2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第32講 不等式解法及應(yīng)用教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第32講 不等式解法及應(yīng)用教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.不等關(guān)系 通過具體情境,感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景; 2.一元二次不等式 ①.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程; ②通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系; ③會(huì)解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。 3二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 ①從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組; ②了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組; ③從實(shí)際情境中抽象出一些簡

2、單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決。 二.命題走向 分析近幾年的高考試題,本將主要考察不等式的解法,綜合題多以與其他章節(jié)(如函數(shù)、數(shù)列等)交匯。從題型上來看,多以比較大小,解簡單不等式以及線性規(guī)劃等,解答題主要考察含參數(shù)的不等式的求解以及它在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列中的應(yīng)用。 預(yù)測xx年高考的命題趨勢: 1.結(jié)合指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)的考察函數(shù)的性質(zhì),解不等式的試題常以填空題、解答題形式出現(xiàn); 2.以當(dāng)前經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、生活為背景與不等式綜合的應(yīng)用題仍是高考的熱點(diǎn),主要考察考生閱讀以及分析、解決問題的能力; 3.在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)命題,特別注意與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合

3、命題這一變化趨勢; 4.對含參數(shù)的不等式,要加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí),學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因,合理分類,不重不漏。 三.要點(diǎn)精講 1.不等式的解法 解不等式是求定義域、值域、參數(shù)的取值范圍時(shí)的重要手段,與“等式變形”并列的“不等式的變形”,是研究數(shù)學(xué)的基本手段之一。 高考試題中,對解不等式有較高的要求,近兩年不等式知識(shí)占相當(dāng)大的比例。 (1)同解不等式((1)與同解; (2)與同解,與同解; (3)與同解); 2.一元一次不等式 解一元一次不等式(組)及一元二次不等式(組)是解其他各類不等式的基礎(chǔ),必須熟練掌握,靈活應(yīng)用。 情況分別解之。 3.一元二次不等式 或分及

4、情況分別解之,還要注意的三種情況,即或或,最好聯(lián)系二次函數(shù)的圖象。 4.分式不等式 分式不等式的等價(jià)變形:>0f(x)·g(x)>0,≥0。 5.簡單的絕對值不等式 絕對值不等式適用范圍較廣,向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對值不等式。高考試題中,對絕對值不等式從多方面考查。 解絕對值不等式的常用方法: ①討論法:討論絕對值中的式于大于零還是小于零,然后去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一般不等式; ②等價(jià)變形: 解絕對值不等式常用以下等價(jià)變形: |x|0), |x|>ax2>a2x>a或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)|

5、(x)-g(x)g(x)f(x)>g (x)或f(x)

6、表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。特別地,當(dāng)時(shí),通常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。 (2)有關(guān)概念 引例:設(shè),式中變量滿足條件,求的最大值和最小值。 由題意,變量所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域,不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知,原點(diǎn)不在公共區(qū)域內(nèi),當(dāng)時(shí),,即點(diǎn)在直線:上,作一組平行于的直線:,,可知:當(dāng)在的右上方時(shí),直線上的點(diǎn)滿足,即,而且,直線往右平移時(shí),隨之增大。 由圖象可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),對應(yīng)的最大, 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),對應(yīng)的最小,所以,,。 在上述引例中,不等式組是一組對變量的約束條件,這組約束條件都是關(guān)于的一次不等式,所以又稱為線性約束

7、條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式,叫目標(biāo)函數(shù)。又由于是的一次解析式,所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)。 一般地,求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問題中,可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值,它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解。 四.典例解析 題型1:簡單不等式的求解問題 例1.(xx京皖春,1)不等式組的解集是( ) A.{x|-1<x<1 B.{x|0<x<3 C.{x|0<x<1 D.{x|-1<x<3

8、 答案:C 解析:原不等式等價(jià)于: 0<x<1。 點(diǎn)評:一元二次不等式的求解問題是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性知識(shí),是解決其它問題的基礎(chǔ)。 例2.(xx河南、廣東,1)不等式>0的解集為( ) A.{x|x<1} B.{x|x>3} C.{x|x<1或x>3} D.{x|10, ∴x<1或x>3. 故原不等式的解集為{x|x<1或x>3}。 點(diǎn)評:簡單的分式不等式的解法是高中數(shù)學(xué)中常用到的求范圍問題工具,分式不等式的解題思路是:分式化整式(注意分母不為零)。 題型2:簡單的絕對值、涉及指數(shù)、

9、對數(shù)和三角的不等式的求解問題 例3.(1)(xx全國,3)不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( ) A.{x|0≤x<1 B.{x|x<0且x≠-1 C.{x|-1<x<1 D.{x|x<1且x≠-1 (2)(1997全國,14)不等式組的解集是( ) A.{x|0<x<2 B.{x|0<x<2.5 C.{x|0<x< D.{x|0<x<3 解析:(1)答案:D; 解法一:①x≥0時(shí),原不等式化為:(1+x)(1-x)>0, ∴(x+1)(x-1)<0, ∴0≤x<1。 ②x<0時(shí),原不等式化為:(1

10、+x)(1+x)>0(1+x)2>0, ∴x≠-1, ∴x<0且x≠-1。 綜上,不等式的解集為x<1且x≠-1。 解法二:原不等式化為: ①或 ② ①解得-1<x<1, ②解得即x<-1, ∴原不等式的解集為x<1且x≠-1。 點(diǎn)評:該題體現(xiàn)了對討論不等式與不等式組的轉(zhuǎn)化及去絕對值的基本方法的要求。 (2)答案:C 解法一:當(dāng)x≥2時(shí),原不等式化為, 去分母得(x+2)(3-x)>(x+3)(x-2), 即-x2+x+6>x2+x-6,2x2-12<0,。 注意x≥2,得2≤x<; 當(dāng)0<x<2時(shí),原不等式化為,去分母得-x2+x+6>-x2-x+6。 即2x>

11、0 注意0<x<2,得0<x<2。 綜上得0<x<,所以選C。 解法二:特殊值法.取x=2,適合不等式,排除A;取x=2.5,不適合不等式,排除D;再取x=,不適合不等式,所以排除B;選C。 點(diǎn)評:此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。 例4.(1)(1995全國理,16)不等式()>3-2x的解集是_____。 (2)(xx全國文5,理4)在(0,2π)內(nèi),使sinx>cosx成立的x取值范圍為( ) A.(,)∪(π,) B.(,π) C.(,) D.(,π)∪(,) (3)(06山東理,3)設(shè)f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為( )

12、 (A)(1,2)(3,+∞) (B)(,+∞) (C)(1,2) ( ,+∞) (D)(1,2) 解析:(1)答案:{x|-2<x<4} 將不等式變形得 則-x2+8>-2x,從而x2-2x-8<0,(x+2)(x-4)<0,-2<x<4,所以不等式的解集是{x|-2<x<4}. 評述:此題考查指數(shù)不等式的解法; (2)答案:C 解法一:作出在(0,2π)區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象,解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和,由圖4—6可得C答案。 圖4—6 圖4—7 解法二:在單位圓上作出一、三象限的對

13、角線,由正弦線、余弦線知應(yīng)選C.(如圖4—7)。 (3)C; 點(diǎn)評:特殊不等式的求解,轉(zhuǎn)化是一方面,借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問題的有效手段。 題型3:含參數(shù)的不等式的求解問題 例5.(1)設(shè)不等式x2-2ax+a+2≤0的解集為M,如果M[1,4],求實(shí)數(shù)a的取值范圍? (2)解關(guān)于x的不等式>1(a≠1)。 分析:該題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題,充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在;數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗。 解析:(1)M[1,4]有兩種情況:其一是M=,此時(shí)Δ<0;其二是M≠,此時(shí)Δ=0或Δ>0,分三種情況計(jì)算a的取值范圍。 設(shè)f(x

14、)=x2 -2ax+a+2,有Δ=(-2a)2-(4a+2)=4(a2-a-2) 當(dāng)Δ<0時(shí),-1<a<2,M=[1,4]; 當(dāng)Δ=0時(shí),a=-1或2; 當(dāng)a=-1時(shí)M={-1}[1,4];當(dāng)a=2時(shí),m={2}[1,4]。 當(dāng)Δ>0時(shí),a<-1或a>2。 設(shè)方程f(x)=0的兩根x1,x2,且x1<x2, 那么M=[x1,x2],M[1,4]1≤x1<x2≤4, 即,解得2<a<, ∴M[1,4]時(shí),a的取值范圍是(-1,)。 (2)原不等式可化為:>0, ①當(dāng)a>1時(shí),原不等式與(x-)(x-2)>0同解。 由于, ∴原不等式的解為(-∞,)∪(2,+∞)。 ②

15、當(dāng)a<1時(shí),原不等式與(x-)(x-2) <0同解。 由于, 若a<0,,解集為(,2); 若a=0時(shí),,解集為; 若0<a<1,,解集為(2,)。 綜上所述:當(dāng)a>1時(shí)解集為(-∞,)∪(2,+∞);當(dāng)0<a<1時(shí),解集為(2,);當(dāng)a=0時(shí),解集為;當(dāng)a<0時(shí),解集為(,2)。 點(diǎn)評:考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系,以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。 M=是符合題設(shè)條件的情況之一,出發(fā)點(diǎn)是集合之間的關(guān)系考慮是否全面,易遺漏;構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理,易出錯(cuò)。 例6.(1)(06重慶理,15)設(shè)

16、a>0,n1,函數(shù)f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.則不等式logn(x2-5x+7) >0的解集為______ _; (2)(06重慶文,15)設(shè),函數(shù)有最小值,則不等式的解集為 。 解析:(1)由于函數(shù)有最大值,則。所以原不等式可轉(zhuǎn)化為,又因?yàn)楹愠闪?,由解得? (2)由于函數(shù)有最小值,故。原不等式化為,即。 點(diǎn)評:含參數(shù)指數(shù)、對數(shù)不等式的處理原則是轉(zhuǎn)化為一般的不等式,兼顧到底數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)為兩種情況,這也是分類的標(biāo)準(zhǔn)。 題型4:線性規(guī)劃問題 例7.(1)(06安徽,10)如果實(shí)數(shù)滿足條件, 那么的最大值為( ) A.

17、 B. C. D. (2)(06天津理,3)設(shè)變量、滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( ) A.      B.      C.    D. 解析:(1)當(dāng)直線過點(diǎn)(0,-1)時(shí),最大,故選B; (2)B. 點(diǎn)評:近年來線性規(guī)劃的一些基本運(yùn)算問題成為出題的熱點(diǎn),該部分知識(shí)大多都屬于基礎(chǔ)題目,屬于中低檔題目。 例8.(1)(06四川理,8)某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為,生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料和原料分別為千克,甲、乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為元,月初一次性夠進(jìn)本月用原料各千克,要計(jì)劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙

18、產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達(dá)到最大;在這個(gè)問題中,設(shè)全月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為千克,千克,月利潤總額為元,那么,用于求使總利潤最大的數(shù)學(xué)模型中,約束條件為( ) (A) (B) (C) (D) (2)(06浙江理,3)在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是( ) (A) (B) (C) (D) (3)(06北京理,13)已知點(diǎn) P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么|PO |的最小值等于,最大值等于。 解析:(1)約束條件為

19、,選C; (2)A; (3)、。 點(diǎn)評:線性規(guī)劃的應(yīng)用題也是高考的熱點(diǎn),諸如求面積、距離、參數(shù)取值的問題經(jīng)常出現(xiàn)。 題型5:不等式的應(yīng)用 例9.(06湖南理,20)對1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為,要求清洗完后的清潔度為。有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙: 分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是,用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; (Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某固

20、定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對最少總用水量多少的影響。 解析:(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19。 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。 因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少。 (II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(I)得,(*), 于是+, 當(dāng)為定值時(shí),, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。 此時(shí) 將代入(*)式得 故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為: , 最少總

21、用水量是. 當(dāng),故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。 點(diǎn)評:通過實(shí)際情景建立函數(shù)關(guān)系式求解不等式問題成為高考的亮點(diǎn),解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型,通過函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性建立不等關(guān)系求得結(jié)果。 例10.(xx全國文24、理22)如圖6—1,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設(shè)箱體的長度為a米,高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當(dāng)a、b各為多少米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小(A、B

22、孔的面積忽略不計(jì))? 解法一:設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù),則y=,其中k>0為比例系數(shù),依題意,即所求的a、b值使y值最小。 根據(jù)題設(shè),有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 得b=(0<a<30 ①, 于是 。 當(dāng)a+2=時(shí)取等號,y達(dá)到最小值。 這時(shí)a=6,a=-10(舍去) 將a=6代入①式得b=3, 故當(dāng)a為6米,b為3米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。 解法二:依題意,即所求的a、b值使ab最大。 由題設(shè)知4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 即a+2b+ab=30(a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2 ∴2+ab≤30, 當(dāng)

23、且僅當(dāng)a=2b時(shí),上式取等號. 由a>0,b>0,解得0<ab≤18 即當(dāng)a=2b時(shí),ab取得最大值,其最大值為18。 ∴2b2=18.解得b=3,a=6。 故當(dāng)a為6米,b為3米時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。 點(diǎn)評:本題考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力,考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí),考查利用均值不等式求最值的方法、閱讀理解能力、建模能力。 五.思維總結(jié) 1.在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí),加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習(xí) 解不等式的過程是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化可簡化不等式(組),以快速、準(zhǔn)確求解。 加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí)

24、.在解不等式或證不等式的過程中,如含參數(shù)等問題,一般要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.復(fù)習(xí)時(shí),學(xué)生要學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因,合理的分類,做到不重不漏。 加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練。不等式、函數(shù)、方程三者密不可分,相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化.如求參數(shù)的取值范圍問題,函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.在不等式的證明中,加強(qiáng)化歸思想的復(fù)習(xí),證不等式的過程是一個(gè)把已知條件向要證結(jié)論的一個(gè)轉(zhuǎn)化過程,既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí),又可考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,正因?yàn)樽C不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起我們的足夠重視。 2.強(qiáng)化不等式的應(yīng)用 突出不等式的知識(shí)在解決實(shí)際問題中的

25、應(yīng)用價(jià)值,借助不等式來考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。 高考中除單獨(dú)考查不等式的試題外,常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實(shí)際應(yīng)用問題的試題中涉及不等式的知識(shí),加強(qiáng)不等式應(yīng)用能力,是提高解綜合題能力的關(guān)鍵.因此,在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面訓(xùn)練,提高應(yīng)用意識(shí),總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律,才能提高解決問題的能力。 如在實(shí)際問題應(yīng)用中,主要有構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法,求最值時(shí)要注意等號成立的條件,避免不必要的錯(cuò)誤。 3.突出重點(diǎn) 綜合考查在知識(shí)與方法的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題,在不等式問題中蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想,不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具,不等式與函數(shù)既是知識(shí)的結(jié)合點(diǎn),又是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的交匯點(diǎn),因而在歷年高考題中始終是重中之重。在全面考查函數(shù)與不等式基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),將不等式的重點(diǎn)知識(shí)以及其他知識(shí)有機(jī)結(jié)合,進(jìn)行綜合考查,強(qiáng)調(diào)知識(shí)的綜合和知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,加大數(shù)學(xué)思想方法的考查力度,是高考對不等式考查的又一新特點(diǎn)。

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