如圖所示,只有當(dāng)點(diǎn)位于菱形內(nèi)的空白區(qū)域時(shí),其到A,B的距離才均不小于1,菱形的面積為 兩個(gè)陰影部分的扇形面積之和
20、恰好是一個(gè)半徑為1的半圓,其面積為,故空白區(qū)域的面積為, 所求的概率是,故選B 點(diǎn)評:經(jīng)分析可知本題中以點(diǎn)B為圓心的扇形,其圓弧恰好與菱形的邊AB,CD相切.幾何概型所依據(jù)的知識背景極為廣闊,面對不同的試題要認(rèn)真進(jìn)行分析. 角度2 已知關(guān)于的一元二次函數(shù),其中實(shí)數(shù)滿足,則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率是_______ 解析:本題結(jié)合不等式組所表示的平面區(qū)域考查幾何概型概率的求解,函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件是,即.作出平面區(qū)域如圖所示. 問題等價(jià)于向區(qū)域OAB中任意擲點(diǎn),點(diǎn)落在區(qū)域OAC(點(diǎn)C的坐標(biāo)是) 中的概率,這個(gè)概率值是 [答案] 角度3 蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛
21、行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”概率為( ) A. B. C. D. 解析:本題考查幾何概型概率的求解.蜜蜂“安全飛行”需要距正方體各表面距離均大于1,故其活動范圍在大正方體內(nèi)的一個(gè)棱長為l的小正方體中,所以蜜蜂“安全飛行”的概率為,故選D 幾何概型有“線型”的,其概率是隨機(jī)事件所在線段和所有基本事件所在線段的長度之比;“面積型”的,其概率是隨機(jī)事件所在面和所有基本事件所在面的面積之比;“體積型”的,其概率是隨機(jī)事件所在的空間幾何體和所有基本事件所在的空間幾何
22、體的體積之比. 角度4如圖,在長方體中,分別是棱上的點(diǎn)(點(diǎn)與不重合),且,過的平面與棱相交,交點(diǎn)分別為. (Ⅰ)證明:平面; (Ⅱ)設(shè)在長方體內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自于幾何體 內(nèi)的概率為.當(dāng)點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動且滿足時(shí),求的最小值. 點(diǎn)評:本題考查空間直線、平面的位置關(guān)系,以及空間幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、推理推證能力、運(yùn)算求解能力. 解析:(Ⅰ)方法一:在長方體中, 又, 平面, 平面 平面; (Ⅱ)設(shè),則長方體的體積為, 幾何體的體積 , ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立, 從而,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立, 的最小值為 方法二:(Ⅰ)同方
23、法一 (Ⅱ)設(shè),則長方體的體積為, 幾何體的體積 設(shè),則 ,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立, 從而,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立, 的最小值為 重點(diǎn)4 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題(理科) 1. n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型:在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,如果事件A發(fā)生的概率為p,則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為這是概率計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛的一種概率模型. 2.明確n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的適用環(huán)境:根據(jù)定義,n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在相同條件下的重復(fù)試驗(yàn),也就是說每次試驗(yàn)時(shí)事件A要么發(fā)生要么不發(fā)生,但事件A發(fā)生的概率是相同的.在實(shí)際問題中,
24、我們往往把一些發(fā)生的概率相等,互相之間沒有必然聯(lián)系的事件看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),如5位同學(xué)參加競賽,每位同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率都是0.4,則獲獎(jiǎng)的人數(shù)就可以看作5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù),可以根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型進(jìn)行解決.明確n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的適用環(huán)境,善于將實(shí)際問題歸結(jié)到這個(gè)概率模型是化解這類概率應(yīng)用問題的關(guān)鍵. 3.注意部分中的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型:在實(shí)際問題中,往往一個(gè)隨機(jī)事件其中的一部分或若干部分符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的條件,這時(shí)可以在這些部分中使用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的計(jì)算公式,以達(dá)到簡化計(jì)算的目的. [高考??冀嵌萞 角度1 在全國大學(xué)生智能汽車總決賽中,某高校學(xué)生開發(fā)的智能汽車在
25、一個(gè)標(biāo)注了平面直角坐標(biāo)系的平面上從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā),每次只能移動一個(gè)單位,沿x軸正方向移動的概率是,沿y軸正方向移動的概率為,則該智能汽車移動6次恰好移動到點(diǎn)(3,3)的概率為____. 解析:本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率.若該智能汽車移動6次恰好到點(diǎn)(3,3),則智能汽車在移動過程中沿x軸正方向移動3次、沿y軸正方向移動3次,因此智能汽車移動6次后恰好位于點(diǎn)(3,3)的概率為 角度2 一袋中裝有5個(gè)白球,3個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次取出一個(gè),記下球的顏色,然后放回,直到紅球出現(xiàn)10次停止,用表示取球的次數(shù),則=______________ 解析:本題考查相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試
26、驗(yàn)概型.由已知,一次取球取到紅球的概率為,取到白球的概率為,,說明第12次取到的是紅球,前11次取到9個(gè)紅球和2個(gè)白球 角度3 有一種旋轉(zhuǎn)舞臺燈,外形是正六棱柱,在其每一個(gè)側(cè)面上安裝5只顏色各異的彩燈,假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5.若一個(gè)面上至少有3只燈發(fā)光,則不需要維修,否則需要維修這個(gè)面. (1)求恰好有兩個(gè)面需要維修的概率; (2)求至少3個(gè)面需要維修的概率. 解析:(1)因?yàn)橐粋€(gè)面不需要維修的概率為 所以一個(gè)面需要維修的概率為 因此,6個(gè)面中恰好有兩個(gè)面需要維修的概率為 (2)設(shè)需要維修的面為X個(gè),則, 又 故至少3個(gè)面需要維修的概率是 即至少3個(gè)面
27、需要維修的概率是 點(diǎn)評:本題的難點(diǎn)是計(jì)算一個(gè)面不需要維修的概率.每個(gè)面上的5只彩燈正常發(fā)光的概率都相等,故可以看作是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),一個(gè)面不需要維修的概率也即是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件至少發(fā)生3次的概率,按照獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算即可. 重點(diǎn)5 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差(理科) 1.期望: 2.方差: 3.標(biāo)準(zhǔn)差: 4. 5.求離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)求離散型隨機(jī)變量的分布列,應(yīng)按下述三個(gè)步驟進(jìn)行: ①明確隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個(gè)值所表示的意義; ②利用概率的有關(guān)知識,求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率; ③按規(guī)范形式寫出分布列,并用分布列的
28、性質(zhì)驗(yàn)證. (2)如果分布列中某一欄的概率比較復(fù)雜;可以利用分布列的性質(zhì)求解. (3)求隨機(jī)變量的分布列,基礎(chǔ)是概率的計(jì)算,如古典概型的概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等. 6.期望、方差的求法 (1)對離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望應(yīng)注意如下幾點(diǎn): ①數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均值概念的推廣,是概率意義上的平均. ②是一個(gè)實(shí)數(shù),由的分布列唯一確定,即作為隨機(jī)變量是可變的,可取不同值,而是不變的,它描述取值的平均狀態(tài). ③直接給出了的求法,即隨機(jī)變量的取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加. ④教材中給出的,說明隨機(jī)變量的線性函數(shù)的期望等于隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)
29、期望的線性函數(shù). (2)對離散型隨機(jī)變量的方差應(yīng)注意如下幾點(diǎn): ①表示隨機(jī)變量對的平均偏離程度.越大,表明平均偏離程度越大,說明的取值越分散.反之,越小,的取值越集中;在附近.統(tǒng)計(jì)中常用來描述的分散程度. ②與一樣,也是實(shí)數(shù),由的分布列唯一確定. ③對于結(jié)論:,在記憶和使用此結(jié)論時(shí),請注意. (3)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差韻方法: ①理解的意義,寫出可能取的全部值; ②求取每個(gè)值的概率; ③寫出的分布列; ④由期望的定義求; ⑤由方差的定義求. (4)當(dāng)斷定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布時(shí),可不用列出分布列,直接求出與. (5)在計(jì)算
30、離散型隨機(jī)變量的期望和方差時(shí),首先要搞清其分布特征及分布列,然后準(zhǔn)確應(yīng)用公式.充分利用期望和方差的性質(zhì)解題,能避免繁瑣的運(yùn)算過程,提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.如. (6)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的關(guān)鍵在于求出分布列,求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是過好四關(guān): ①過好“題目的理解關(guān)”.要抓住題中關(guān)鍵字句,盡可能轉(zhuǎn)化為自己熟悉的模型. ②過好“隨機(jī)變量的取值關(guān)”.準(zhǔn)確無誤地找出隨機(jī)變量的所有可能取值. ③過好“事件的類型關(guān)”,事件通常包括等可能事件、互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件等,在計(jì)算相應(yīng)的概率前要先確定事件的類型,尤其注意“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別. ④
31、過好“概率的運(yùn)算關(guān)”.運(yùn)用公式 ,確保正確無誤. [高考??冀嵌萞 角度1 (xx.江西)(本小題滿分12分) 某飲料公司招聘一名員工,現(xiàn)對其進(jìn)行一項(xiàng)測試,以便確定工資級別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯,其顏色完全相同,并且其中4杯為A飲料,另外4杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對,則月工資定為3500元;若4杯選對3杯,則月工資定為2800元;否則月工資定為2100元.令X表示此人選對A飲料的杯數(shù).假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力. (1) 求X的分布列; (2) 求此員工月工資的期望. 解析:本題綜合考查了排列組合、互斥事
32、件的概率、古典概型、隨機(jī)變量的分布列及期望等知識,以及數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算求解的能力. (1)的所有可能取值為, 則 即,,, ,. 則的分布列為 0 1 2 3 4 (2)令表示此員工的月工資,則的所有可能的取值為2 100,2 800,3 500,則 ,, 或者 所以 此員工月工資的期望為 角度2 (xx遼寧)(本小題滿分12分) 某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物,為此對這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地,每大塊地分成n小塊地,在總共2n小塊地中,隨機(jī)選n小塊地種植品種甲,另外n小塊地種植
33、品種乙. (Ⅰ)假設(shè)n=4,在第一大塊地中,種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (Ⅱ)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊,即n=8,試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位:kg/hm2)如下表: 品種甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品種乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差;根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種? 附:樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差,其中為樣本平均數(shù). 解析:(Ⅰ)可能的取值為,且 則
34、的分布列為 0 1 2 3 4 X的數(shù)學(xué)期望為 (Ⅱ)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為: 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為: 由以上結(jié)果可以看出,品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù),且兩品種的樣本方差差異不大,故應(yīng)該選擇種植品種乙. 重點(diǎn)6 二項(xiàng)分布(理科) 二項(xiàng)分布:若, 判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵是看某一事件是否進(jìn)行了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),且每次試驗(yàn)是否只有兩種結(jié)果,如果不滿足這兩個(gè)條件,隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布. [高考常考角度] 角度1(本小題滿分12
35、分) 學(xué)校游園活動有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱) (Ⅰ)求在一次游戲中, (i)摸出3個(gè)白球的概率; (ii)獲獎(jiǎng)的概率; (Ⅱ)求在兩次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望 解析:本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、二項(xiàng)分布、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)用概率知識解決簡單的實(shí)際問題的能力. (Ⅰ)(i)設(shè)“在1次游戲中摸出個(gè)白球”為事件,則 .
36、 (ii)設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件,則, , 因?yàn)楹突コ?,所以? (Ⅱ) 的所有可能值為 ,, 所以的分布列是 0 1 2 . 突破2個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 事件的互斥與對立(文、理) 解決互斥事件和對立事件問題的難點(diǎn)就是對事件的互斥性與對立性的辨別,在解題中要根據(jù)問題的具體情況作出準(zhǔn)確的判斷.互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,其概率滿足加法公式,即若互斥,則;對立事件是必然有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件,也就是說對立的兩個(gè)事件首先必須是互斥的,而且這兩個(gè)事件之和是一個(gè)必然事件,即一個(gè)事件與它的對立事件的概率之間有關(guān)系式,用好這個(gè)關(guān)系對解決概率問題
37、是非常有用的,它往往能使復(fù)雜的問題簡單化. 典例1 甲:是互斥事件;乙:是對立事件,那么下列說法正確的是_____________ ①甲是乙的充分但不必要條件; ②甲是乙的必要但不充分條件; ③甲是乙的充要條件; ④甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件. 解析:兩個(gè)事件是對立事件,則它們一定互斥,反之不成立. 故選 ② 點(diǎn)評:互斥的兩個(gè)事件不一定是對立事件,因?yàn)檫@兩個(gè)事件可能都不發(fā)生,但對立的兩個(gè)事件一定互斥,即互斥是對立的必要條件,不互斥的兩個(gè)事件一定不是對立事件.該題的難點(diǎn)就是對立事件與互斥事件之間關(guān)系的掌握. 典例2 根據(jù)多年經(jīng)
38、驗(yàn),張先生在本單位的一次考核中,獲得第一、二、三、四名的概率分別為0. 21,0.23,0. 25,0.28,計(jì)算張先生在一次考核中: (1)獲得第一名或第四名的概率; (2)名次不在前四名的概率. 解析:(1)記“獲得第一名”為事件,“獲得第四名”為事件,由于在一次考核中,與不可能同時(shí)發(fā)生,故與是互斥事件.則獲得第一名或第四名的概率為 (2)記“名次不在前四名”為事件E,則事件E為“獲得第一名、第二名、第三名、第四名”的對立事件,獲得第一名、第二名、第三名、第四名這幾個(gè)事件是彼此互斥的,故 點(diǎn)評:注意分析事件是否互斥,只有互斥事件才能利用概率的加法公式.當(dāng)直接求某一事件的概率較
39、為復(fù)雜或根本無法求時(shí),可先轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率,這是化解概率計(jì)算難點(diǎn)的基本指導(dǎo)思想之一. 難點(diǎn)1 事件的互斥與對立(文、理) 概率、統(tǒng)計(jì)型綜合題重在考查考生根據(jù)生活、生產(chǎn)等實(shí)際問題的情境分析問題、解決問題的能力,考查考生的思維能力及運(yùn)算能力.解決概率、統(tǒng)計(jì)型綜合題的關(guān)鍵,就是要善于從普通語言中捕捉到有用信息,并將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,因此在復(fù)習(xí)時(shí)要留意概率型綜合題中的新背景,夯實(shí)概率基礎(chǔ)知識與方法,注重對自己閱讀理解能力的培養(yǎng),提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與方法分析解決問題的能力. 典例 連續(xù)擲兩枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和,記向量與向量的夾角為,求的概率. 解析:解法一:由
40、向量夾角的定義及圖形可直觀地得出,當(dāng)點(diǎn)位于直線及其下方時(shí),滿足 點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為36 又位于直線及其下方的點(diǎn)有(個(gè)) 故所求的概率為 解法二 由向量夾角公式,得,從而 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;…;當(dāng)時(shí),. 故所求概率為 解法三 由向量夾角公式,得,從而 顯然當(dāng)時(shí),有6種可能,根據(jù)對稱性,與的可能性相同,即各有15種可能 故所求概率為 難點(diǎn)1 獨(dú)立事件的概率、條件概率(理) 化解本難點(diǎn)要從以下三方面做起: 1.深入理解獨(dú)立事件的本質(zhì):兩個(gè)事件的發(fā)生與否相互之間沒有關(guān)系,事件的相互獨(dú)立性的概念可以推
41、廣到n個(gè)事件之間的相互獨(dú)立. 2.掌握條件概率的計(jì)算方法:條件概率具有概率的一般性質(zhì),即概率值都在區(qū)間內(nèi), 若互斥,則等,在古典概型中往往是根據(jù)古典概型的公式計(jì)算條件概率,而不是根據(jù)上述定義進(jìn)行計(jì)算. 3.學(xué)會分析事件之間的關(guān)系:一個(gè)實(shí)際問題中往往涉及多個(gè)事件,正確理解這些事件之間的相互關(guān)系是解決問題的核心,一般的思路是先把所要解決的隨機(jī)事件分成若干個(gè)互斥事件的和,再把這些互斥事件中的每一個(gè)事件分成若干個(gè)相互獨(dú)立事件的乘積,把所要求的隨機(jī)事件的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為已知的一些事件的概率之積、之和的計(jì)算,這是化解概率計(jì)算問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在, 典例1 某公司招聘員工,指定三門考試課程,有兩種
42、考試方案. 方案一:考試三門課程,至少有兩門合格為考試通過; 方案二:在三門課程中,隨機(jī)選取兩門,這兩門都合格為考試通過. 假設(shè)某應(yīng)聘者這三門指定課程考試合格的概率分別是,且三門課程考試是否合格相互之間沒有影響. (1)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過的概率; (2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由) 解析:設(shè)三門考試課程考試合格的事件分別為,相應(yīng)的概率為. (1)考試三門課程,至少有兩門合格的事件可表示為,設(shè)其概率為, 則 設(shè)在三門課程中,隨機(jī)選取兩門,這兩門都合格的概率為,則 算法解析:從三門課程任選2門,有AB,A
43、C,BC3種情況,選中AB的概率為,然后A與B都合格的概率為ab (2) ,即用方案一通過考試的概率大于用方案二通過考試的概率. 典例2 設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù),用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)(重根按一個(gè)計(jì)) (1)求方程有實(shí)根的概率; (2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望; (3)求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下,方程有實(shí)根的概率. 解析:(1)基本事件的總數(shù)為個(gè) 若使方程有實(shí)根,則 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)為,因此方程有實(shí)根的概率為 (2)由
44、題意知,則 故 的分布列為 0 1 2 (3)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件,“方程有實(shí)根”為事件 則 具體算法:事件的情況有共11個(gè), 其中有實(shí)根的情況是后面7個(gè) 條件概率:在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,其中表示A與B同時(shí)發(fā)生的概率. 典例3 某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課,學(xué)生是否選修哪門課互不影響.已知某學(xué)生只選修甲的概率為0.08,只選修甲和乙的概率是0.12,至少選修一門的概率是0.88,用表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積.記“函數(shù)為上的偶函數(shù)”為事件,求事件的概率. 解析:設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的
45、概率分別為,依題意得 若函數(shù)為上的偶函數(shù),則 當(dāng)時(shí),該學(xué)生選修三門課程或三門課程都沒選 點(diǎn)評:本題的難點(diǎn)是根據(jù)已知條件求出學(xué)生選修甲、乙、丙的概率,破解此難點(diǎn)的關(guān)鍵是利用相互獨(dú)立事件、互斥事件與對立事件的概率把已知條件轉(zhuǎn)化為這三個(gè)概率的方程組進(jìn)行求解,其中“至少選修一門的概率”,如果從正面求解則要利用互斥事件的概率來表示,比較復(fù)雜,而轉(zhuǎn)化為對立事件的概率則較為簡單.把復(fù)雜問題利用互斥事件或?qū)α⑹录D(zhuǎn)化為簡單事件的概率是求解概率問題中常用的一種數(shù)學(xué)思想,即正難則反易. 難點(diǎn)2 正態(tài)分布(理) 化解正態(tài)分布問題中的難點(diǎn)的依據(jù)是正態(tài)密度曲線的性質(zhì): (1)曲線在軸上
46、方,與軸無交點(diǎn),且軸為其漸近線; (2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線對稱; (3)曲線在處達(dá)到最大值; (4)當(dāng)一定時(shí),曲線隨著的變化而沿軸平移; (5)當(dāng)一定時(shí),曲線的形狀由確定,越小,曲線越尖陡,表示總體的分布越集中;越大,曲線越扁平,表示總體的分布越分散. 典例1 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有( ) A. B. C. D. 解析:正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖象是一條關(guān)于直線對稱, 在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線, 越犬,曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩;越小,曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭.故選A 點(diǎn)評:本題考查的就是正態(tài)分布的均值和方差的意義,理
47、解均值和方差的意義,特別是方差的意義才能作出正確的判斷,方差越小,整體分布就越向均值集中,表現(xiàn)在正態(tài)密度曲線上就是曲線越“尖陡”. 典例2 xx年中國汽車銷售量達(dá)到1700萬輛,汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響,各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量,某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況;共抽查了1200名車主,據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升,并且汽車的耗油量服從正態(tài)分布,已知耗油量的概率為0.7,那么耗油量大于9升的汽車大約有________輛. 解析:由題意可知,故正態(tài)密度曲線以為對稱軸,叉因?yàn)? 故,又 所以耗油量大于9升的汽車大約有 輛
48、 點(diǎn)評:服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上正態(tài)密度曲線和軸之間的曲邊梯形的面積,根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性,當(dāng)時(shí)必然有,這是解決正態(tài)分布類試題的一個(gè)重要結(jié)論. 規(guī)避5個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 誤解基本事件的等可能性 典例 若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為__________. 易失分提示:解本題時(shí)易出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤在于對等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻,錯(cuò)誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11(點(diǎn)數(shù)和等于2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
49、、12),或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為(1,3),(2,2)兩種,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 解析:將骰子先后拋擲2次,出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo),則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為,而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1,3),(2,2),(3,1),共3個(gè), 故將骰子先后拋擲2次,出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為 易失分點(diǎn)2 幾何概型概念不清 典例1 在等腰中,直角頂點(diǎn)為,在的內(nèi)部任作一條射線,與線段交于點(diǎn), 的概率為_________. 易失分提示:解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對幾何概型的概念把握不準(zhǔn),理解模糊,將角度型的幾何概型錯(cuò)誤地當(dāng)成長度型幾何概型求解,得到以下錯(cuò)解: 根據(jù)題設(shè),點(diǎn)隨機(jī)地落在
50、線段上,故線段為基本事件的區(qū)域,當(dāng)位于線段上時(shí),,故線段為所求 解析:由于在內(nèi)作射線,等可能分布的是在內(nèi)的任一位置(如圖所示),因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是,在上取一點(diǎn),使,則 易失分點(diǎn)3 互斥和對立相混淆 典例 判斷下列給出的每對事件,是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明道理. 從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張,點(diǎn)數(shù)都是從1—10)中,任取一張. (1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”; (2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”. 易失分提示:對事件互斥意義不明確,對事件的互斥與對立之間的關(guān)系不清楚,就會出現(xiàn)錯(cuò)誤
51、的判斷.如對事件“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”的判斷:這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,忽視了“所有的牌只有紅色和黑色兩種,抽出的牌不是紅色就是黑色,這兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生”,就會作出這兩個(gè)事件是互斥而不對立的錯(cuò)誤判斷. 解析:(1)是互斥事件,不是對立事件. 原因是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的,所以是互斥事件,但是,不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生,這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”,因此二者不是對立事件. (2)既是互斥事件,又是對立事件. 原因是:從40張撲克牌中,任意抽取1張,“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”,兩個(gè)事件
52、不可能同時(shí)發(fā)生,但其中必有一個(gè)發(fā)生,所以它們既是互斥事件,又是對立事件. (3)不是互斥事件,當(dāng)然不可能是對立事件. 原因是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9"這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生,如抽的點(diǎn)數(shù)為10,因此,二者不是互斥事件,當(dāng)然也不可能是對立事件. 易失分點(diǎn)4 互斥事件與相互獨(dú)立事件相混淆(理) 典例 某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行,每部分考核成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”,則該課程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7;在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0
53、.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之間沒有影響. (1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率; (2)求這三人該課程考核都合格的概率.(結(jié)果保留三位小數(shù)) 易失分提示:解本題時(shí)可以把隨機(jī)事件分拆成若干個(gè)互斥事件的和,再把每個(gè)事件分成若干個(gè)相互獨(dú)立事件的積進(jìn)行解答.容易出錯(cuò)的地方就是在分拆時(shí)可能混淆了互斥事件與相互獨(dú)立事件,從而造成分拆錯(cuò)誤. 解析: 記“甲理論考核合格”為事件,“乙理論考核合格”為事件,“丙理論考核合格”為事件, 記為的對立事件,,記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件,“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件,“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件. (1)記“理論考核中至少有兩人
54、合格”為事件, 則
55、 所以理論考核中至少有兩人合格為 (2)記“三人該課程考核都合格”為事件 則 所以這三人該課程考核都合格的概率為 易失分點(diǎn)5 對二項(xiàng)分布理解不準(zhǔn)(理) 典例 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算:(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位) (1)
56、5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率; (2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率5 (3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率. 易失分提示: 由于5次預(yù)報(bào)之間沒有什么影響,故這是一個(gè)5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型,我們可以利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的知識加以解決.其中第(1)問是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件恰好發(fā)生2次的概率,第(2)利用對立事件的概率解決,第(3)問相當(dāng)于事件在第3次發(fā)生,第1,2,4,5這4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生1次的概率.解本題容易出錯(cuò)的地方,一是對“恰有2次”、“至少有2次”理解錯(cuò)誤,誤用二項(xiàng)分布;二是對隨機(jī)事件“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的意義理解錯(cuò)誤,不能把問題歸結(jié)為“在第1,2,4,5次預(yù)報(bào)中有1次準(zhǔn)確,在第3次也預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”,出現(xiàn)仍然用5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型解決問題的錯(cuò)誤. 解析:設(shè)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”為事件A,“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”為事件B,“5次預(yù)報(bào)恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”為事件C (1) (2) (3)
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