2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.2 換元法(練)理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.2 換元法(練)理 1.練高考 1. 【xx課標(biāo)3,理11】已知函數(shù)有唯一零點(diǎn),則a= A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足, 設(shè),則, 當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,函數(shù) 單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),,函數(shù) 單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值, 設(shè) ,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值 , 2. 【xx課標(biāo)1,理11】設(shè)x、y、z為正數(shù),且,則 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D 【解析】令,則,, ∴,則, ,則,故選D

2、. 3. 【xx浙江,15】已知向量a,b滿足則的最小值是________,最大值是_______. 【答案】4, 【解析】 4.【xx課標(biāo)II,理】已知函數(shù),且。 (1)求; (2)證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且。 【答案】(1); (2)證明略。 【解析】 (2)由(1)知 ,。 設(shè),則。 當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí), , 所以 在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增。 5.【xx課標(biāo)3,理21】已知函數(shù) . (1)若 ,求a的值; (2)設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)n ,求m的最小值. 【答案】(1) ; (2) 【解析】 試題分析:(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系

3、可得x=a是在的唯一最小值點(diǎn),列方程解得 ; (2)利用題意結(jié)合(1)的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮,求得,結(jié)合可知實(shí)數(shù) 的最小值為 6.【xx高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C: 的離心率是,拋物線E:的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn). (I)求橢圓C的方程; (II)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M. (i)求證:點(diǎn)M在定直線上; (ii)直線與y軸交于點(diǎn)G,記的面積為,的面積為,求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)見解析;(ii)的最大值為,

4、此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】 (Ⅰ)由題意知,可得:. 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為,所以, 所以橢圓C的方程為. (Ⅱ)(i)設(shè),由可得, 所以直線的斜率為, 因此直線的方程為,即. 設(shè),聯(lián)立方程 得, 由,得且, 因此, 將其代入得, 因?yàn)?,所以直線方程為. 聯(lián)立方程,得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為, 即點(diǎn)在定直線上. (ii)由(i)知直線方程為, 令得,所以, 又, 所以, , 所以, 令,則, 當(dāng),即時(shí),取得最大值,此時(shí),滿足, 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,因此的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 2.練模擬 1.已知函數(shù),其在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍為( ) A.

5、 B. C. D. 【答案】C 【解析】令,則,在區(qū)間上單調(diào)遞增,轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),在恒成立,必有,可求得;當(dāng)時(shí),在恒成立,必有,與矛盾,所以此時(shí)不存在.故選C. 2.不等式的解集為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】原不等式等價(jià)于,設(shè)解得.即,故選C. 3.【xx屆內(nèi)蒙古赤峰市高三上學(xué)期期末】若,且,則__________. 【答案】 【解析】令,則. ∵ ∴ ∴原式可化為,即 ∴,即 ∴ ∴ 故答案為. 4.點(diǎn)在橢圓上,則點(diǎn)到直線的最大距離和最

6、小距離分別為 . 【答案】,. 【解析】由于點(diǎn)在橢圓上,可設(shè),則, 即,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. 5.【xx屆上海市長(zhǎng)寧、嘉定區(qū)高三一模】已知函數(shù). (1)求證:函數(shù)是偶函數(shù); (2)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)在時(shí)的值域的表達(dá)式; (3)若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1)見解析(2)(3). 【解析】試題分析:(1)判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,計(jì)算判斷其與的關(guān)系; (2)令,故,換元得,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),分類討論求其最值即可;(3))由,得,即恒成立,求其最值即可. 試題解析: (1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?duì)任意, , 所以,函數(shù)是偶函數(shù). (

7、2), 令,因?yàn)椋?,故? 原函數(shù)可化為, , 圖像的對(duì)稱軸為直線, 當(dāng)時(shí),函數(shù)在時(shí)是增函數(shù),值域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí),函數(shù)在時(shí)是減函數(shù),在時(shí)是增函數(shù),值域?yàn)椋? 綜上, (3)由,得, 當(dāng)時(shí), ,所以,所以, 所以, 恒成立. 令,則, , 由,得,所以, . 所以, ,即的取值范圍為. 3.練原創(chuàng) 1.若f(ln x)=3x+4,則f(x)的表達(dá)式為( ) A.f(x)=3ln x B.f(x)=3ln x+4 C.f(x)=3ex D.f(x)=3ex+4 【答案】D 【解析】令ln x=t,則x=et,故f(t

8、)=3et+4,得f(x)=3ex+4,故選D. 2.已知點(diǎn)A是橢圓25(x2)+9(y2)=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上,且·=48,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為( ) A.18 B.15 C.10 D.2(15) 【答案】C 3.已知在數(shù)列中,,當(dāng)時(shí),其前項(xiàng)和滿足. (Ⅰ) 求的表達(dá)式;(Ⅱ) 設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和.證明 【答案】 (1);(2)見解析. 【解析】(1)當(dāng)時(shí),代入,得, 由于,所以 令=,則=2, 所以是首項(xiàng)為,公差為2的等差數(shù)列 ∴,即,所以 (2) ∴所以 4. 已知函數(shù). (1)求證:函數(shù)的圖象與軸恒有公共點(diǎn);(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的定義域; (3)若存在使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1).(2)當(dāng)時(shí),;時(shí), (3). 【解析】(1)圖象與軸恒有公共點(diǎn). (2)要使函數(shù)有意義,需滿足,即, 當(dāng)時(shí),;時(shí), (3)時(shí),,令,是偶函數(shù),只要討論時(shí)函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)即可,以下只討論時(shí)的情形圖象恒過點(diǎn),函數(shù)圖象對(duì)稱軸, ①時(shí),根據(jù)函數(shù)圖象,與圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),不符題意,舍去; ②且時(shí),單調(diào)遞減,最大值為,圖象與無交點(diǎn),不符題意,舍去; ③且時(shí),只要最大值即可,解得; 綜上.

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