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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一課時 兩角和與差的余弦教案 蘇教版必修4
教學(xué)目標:
掌握兩角和與差的余弦公式,能用公式進行簡單的求值;培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).
教學(xué)重點:
余弦的差角公式及簡單應(yīng)用
教學(xué)難點:
余弦的差角公式的推導(dǎo)
教學(xué)過程:
Ⅰ.課題導(dǎo)入
在前面咱們共同學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù),在研究三角函數(shù)時,我們還常常會遇到這樣的問題:已知任意角α、β的三角函數(shù)值,如何求α+β、α-β或2α的三角函數(shù)值?即:α+β、α-β或2α的三角函數(shù)值與α、β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系?
Ⅱ.講授新課
接下來,我們繼續(xù)考慮如何把兩角差的余弦cos(α-β)用α、β的三角函數(shù)
2、來表示的問題.
在直角坐標系xOy中,以O(shè)x軸為始邊分別作角α、β,其終邊分別與單位圓交于P1(cosα,sinα)、P2(cosβ,sinβ),則∠P1OP2=α-β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù),所以,我們只需考慮0≤α-β<π的情況.
設(shè)向量a==(cosα,sinα),b==(cosβ,sinβ),則:
a·b=︱a︱︱b︱cos (α-β)=cos (α-β)
另一方面,由向量數(shù)量積的坐標表示,有
a·b=cosαcosβ+sinαsinβ
所以:cos (α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C(α-β))
兩角和的余弦公式對
3、于任意的角α、β都是成立的,不妨,將此公式中的β用-β代替,看可得到什么新的結(jié)果?
cos [α-(-β)]
=cos αcos (-β)-sinαsin(-β)
=cos αcos β-sinαsinβ
即:cos (α+β)=cos αcos β-sinαsinβ (C(α+β))
請同學(xué)們觀察這一關(guān)系式與兩角差的余弦公式,看這兩式有什么區(qū)別和聯(lián)系?
(1)這一式子表示的是任意兩角α與β的差α-β的余弦與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系.
(2)這兩式均表示的是兩角之和或差與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系.
請同學(xué)們仔細觀察它們各自的特點.
(1)兩角之和的余弦等于這兩角
4、余弦之積與其正弦之積的差.
(2)兩角之差的余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的和.
不難發(fā)現(xiàn),利用這一式子也可求出一些與特殊角有關(guān)的非特殊角的余弦值.
如:求cos 15°可化為求cos(45°-30°)或cos(60°-45°)利用這一式子而求得其值.
即:cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin45°sin30°
=·+·=
或:cos 15°=cos (60°-45°)
=cos 60°cos 45°+sin60°sin45°
=·+·=
請同學(xué)們將此公式中的α用代替,看可得到什么新的結(jié)果?
cos(-α)=coscos α
5、+sinsinα=sinα
即:cos(-α)=sinα
再將此式中的α用-α代替,看可得到什么新的結(jié)果.
cos[-(-α)]=cosα=sin(-α)
即:sin(-α)=cosα
Ⅲ.課堂練習(xí)
1.求下列三角函數(shù)值
①cos (45°+30°)②cos 105°
解:①cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin45°sin30°
=·-·=
②cos 105°=cos (60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin60°sin45°
=·-·=
2.若cos αcos β=-,cos(α+β)=-1,求sinαsinβ.
解:由co
6、s(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
得:sinαsinβ=cosαcosβ-cos(α+β)
將cosαcosβ=-,cos(α+β)=-1代入上式可得:sinαsinβ=
3.求cos 23°cos 22°-sin23°sin22°的值.
解:cos 23°cos 22°-sin23°sin22°=cos(23°+22°)=cos 45°=
4.若點P(-3,4)在角α終邊上,點Q(-1,-2)在角β的終邊上,求cos (α+β)的值.
解:由點P(-3,4)為角α終邊上一點;點Q(-1,-2)為角β終邊上一點,
得:cos α=-,sinα=;cosβ=-,s
7、inβ=-.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=(-)×(-)-×(-)=
5.已知cos(α-β)=,cos(α+β)=-,求:tanα·tanβ的值.
解:由已知cos(α-β)=,cos(α+β)=-
可得:cos(α-β)+cos(α+β)=-=
即:2cosαcosβ= ①
cos(α-β)-cos(α+β)=1
即:2sinαsinβ=1 ②
由②÷①得=tanα·tanβ=
∴tanα·tanβ的值為.
6.已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=-,求:cos (α-β)的值.
解:由已知cosα-cosβ=
得:co
8、s 2α-2cos αcos β+cos 2β= ①
由sinα-sinβ=-
得:sin2α-2sinαsinβ+sin2β= ②
由①+②得:2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=
即:2-2cos(α-β)=
∴cos(α-β)=
Ⅳ.課時小結(jié)
兩公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.
Ⅴ.課后作業(yè)
課本P96習(xí)題 1,2,3
兩角和與差的余弦
1.下列命題中的假命題是 ( )
A.存在這樣的α和β的值,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sin
9、αsinβ
B.不存在無窮多個α和β的值,使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C.對于任意的α和β,都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在這樣的α和β值,使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ
2.在△ABC中,已知cos A·cos B>sinA·sinΒ,則△ABC一定是鈍角三角形嗎?
3.已知sinα+sinβ=,求cosα+cosβ的最大值和最小值.
4.已知:α∈(,),β∈(0,),且cos(-α)=,sin(+β)=-
求:c
10、os (α+β).
5.已知:α、β為銳角,且cosα=,cos(α+β)=-,求cosβ的值.
6.在△ABC中,已知sinA=,cosB=,求cos C的值.
兩角和與差的余弦答案
1.B
2.在△ABC中,已知cos A·cos B>sinA·sinΒ,則△ABC一定是鈍角三角形嗎?
解:∵在△ABC中,∴0<C<π,且A+B+C=π
即:A+B=π-C
由已知得cos A·cos B-sinA·s
11、inB>0,即:cos(A+B)>0
∴cos(π-C)=-cos C>0,即cos C<0
∴C一定為鈍角
∴△ABC一定為鈍角三角形.
3.已知sinα+sinβ=,求cosα+cosβ的最大值和最小值.
分析:令cosα+cosβ=x,然后利用函數(shù)思想.
解:令cosα+cosβ=x,則得方程組:
①2+②2得2+2cos (α-β)=x2+
∴cos (α-β)=
∵|cos (α-β)|≤1, ∴| |≤1
解之得:-≤x≤
∴cosα+cosβ的最大值是,最小值是-.
4.已知:α∈(,),β∈(0,),且cos(-α)=,sin(+β)=-
求:c
12、os (α+β).
解:由已知:α∈(,)
-α∈(-,-)-α∈(-,0)
又∵cos (-α)=, ∴sin(-α)=-
由β∈(0,)+β∈(,)
又∵sin(+β)=sin[π+(+β)]=-sin(+β)=-
即sin(+β)=, ∴cos(+β)=
又(+β)-(-α)=α+β
∴cos(α+β)=cos[(+β)-(-α)]
=cos(+β)cos(-α)+sin(+β)sin(-α)
=×+×(-)=-
5.已知:α、β為銳角,且cosα=,cos(α+β)=-,求cosβ的值.
解:∵0<α·β<,∴0<α+β<π
由cos (α+β)=-,
13、得sin(α+β)=
又∵cosα=,∴sinα=
∴cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sinα
=(-)×+×=
評述:在解決三角函數(shù)的求值問題時,一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系.
6.在△ABC中,已知sinA=,cosB=,求cos C的值.
分析:本題中角的限制范圍就隱含在所給的數(shù)字中,輕易忽視,就會致錯.
解:由sinA=<知0°<A<45°或135°<A<180°,
又cos B=<,∴60°<B<90°,∴sinB=
若135°<A<180°則A+B>180°不可能.
∴0°<A<45°,即cos A=.
∴cos C=-cos(A+B)=.