2022年高中數(shù)學(xué) 第一課時(shí) 兩角和與差的余弦教案 蘇教版必修4

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一課時(shí) 兩角和與差的余弦教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 掌握兩角和與差的余弦公式，能用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值；培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn)： 余弦的差角公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)： 余弦的差角公式的推導(dǎo) 教學(xué)過(guò)程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 在前面咱們共同學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，在研究三角函數(shù)時(shí)，我們還常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：已知任意角α、β的三角函數(shù)值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函數(shù)值?即：α＋β、α－β或2α的三角函數(shù)值與α、β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系? Ⅱ.講授新課 接下來(lái)，我們繼續(xù)考慮如何把兩角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函數(shù)

2、來(lái)表示的問(wèn)題. 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊分別作角α、β，其終邊分別與單位圓交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），則∠P1OP2＝α－β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0≤α－β＜π的情況. 設(shè)向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），則： a·b＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β） 另一方面，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有 a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ 所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C（α－β）） 兩角和的余弦公式對(duì)

3、于任意的角α、β都是成立的，不妨，將此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的結(jié)果? cos ［α－（－β）］ ＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β） ＝cos αcos β－sinαsinβ 即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ （C（α＋β）） 請(qǐng)同學(xué)們觀察這一關(guān)系式與兩角差的余弦公式，看這兩式有什么區(qū)別和聯(lián)系? (1)這一式子表示的是任意兩角α與β的差α－β的余弦與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系. (2)這兩式均表示的是兩角之和或差與這兩角的三角函數(shù)的關(guān)系. 請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察它們各自的特點(diǎn). (1)兩角之和的余弦等于這兩角

4、余弦之積與其正弦之積的差. (2)兩角之差的余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的和. 不難發(fā)現(xiàn)，利用這一式子也可求出一些與特殊角有關(guān)的非特殊角的余弦值. 如：求cos 15°可化為求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用這一式子而求得其值. 即：cos 15°＝cos（45°－30°） ＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30° ＝·＋·＝ 或：cos 15°＝cos （60°－45°） ＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45° ＝·＋·＝ 請(qǐng)同學(xué)們將此公式中的α用代替，看可得到什么新的結(jié)果? cos（－α）＝coscos α

5、＋sinsinα＝sinα 即：cos（－α）＝sinα 再將此式中的α用－α代替，看可得到什么新的結(jié)果. cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α） 即：sin（－α）＝cosα Ⅲ.課堂練習(xí) 1.求下列三角函數(shù)值 ①cos （45°＋30°）②cos 105° 解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30° ＝·－·＝ ②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45° ＝·－·＝ 2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ. 解：由co

6、s（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β） 將cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝ 3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值. 解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝ 4.若點(diǎn)P(－3，4)在角α終邊上，點(diǎn)Q（－1，－2）在角β的終邊上，求cos （α＋β）的值. 解：由點(diǎn)P（－3，4）為角α終邊上一點(diǎn)；點(diǎn)Q（－1，－2)為角β終邊上一點(diǎn)， 得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，s

7、inβ＝－. ∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝（－）×（－）－×（－）＝ 5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值. 解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－ 可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝ 即：2cosαcosβ＝ ① cos（α－β）－cos（α＋β）＝1 即：2sinαsinβ＝1 ② 由②÷①得＝tanα·tanβ＝ ∴tanα·tanβ的值為. 6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值. 解：由已知cosα－cosβ＝ 得：co

8、s 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝ ① 由sinα－sinβ＝－ 得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝ ② 由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝ 即：2－2cos（α－β）＝ ∴cos（α－β）＝ Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 兩公式的推導(dǎo)及應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P96習(xí)題 1，2，3 兩角和與差的余弦 1．下列命題中的假命題是 （ ） A.存在這樣的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sin

9、αsinβ B.不存在無(wú)窮多個(gè)α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ C.對(duì)于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ D.不存在這樣的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ 2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，則△ABＣ一定是鈍角三角形嗎？ 3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值. 4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－ 求：c

10、os （α＋β）. 5．已知：α、β為銳角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值. 6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值. 兩角和與差的余弦答案 1．B 2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，則△ABＣ一定是鈍角三角形嗎？ 解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π 即：A＋B＝π－C 由已知得cos A·cos B－sinA·s

11、inB＞0，即：cos（A＋B）＞0 ∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0 ∴C一定為鈍角 ∴△ABC一定為鈍角三角形. 3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值. 分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函數(shù)思想. 解：令cosα＋cosβ＝x，則得方程組： ①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x2＋ ∴cos (α－β)＝ ∵|cos (α－β)|≤1， ∴| |≤1 解之得：－≤x≤ ∴cosα＋cosβ的最大值是，最小值是－. 4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－ 求：c

12、os （α＋β）. 解：由已知：α∈（，） －α∈（－，－）－α∈（－，0） 又∵cos （－α）＝， ∴sin（－α）＝－ 由β∈（0，）＋β∈（，） 又∵sin（＋β）＝sin［π＋（＋β）］＝－sin（＋β）＝－ 即sin（＋β）＝， ∴cos（＋β）＝ 又（＋β）－（－α）＝α＋β ∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］ ＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α） ＝×＋×（－）＝－ 5．已知：α、β為銳角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值. 解：∵0＜α·β＜，∴0＜α＋β＜π 由cos （α＋β）＝－，

13、得sin（α＋β）＝ 又∵cosα＝，∴sinα＝ ∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］ ＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα ＝（－）×＋×＝ 評(píng)述：在解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系. 6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值. 分析：本題中角的限制范圍就隱含在所給的數(shù)字中，輕易忽視，就會(huì)致錯(cuò). 解：由sinA＝＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°， 又cos B＝＜，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝ 若135°＜A＜180°則A＋B＞180°不可能. ∴0°＜A＜45°，即cos A＝. ∴cos C＝－cos（A＋B）＝.